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1 利用公式法解一元二次方程$6x^2+\frac{1}{2}=5x$时，$a,b,c$的值分别是 （
A.$6,\frac{1}{2},5$
B.$6,-5,\frac{1}{2}$
C.$6,5,\frac{1}{2}$
D.$6,-5,-\frac{1}{2}$
B
）A.$6,\frac{1}{2},5$
B.$6,-5,\frac{1}{2}$
C.$6,5,\frac{1}{2}$
D.$6,-5,-\frac{1}{2}$
答案
1. B
解析
【分析】
要确定一元二次方程中a、b、c的值，首先需要明确一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），其中a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项。解题时第一步需要先把给定的方程整理为一般形式，整理时注意移项要变号，再对应找出a、b、c的值即可。
【解析】
首先将原方程化为一元二次方程的一般形式：
对$6x^2+\frac{1}{2}=5x$移项，将含x的一次项移到方程左侧，得：
$6x^2 - 5x + \frac{1}{2}=0$
对照一般形式$ax^2+bx+c=0$，可得：
二次项系数$a=6$，一次项系数$b=-5$，常数项$c=\frac{1}{2}$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
1. 一元二次方程的一般形式
2. 一元二次方程各项系数识别
【点评】
本题是公式法解一元二次方程的基础考点，易错点在于移项时忽略符号变化，直接将原方程中5x的系数作为b的值，解题时牢记先化为一般形式再确定系数即可避免错误。
【难度系数】
0.7
要确定一元二次方程中a、b、c的值，首先需要明确一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），其中a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项。解题时第一步需要先把给定的方程整理为一般形式，整理时注意移项要变号，再对应找出a、b、c的值即可。
【解析】
首先将原方程化为一元二次方程的一般形式：
对$6x^2+\frac{1}{2}=5x$移项，将含x的一次项移到方程左侧，得：
$6x^2 - 5x + \frac{1}{2}=0$
对照一般形式$ax^2+bx+c=0$，可得：
二次项系数$a=6$，一次项系数$b=-5$，常数项$c=\frac{1}{2}$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
1. 一元二次方程的一般形式
2. 一元二次方程各项系数识别
【点评】
本题是公式法解一元二次方程的基础考点，易错点在于移项时忽略符号变化，直接将原方程中5x的系数作为b的值，解题时牢记先化为一般形式再确定系数即可避免错误。
【难度系数】
0.7
2 若关于 $ x $ 的一元二次方程 $ ax^2 + bx + c = 0 $ 的两个根分别为 $ x_1 = \dfrac{-b + \sqrt{b^2 + 4}}{2} $，$ x_2 = \dfrac{-b - \sqrt{b^2 + 4}}{2} $，则下列判断正确的是（
A.$ a = -1 $
B.$ c = 1 $
C.$ ac = -1 $
D.$ \dfrac{c}{a} = 1 $
C
）A.$ a = -1 $
B.$ c = 1 $
C.$ ac = -1 $
D.$ \dfrac{c}{a} = 1 $
答案
2. C
解析
【分析】
本题考查一元二次方程求根公式或根与系数关系的应用，解题思路有两种：
思路1：直接对比标准求根公式与题目给出的根的形式，分别对应分母和根号内的表达式，即可推导a、c的关系；
思路2：利用根与系数的关系，先计算两根之和、两根之积，再结合韦达定理的公式得到a、b、c的关系，最终推导结论。两种方法均符合当前学段知识要求，优先选择对比求根公式的方法更简便。
【解析】
方法一：对比求根公式求解
一元二次方程 $ ax^2+bx+c=0(a≠0) $ 的求根公式为：
$ x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} $
题目给出的根为 $ x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2+4}}{2} $，将两个式子对应相等：
1. 对应分母：$ 2a=2 $，解得 $ a=1 $；
2. 对应根号内的被开方数：$ b^2-4ac=b^2+4 $，两边消去 $ b^2 $ 得：$ -4ac=4 $，化简得 $ ac=-1 $。
方法二：利用根与系数的关系（韦达定理）求解
1. 计算两根之和：
$ x_1+x_2=\frac{-b+\sqrt{b^2+4}}{2}+\frac{-b-\sqrt{b^2+4}}{2}=\frac{-2b}{2}=-b $
根据韦达定理，$ x_1+x_2=-\frac{b}{a} $，因此 $ -b=-\frac{b}{a} $，结合 $ a≠0 $，可得 $ a=1 $；
2. 计算两根之积（平方差公式）：
$ x_1x_2=\frac{(-b+\sqrt{b^2+4})(-b-\sqrt{b^2+4})}{2×2}=\frac{b^2-(b^2+4)}{4}=\frac{-4}{4}=-1 $
根据韦达定理，$ x_1x_2=\frac{c}{a} $，代入 $ a=1 $ 得 $ c=-1 $，因此 $ ac=1×(-1)=-1 $。
逐一判断选项：
A. $ a=-1 $ 错误，$ a=1 $；
B. $ c=1 $ 错误，$ c=-1 $；
C. $ ac=-1 $ 正确；
D. $ \frac{c}{a}=1 $ 错误，$ \frac{c}{a}=-1 $。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程求根公式，根与系数的关系
【点评】
本题是一元二次方程公式法的典型基础题，解题的关键是熟练掌握求根公式的结构，或灵活运用根与系数的关系简化计算，做题时注意观察表达式的结构特征，选择更简便的方法解题。
【难度系数】
0.7
本题考查一元二次方程求根公式或根与系数关系的应用，解题思路有两种：
思路1：直接对比标准求根公式与题目给出的根的形式，分别对应分母和根号内的表达式，即可推导a、c的关系；
思路2：利用根与系数的关系，先计算两根之和、两根之积，再结合韦达定理的公式得到a、b、c的关系，最终推导结论。两种方法均符合当前学段知识要求，优先选择对比求根公式的方法更简便。
【解析】
方法一：对比求根公式求解
一元二次方程 $ ax^2+bx+c=0(a≠0) $ 的求根公式为：
$ x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} $
题目给出的根为 $ x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2+4}}{2} $，将两个式子对应相等：
1. 对应分母：$ 2a=2 $，解得 $ a=1 $；
2. 对应根号内的被开方数：$ b^2-4ac=b^2+4 $，两边消去 $ b^2 $ 得：$ -4ac=4 $，化简得 $ ac=-1 $。
方法二：利用根与系数的关系（韦达定理）求解
1. 计算两根之和：
$ x_1+x_2=\frac{-b+\sqrt{b^2+4}}{2}+\frac{-b-\sqrt{b^2+4}}{2}=\frac{-2b}{2}=-b $
根据韦达定理，$ x_1+x_2=-\frac{b}{a} $，因此 $ -b=-\frac{b}{a} $，结合 $ a≠0 $，可得 $ a=1 $；
2. 计算两根之积（平方差公式）：
$ x_1x_2=\frac{(-b+\sqrt{b^2+4})(-b-\sqrt{b^2+4})}{2×2}=\frac{b^2-(b^2+4)}{4}=\frac{-4}{4}=-1 $
根据韦达定理，$ x_1x_2=\frac{c}{a} $，代入 $ a=1 $ 得 $ c=-1 $，因此 $ ac=1×(-1)=-1 $。
逐一判断选项：
A. $ a=-1 $ 错误，$ a=1 $；
B. $ c=1 $ 错误，$ c=-1 $；
C. $ ac=-1 $ 正确；
D. $ \frac{c}{a}=1 $ 错误，$ \frac{c}{a}=-1 $。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程求根公式，根与系数的关系
【点评】
本题是一元二次方程公式法的典型基础题，解题的关键是熟练掌握求根公式的结构，或灵活运用根与系数的关系简化计算，做题时注意观察表达式的结构特征，选择更简便的方法解题。
【难度系数】
0.7
3 把方程$4 - x^2 = 3x$化成$ax^2 + bx + c = 0(a＞0)$的形式为
$x^2+3x-4=0$
，其中$b^2 - 4ac =$$25$
.答案
3. 化成$ax^2 + bx + c = 0(a＞0)$的形式为$x^2+3x-4=0$，其中$b^2 - 4ac =25$
解析
【分析】
要解决本题，首先需明确一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a＞0)$的形式要求：需将所有项移到等号一侧，按x的降幂排列，且二次项系数为正数。完成形式转化后，提取对应系数a、b、c，代入判别式公式$b^2-4ac$计算即可得到结果。
【解析】
1. 整理方程为指定形式：
原方程为$4 - x^2 = 3x$，将右侧$3x$移到左侧，整理得$-x^2 - 3x + 4 = 0$；
因要求$a＞0$，给方程两边同时乘$-1$，得到$x^2 + 3x - 4 = 0$，即为所求的一般形式。
2. 计算判别式：
在$x^2 + 3x - 4 = 0$中，$a=1$，$b=3$，$c=-4$，代入公式得：
$b^2 - 4ac = 3^2 - 4×1×(-4) = 9 + 16 = 25$。
【答案】
$x^2+3x-4=0$；$25$
【知识点】
一元二次方程的一般形式；一元二次方程根的判别式
【点评】
本题属于基础类题目，重点考查一元二次方程的基本变形和判别式的计算，解题时需注意移项要变号，调整二次项系数时不要漏乘方程的每一项，确定常数项c时要注意符号。
【难度系数】
0.9
要解决本题，首先需明确一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a＞0)$的形式要求：需将所有项移到等号一侧，按x的降幂排列，且二次项系数为正数。完成形式转化后，提取对应系数a、b、c，代入判别式公式$b^2-4ac$计算即可得到结果。
【解析】
1. 整理方程为指定形式：
原方程为$4 - x^2 = 3x$，将右侧$3x$移到左侧，整理得$-x^2 - 3x + 4 = 0$；
因要求$a＞0$，给方程两边同时乘$-1$，得到$x^2 + 3x - 4 = 0$，即为所求的一般形式。
2. 计算判别式：
在$x^2 + 3x - 4 = 0$中，$a=1$，$b=3$，$c=-4$，代入公式得：
$b^2 - 4ac = 3^2 - 4×1×(-4) = 9 + 16 = 25$。
【答案】
$x^2+3x-4=0$；$25$
【知识点】
一元二次方程的一般形式；一元二次方程根的判别式
【点评】
本题属于基础类题目，重点考查一元二次方程的基本变形和判别式的计算，解题时需注意移项要变号，调整二次项系数时不要漏乘方程的每一项，确定常数项c时要注意符号。
【难度系数】
0.9
4 用公式法解方程 $2x^2 -5x=7$，其中 $b^2 -4ac=$
$81$
，方程的根为 $x_1=-1,x_2=\frac{7}{2}$
。答案
4. $b^2 -4ac=81$，方程的根为$x_1=-1,x_2=\frac{7}{2}$
解析
【分析】
用公式法解一元二次方程的核心思路是：首先要把方程整理为$ax^2+bx+c=0$（$a\ne0$）的一般形式，准确识别$a$、$b$、$c$的取值（要特别注意各项的符号），再代入判别式公式$b^2-4ac$计算判别式的值，最后代入求根公式即可求出方程的根。解题时先对原方程移项得到一般形式，再按步骤计算即可。
【解析】
1. 整理方程为一般形式：
对$2x^2 -5x=7$移项，得$2x^2 -5x -7=0$。
2. 确定$a$、$b$、$c$的值：
对比一般形式可得$a=2$，$b=-5$，$c=-7$。
3. 计算判别式$b^2-4ac$：
代入数值计算：
$b^2-4ac=(-5)^2-4×2×(-7)=25+56=81$。
4. 代入求根公式求根：
因为$81＞0$，方程有两个不相等的实数根，代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$得：
$x=\frac{5\pm\sqrt{81}}{2×2}=\frac{5\pm9}{4}$，
即$x_1=\frac{5-9}{4}=-1$，$x_2=\frac{5+9}{4}=\frac{7}{2}$。
【答案】
$b^2 -4ac=81$，方程的根为$x_1=-1,x_2=\frac{7}{2}$
【知识点】
一元二次方程一般形式，根的判别式，公式法解方程
【点评】
本题是公式法解一元二次方程的基础题型，易错点是未将方程化为一般形式就直接确定$a$、$b$、$c$的值，或者忽略各项符号导致计算错误，熟练掌握公式法的解题步骤即可轻松作答。
【难度系数】
0.8
用公式法解一元二次方程的核心思路是：首先要把方程整理为$ax^2+bx+c=0$（$a\ne0$）的一般形式，准确识别$a$、$b$、$c$的取值（要特别注意各项的符号），再代入判别式公式$b^2-4ac$计算判别式的值，最后代入求根公式即可求出方程的根。解题时先对原方程移项得到一般形式，再按步骤计算即可。
【解析】
1. 整理方程为一般形式：
对$2x^2 -5x=7$移项，得$2x^2 -5x -7=0$。
2. 确定$a$、$b$、$c$的值：
对比一般形式可得$a=2$，$b=-5$，$c=-7$。
3. 计算判别式$b^2-4ac$：
代入数值计算：
$b^2-4ac=(-5)^2-4×2×(-7)=25+56=81$。
4. 代入求根公式求根：
因为$81＞0$，方程有两个不相等的实数根，代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$得：
$x=\frac{5\pm\sqrt{81}}{2×2}=\frac{5\pm9}{4}$，
即$x_1=\frac{5-9}{4}=-1$，$x_2=\frac{5+9}{4}=\frac{7}{2}$。
【答案】
$b^2 -4ac=81$，方程的根为$x_1=-1,x_2=\frac{7}{2}$
【知识点】
一元二次方程一般形式，根的判别式，公式法解方程
【点评】
本题是公式法解一元二次方程的基础题型，易错点是未将方程化为一般形式就直接确定$a$、$b$、$c$的值，或者忽略各项符号导致计算错误，熟练掌握公式法的解题步骤即可轻松作答。
【难度系数】
0.8
5 教材变式题 用公式法解下列方程：
（1）$[2024\mathrm{齐齐哈尔}]x^2 -5x +6=0$；
（2）$x^2 -2x -5=0$；
（3）$[2025\mathrm{苏州工业园区段考}]2x^2 -5x +1=0$；
（4）$x(x-4)=30 -x^2$。
（1）$[2024\mathrm{齐齐哈尔}]x^2 -5x +6=0$；
（2）$x^2 -2x -5=0$；
（3）$[2025\mathrm{苏州工业园区段考}]2x^2 -5x +1=0$；
（4）$x(x-4)=30 -x^2$。
答案
5. (1) $x_1=2,x_2=3$
(2) $x_1=1+\sqrt{6},x_2=1-\sqrt{6}$
(3) $x_1=\frac{5+\sqrt{17}}{4},x_2=\frac{5-\sqrt{17}}{4}$
(4) $x_1=5,x_2=-3$
(2) $x_1=1+\sqrt{6},x_2=1-\sqrt{6}$
(3) $x_1=\frac{5+\sqrt{17}}{4},x_2=\frac{5-\sqrt{17}}{4}$
(4) $x_1=5,x_2=-3$
解析
【分析】
用公式法解一元二次方程的通用思路为：①将方程整理为一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）；②确定系数$a$、$b$、$c$的值，注意符号不要出错；③计算根的判别式$\Delta = b^2-4ac$，若$\Delta＜0$则方程无实数根，若$\Delta≥0$则进入下一步；④将$a$、$b$、$\Delta$代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$计算，化简得到方程的根。我们按这个步骤逐个求解四个方程即可。
【解析】
（1）方程$x^2 -5x +6=0$为一般形式，
其中$a=1$，$b=-5$，$c=6$，
计算判别式：$\Delta = (-5)^2 - 4×1×6 = 25 - 24 = 1＞0$，
代入求根公式得：$x=\frac{5\pm\sqrt{1}}{2×1}=\frac{5\pm1}{2}$，
即$x_1=\frac{5-1}{2}=2$，$x_2=\frac{5+1}{2}=3$。
（2）方程$x^2 -2x -5=0$为一般形式，
其中$a=1$，$b=-2$，$c=-5$，
计算判别式：$\Delta = (-2)^2 - 4×1×(-5) = 4 + 20 = 24＞0$，
代入求根公式得：$x=\frac{2\pm\sqrt{24}}{2×1}=\frac{2\pm2\sqrt{6}}{2}=1\pm\sqrt{6}$，
即$x_1=1+\sqrt{6}$，$x_2=1-\sqrt{6}$。
（3）方程$2x^2 -5x +1=0$为一般形式，
其中$a=2$，$b=-5$，$c=1$，
计算判别式：$\Delta = (-5)^2 - 4×2×1 = 25 - 8 = 17＞0$，
代入求根公式得：$x=\frac{5\pm\sqrt{17}}{2×2}=\frac{5\pm\sqrt{17}}{4}$，
即$x_1=\frac{5+\sqrt{17}}{4}$，$x_2=\frac{5-\sqrt{17}}{4}$。
（4）先整理方程为一般形式：
展开左边得$x^2 -4x = 30 -x^2$，
移项合并同类项得$2x^2 -4x -30 = 0$，两边同除以2简化为$x^2 -2x -15 = 0$，
其中$a=1$，$b=-2$，$c=-15$，
计算判别式：$\Delta = (-2)^2 - 4×1×(-15) = 4 + 60 = 64＞0$，
代入求根公式得：$x=\frac{2\pm\sqrt{64}}{2×1}=\frac{2\pm8}{2}$，
即$x_1=\frac{2+8}{2}=5$，$x_2=\frac{2-8}{2}=-3$。
【答案】
(1) $x_1=2,x_2=3$
(2) $x_1=1+\sqrt{6},x_2=1-\sqrt{6}$
(3) $x_1=\frac{5+\sqrt{17}}{4},x_2=\frac{5-\sqrt{17}}{4}$
(4) $x_1=5,x_2=-3$
【知识点】
公式法解一元二次方程；一元二次方程一般式；根的判别式
【点评】
本题属于一元二次方程求解的基础题型，重点考查公式法的应用步骤，解题时需注意先将方程化为一般形式，准确识别各项系数的符号，计算判别式是判断方程根的情况以及正确求解的关键，计算过程中要注意根式化简和符号运算的准确性。
【难度系数】
0.8
用公式法解一元二次方程的通用思路为：①将方程整理为一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）；②确定系数$a$、$b$、$c$的值，注意符号不要出错；③计算根的判别式$\Delta = b^2-4ac$，若$\Delta＜0$则方程无实数根，若$\Delta≥0$则进入下一步；④将$a$、$b$、$\Delta$代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$计算，化简得到方程的根。我们按这个步骤逐个求解四个方程即可。
【解析】
（1）方程$x^2 -5x +6=0$为一般形式，
其中$a=1$，$b=-5$，$c=6$，
计算判别式：$\Delta = (-5)^2 - 4×1×6 = 25 - 24 = 1＞0$，
代入求根公式得：$x=\frac{5\pm\sqrt{1}}{2×1}=\frac{5\pm1}{2}$，
即$x_1=\frac{5-1}{2}=2$，$x_2=\frac{5+1}{2}=3$。
（2）方程$x^2 -2x -5=0$为一般形式，
其中$a=1$，$b=-2$，$c=-5$，
计算判别式：$\Delta = (-2)^2 - 4×1×(-5) = 4 + 20 = 24＞0$，
代入求根公式得：$x=\frac{2\pm\sqrt{24}}{2×1}=\frac{2\pm2\sqrt{6}}{2}=1\pm\sqrt{6}$，
即$x_1=1+\sqrt{6}$，$x_2=1-\sqrt{6}$。
（3）方程$2x^2 -5x +1=0$为一般形式，
其中$a=2$，$b=-5$，$c=1$，
计算判别式：$\Delta = (-5)^2 - 4×2×1 = 25 - 8 = 17＞0$，
代入求根公式得：$x=\frac{5\pm\sqrt{17}}{2×2}=\frac{5\pm\sqrt{17}}{4}$，
即$x_1=\frac{5+\sqrt{17}}{4}$，$x_2=\frac{5-\sqrt{17}}{4}$。
（4）先整理方程为一般形式：
展开左边得$x^2 -4x = 30 -x^2$，
移项合并同类项得$2x^2 -4x -30 = 0$，两边同除以2简化为$x^2 -2x -15 = 0$，
其中$a=1$，$b=-2$，$c=-15$，
计算判别式：$\Delta = (-2)^2 - 4×1×(-15) = 4 + 60 = 64＞0$，
代入求根公式得：$x=\frac{2\pm\sqrt{64}}{2×1}=\frac{2\pm8}{2}$，
即$x_1=\frac{2+8}{2}=5$，$x_2=\frac{2-8}{2}=-3$。
【答案】
(1) $x_1=2,x_2=3$
(2) $x_1=1+\sqrt{6},x_2=1-\sqrt{6}$
(3) $x_1=\frac{5+\sqrt{17}}{4},x_2=\frac{5-\sqrt{17}}{4}$
(4) $x_1=5,x_2=-3$
【知识点】
公式法解一元二次方程；一元二次方程一般式；根的判别式
【点评】
本题属于一元二次方程求解的基础题型，重点考查公式法的应用步骤，解题时需注意先将方程化为一般形式，准确识别各项系数的符号，计算判别式是判断方程根的情况以及正确求解的关键，计算过程中要注意根式化简和符号运算的准确性。
【难度系数】
0.8
6 若$x=-2$是关于$x$的一元二次方程$x^2+\frac{3}{2}ax -a^2=0$的一个根，则$a$的值为（
A.$-1$或$4$
B.$-1$或$-4$
C.$1$或$-4$
D.$1$或$4$
C
）A.$-1$或$4$
B.$-1$或$-4$
C.$1$或$-4$
D.$1$或$4$
答案
6. C
解析
【分析】
解题的核心思路是利用一元二次方程根的定义：方程的根能使方程左右两边相等。首先将已知根x=-2代入原方程，把原方程转化为只含有参数a的一元二次方程，再求解该一元二次方程即可得到a的取值。
【解析】
∵x=-2是关于x的一元二次方程$x^2+\frac{3}{2}ax -a^2=0$的一个根
∴将x=-2代入方程，等式成立，即：
$(-2)^2 + \frac{3}{2}a × (-2) - a^2 = 0$
化简计算得：
$4 - 3a - a^2 = 0$
整理为一元二次方程的标准形式：
$a^2 + 3a - 4 = 0$
对左侧因式分解得：
$(a - 1)(a + 4) = 0$
则$a - 1 = 0$或$a + 4 = 0$
解得$a=1$或$a=-4$
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程根的定义，一元二次方程的解法
【点评】
本题属于基础题型，解题关键是熟练掌握方程根的定义，将已知根代入原方程即可将问题转化为常见的一元二次方程求解，计算时注意符号避免出错。
【难度系数】
0.8
解题的核心思路是利用一元二次方程根的定义：方程的根能使方程左右两边相等。首先将已知根x=-2代入原方程，把原方程转化为只含有参数a的一元二次方程，再求解该一元二次方程即可得到a的取值。
【解析】
∵x=-2是关于x的一元二次方程$x^2+\frac{3}{2}ax -a^2=0$的一个根
∴将x=-2代入方程，等式成立，即：
$(-2)^2 + \frac{3}{2}a × (-2) - a^2 = 0$
化简计算得：
$4 - 3a - a^2 = 0$
整理为一元二次方程的标准形式：
$a^2 + 3a - 4 = 0$
对左侧因式分解得：
$(a - 1)(a + 4) = 0$
则$a - 1 = 0$或$a + 4 = 0$
解得$a=1$或$a=-4$
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程根的定义，一元二次方程的解法
【点评】
本题属于基础题型，解题关键是熟练掌握方程根的定义，将已知根代入原方程即可将问题转化为常见的一元二次方程求解，计算时注意符号避免出错。
【难度系数】
0.8
7（易错题）若式子$\frac{1}{2}\sqrt{x^2 - 4x}$与$3\sqrt{10 - x}$中的二次根式为最简二次根式，且被开方数相同，则$x$的值是（
A.$-2$
B.$5$
C.$-2$或$5$
D.$2$或$-5$
B
）A.$-2$
B.$5$
C.$-2$或$5$
D.$2$或$-5$
答案
7. B
解答本题时容易忽视“最简二次根式的被开方数不含开得尽方的数或式”而错选C选项。
解答本题时容易忽视“最简二次根式的被开方数不含开得尽方的数或式”而错选C选项。
解析
【分析】
解题时首先明确两个核心条件：①两个式子都是最简二次根式；②被开方数相同。第一步根据被开方数相同列等式得到一元二次方程，求解得到x的可能值；第二步需要逐一验证所得的x是否同时满足“二次根式有意义（被开方数非负）”和“最简二次根式”这两个条件，排除不符合的解即可得到正确答案。
【解析】
∵ 两个二次根式是被开方数相同的最简二次根式
∴ 被开方数相等，即：
$x^2 - 4x = 10 - x$
整理得一元二次方程：$x^2 - 3x - 10 = 0$
因式分解得：$(x - 5)(x + 2) = 0$
解得：$x_1 = 5$，$x_2 = -2$
接下来检验：
① 当$x=5$时，第一个被开方数$x^2 -4x = 25 - 20 =5$，第二个被开方数$10 -x =5$，均为非负数，且5不含开得尽方的因数，符合最简二次根式的要求；
② 当$x=-2$时，第一个被开方数$x^2 -4x = 4 +8=12$，12含有开得尽方的因数4，因此$\sqrt{12}$不是最简二次根式，不符合题意，舍去。
综上，$x$的值为5。
【答案】
B
【知识点】
1. 最简二次根式的定义
2. 二次根式有意义的条件
3. 一元二次方程的解法
【点评】
本题是易错题，解题时若仅根据被开方数相等求解方程，忽略题目中“最简二次根式”的限制条件，未对解进行检验，很容易错选C选项。做题时要审全题目给出的所有条件，求出解后要验证是否符合所有要求。
【难度系数】
0.6
解题时首先明确两个核心条件：①两个式子都是最简二次根式；②被开方数相同。第一步根据被开方数相同列等式得到一元二次方程，求解得到x的可能值；第二步需要逐一验证所得的x是否同时满足“二次根式有意义（被开方数非负）”和“最简二次根式”这两个条件，排除不符合的解即可得到正确答案。
【解析】
∵ 两个二次根式是被开方数相同的最简二次根式
∴ 被开方数相等，即：
$x^2 - 4x = 10 - x$
整理得一元二次方程：$x^2 - 3x - 10 = 0$
因式分解得：$(x - 5)(x + 2) = 0$
解得：$x_1 = 5$，$x_2 = -2$
接下来检验：
① 当$x=5$时，第一个被开方数$x^2 -4x = 25 - 20 =5$，第二个被开方数$10 -x =5$，均为非负数，且5不含开得尽方的因数，符合最简二次根式的要求；
② 当$x=-2$时，第一个被开方数$x^2 -4x = 4 +8=12$，12含有开得尽方的因数4，因此$\sqrt{12}$不是最简二次根式，不符合题意，舍去。
综上，$x$的值为5。
【答案】
B
【知识点】
1. 最简二次根式的定义
2. 二次根式有意义的条件
3. 一元二次方程的解法
【点评】
本题是易错题，解题时若仅根据被开方数相等求解方程，忽略题目中“最简二次根式”的限制条件，未对解进行检验，很容易错选C选项。做题时要审全题目给出的所有条件，求出解后要验证是否符合所有要求。
【难度系数】
0.6
