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11 用因式分解法解下列方程：
(1) $(3x-2)^2=4(3-x)^2$；
(2) $-x^2 -5=2\sqrt{5}x$；
(3) $2(8-x)^2=x^2 -64$；
(4) $(y-1)^2 -6(1-y)+9=0$。
(1) $(3x-2)^2=4(3-x)^2$；
(2) $-x^2 -5=2\sqrt{5}x$；
(3) $2(8-x)^2=x^2 -64$；
(4) $(y-1)^2 -6(1-y)+9=0$。
答案
11. (1) $x_1=\frac{8}{5},x_2=-4$
(2) $x_1=x_2=-\sqrt{5}$
(3) $x_1=8,x_2=24$
(4) $y_1=y_2=-2$
(2) $x_1=x_2=-\sqrt{5}$
(3) $x_1=8,x_2=24$
(4) $y_1=y_2=-2$
解析
【分析】
用因式分解法解一元二次方程的核心是将方程整理为“几个整式乘积等于0”的形式，再根据“若ab=0，则a=0或b=0”转化为一元一次方程求解。各小题解题思路如下：(1)移项后符合平方差公式结构，用平方差公式分解；(2)移项整理后符合完全平方公式结构，用完全平方公式分解；(3)先将右边因式分解，再移项提取公因式求解；(4)将(1-y)变形为-(y-1)，把(y-1)看作整体用完全平方公式分解。
【解析】
(1) 移项，得 $(3x-2)^2 - [2(3-x)]^2 = 0$，
由平方差公式因式分解，得 $[3x-2 + 2(3-x)][3x-2 - 2(3-x)] = 0$，
化简得 $(x+4)(5x-8)=0$，
∴ $x+4=0$ 或 $5x-8=0$，
解得 $x_1=-4$，$x_2=\frac{8}{5}$。
(2) 移项，得 $-x^2 - 2\sqrt{5}x -5 = 0$，
两边同乘$-1$得 $x^2 + 2\sqrt{5}x +5 = 0$，
由完全平方公式因式分解，得 $(x+\sqrt{5})^2 = 0$，
解得 $x_1=x_2=-\sqrt{5}$。
(3) 原方程变形为 $2(8-x)^2 - (x^2 - 64) = 0$，
将右边因式分解得 $2(x-8)^2 - (x-8)(x+8) = 0$，
提取公因式$(x-8)$，得 $(x-8)[2(x-8)-(x+8)] = 0$，
化简得 $(x-8)(x-24)=0$，
∴ $x-8=0$ 或 $x-24=0$，
解得 $x_1=8$，$x_2=24$。
(4) 原方程变形为 $(y-1)^2 + 6(y-1) +9 = 0$，
将$(y-1)$看作整体，由完全平方公式因式分解，得 $[(y-1)+3]^2 = 0$，
即 $(y+2)^2 = 0$，
解得 $y_1=y_2=-2$。
【答案】
(1) $x_1=\frac{8}{5},x_2=-4$；(2) $x_1=x_2=-\sqrt{5}$；(3) $x_1=8,x_2=24$；(4) $y_1=y_2=-2$
【知识点】
因式分解法解一元二次方程，平方差公式，完全平方公式
【点评】
本题考查因式分解法解一元二次方程的应用，解题时需先观察方程结构特征，灵活选用合适的因式分解方法，变形过程中要注意符号处理，避免出错。
【难度系数】
0.75
用因式分解法解一元二次方程的核心是将方程整理为“几个整式乘积等于0”的形式，再根据“若ab=0，则a=0或b=0”转化为一元一次方程求解。各小题解题思路如下：(1)移项后符合平方差公式结构，用平方差公式分解；(2)移项整理后符合完全平方公式结构，用完全平方公式分解；(3)先将右边因式分解，再移项提取公因式求解；(4)将(1-y)变形为-(y-1)，把(y-1)看作整体用完全平方公式分解。
【解析】
(1) 移项，得 $(3x-2)^2 - [2(3-x)]^2 = 0$，
由平方差公式因式分解，得 $[3x-2 + 2(3-x)][3x-2 - 2(3-x)] = 0$，
化简得 $(x+4)(5x-8)=0$，
∴ $x+4=0$ 或 $5x-8=0$，
解得 $x_1=-4$，$x_2=\frac{8}{5}$。
(2) 移项，得 $-x^2 - 2\sqrt{5}x -5 = 0$，
两边同乘$-1$得 $x^2 + 2\sqrt{5}x +5 = 0$，
由完全平方公式因式分解，得 $(x+\sqrt{5})^2 = 0$，
解得 $x_1=x_2=-\sqrt{5}$。
(3) 原方程变形为 $2(8-x)^2 - (x^2 - 64) = 0$，
将右边因式分解得 $2(x-8)^2 - (x-8)(x+8) = 0$，
提取公因式$(x-8)$，得 $(x-8)[2(x-8)-(x+8)] = 0$，
化简得 $(x-8)(x-24)=0$，
∴ $x-8=0$ 或 $x-24=0$，
解得 $x_1=8$，$x_2=24$。
(4) 原方程变形为 $(y-1)^2 + 6(y-1) +9 = 0$，
将$(y-1)$看作整体，由完全平方公式因式分解，得 $[(y-1)+3]^2 = 0$，
即 $(y+2)^2 = 0$，
解得 $y_1=y_2=-2$。
【答案】
(1) $x_1=\frac{8}{5},x_2=-4$；(2) $x_1=x_2=-\sqrt{5}$；(3) $x_1=8,x_2=24$；(4) $y_1=y_2=-2$
【知识点】
因式分解法解一元二次方程，平方差公式，完全平方公式
【点评】
本题考查因式分解法解一元二次方程的应用，解题时需先观察方程结构特征，灵活选用合适的因式分解方法，变形过程中要注意符号处理，避免出错。
【难度系数】
0.75
12 新考向 阅读理解题 阅读下面的解答过程，请判断是否有错.若有错，请写出正确的解答过程.
已知$x=m$是关于$x$的方程$mx^2 - 2x + m = 0$的一个根，求$m$的值.
解:把$x=m$代入原方程，化简，得$m^3 = m$.
两边同时除以$m$，得$m^2 = 1$，解得$m = 1$.
把$m = 1$代入原方程检验，可知$m = 1$符合题意.
$\therefore m$的值是$1$.
已知$x=m$是关于$x$的方程$mx^2 - 2x + m = 0$的一个根，求$m$的值.
解:把$x=m$代入原方程，化简，得$m^3 = m$.
两边同时除以$m$，得$m^2 = 1$，解得$m = 1$.
把$m = 1$代入原方程检验，可知$m = 1$符合题意.
$\therefore m$的值是$1$.
答案
12. 解答过程有错 正确的解答过程如下:把$x=m$代入原方程,化简,得$m^3 - m=0.\therefore m(m+1)(m-1)=0,\therefore m=0$或$m+1=0$或$m-1=0,\therefore m_1=0,m_2=-1,m_3=1$.将$m$的三个值分别代入原方程检验,均符合题意,$\therefore m$的值是0或$-1$或1
解析
【分析】
本题考查根据方程根的定义求参数的值，解题时首先利用根的定义将x=m代入原方程得到关于m的方程。原解法的错误在于对等式$m^3=m$两边同时除以m时，未考虑m=0的情况（除数不能为0），导致漏解。正确的解题思路是先移项将方程变形为一边为0的形式，再通过因式分解求解所有可能的m值，最后将每个m值代入原方程检验是否符合题意即可。
【解析】
原解答过程有错，正确解答过程如下：
把$x=m$代入原方程，得$m· m^2 - 2· m + m = 0$，
化简得$m^3 - m = 0$，
因式分解得$m(m^2 - 1)=0$，即$m(m+1)(m-1)=0$，
$\therefore m=0$或$m+1=0$或$m-1=0$，
解得$m_1=0,m_2=-1,m_3=1$。
将$m$的三个值分别代入原方程检验：
①当$m=0$时，原方程为$-2x=0$，根为$x=0$，符合题意；
②当$m=-1$时，原方程为$-x^2-2x-1=0$，根为$x=-1$，符合题意；
③当$m=1$时，原方程为$x^2-2x+1=0$，根为$x=1$，符合题意。
$\therefore m$的值为0或-1或1。
【答案】
解答过程有错，$m$的值是0或$-1$或1
【知识点】
方程的根的定义；因式分解法解方程；等式的性质
【点评】
本题是典型的易错题，解题时要注意：当等式两边同时除以含未知数的整式时，必须保证该整式不为0，否则应选择移项因式分解的方法求解，求出参数值后要注意代入原方程检验，避免出现漏解或增根的情况。
【难度系数】
0.6
本题考查根据方程根的定义求参数的值，解题时首先利用根的定义将x=m代入原方程得到关于m的方程。原解法的错误在于对等式$m^3=m$两边同时除以m时，未考虑m=0的情况（除数不能为0），导致漏解。正确的解题思路是先移项将方程变形为一边为0的形式，再通过因式分解求解所有可能的m值，最后将每个m值代入原方程检验是否符合题意即可。
【解析】
原解答过程有错，正确解答过程如下：
把$x=m$代入原方程，得$m· m^2 - 2· m + m = 0$，
化简得$m^3 - m = 0$，
因式分解得$m(m^2 - 1)=0$，即$m(m+1)(m-1)=0$，
$\therefore m=0$或$m+1=0$或$m-1=0$，
解得$m_1=0,m_2=-1,m_3=1$。
将$m$的三个值分别代入原方程检验：
①当$m=0$时，原方程为$-2x=0$，根为$x=0$，符合题意；
②当$m=-1$时，原方程为$-x^2-2x-1=0$，根为$x=-1$，符合题意；
③当$m=1$时，原方程为$x^2-2x+1=0$，根为$x=1$，符合题意。
$\therefore m$的值为0或-1或1。
【答案】
解答过程有错，$m$的值是0或$-1$或1
【知识点】
方程的根的定义；因式分解法解方程；等式的性质
【点评】
本题是典型的易错题，解题时要注意：当等式两边同时除以含未知数的整式时，必须保证该整式不为0，否则应选择移项因式分解的方法求解，求出参数值后要注意代入原方程检验，避免出现漏解或增根的情况。
【难度系数】
0.6
13 新考向 新定义题 [2025 吴江区期中]如果关于 x 的一元二次方程$ax^2+bx+c=0$(其中 a,b,c 为常数,且$a≠0$)有两个实数根,且其中一个根等于另一个根的 2 倍减去 1,那么称这样的方程为“倍差方程”.例如,一元二次方程$x^2-5x+6=0$的两个根是$x_1=2,x_2=3$,则方程$x^2-5x+6=0$是“倍差方程”.
(1) 根据上述定义,方程$x^2 - \frac{1}{2}x = 0$
(2) 已知关于 x 的一元二次方程$x^2-(m+5)x+5m=0$是“倍差方程”,求 m 的值.
(1) 根据上述定义,方程$x^2 - \frac{1}{2}x = 0$
是
(填“是”或“不是”)“倍差方程”;(2) 已知关于 x 的一元二次方程$x^2-(m+5)x+5m=0$是“倍差方程”,求 m 的值.
答案
13. (1) 是
(2) 由$x^2-(m+5)x+5m=0,$得$(x-m)(x-5)=0$,$\therefore x-m=0$或$x-5=0,$解得$x_1=m,x_2=5.$ $\because$ 关于x的一元二次方程$x^2-(m+5)x+5m=0$是“倍差方程”,$\therefore$ 当$x_1=2x_2-1$时,$m=2×5-1=9;$当$x_2=2x_1-1$时,$5=2m-1,$解得$m=3.$综上所述,$m=9$或$m=3$
(2) 由$x^2-(m+5)x+5m=0,$得$(x-m)(x-5)=0$,$\therefore x-m=0$或$x-5=0,$解得$x_1=m,x_2=5.$ $\because$ 关于x的一元二次方程$x^2-(m+5)x+5m=0$是“倍差方程”,$\therefore$ 当$x_1=2x_2-1$时,$m=2×5-1=9;$当$x_2=2x_1-1$时,$5=2m-1,$解得$m=3.$综上所述,$m=9$或$m=3$
解析
【分析】
(1) 判断方程是否为“倍差方程”，需先求解方程得到两个实数根，再验证两根是否满足“其中一个根等于另一个根的2倍减去1”的定义即可。
(2) 先用因式分解法求出方程的两个根，由于未明确哪一个根是另一个根的2倍减1，因此需分两种情况讨论：①m是5的2倍减1；②5是m的2倍减1，分别列方程求解即可，注意不要漏解。
【解析】
(1) 解方程$x^2 - \frac{1}{2}x = 0$，因式分解得$x(x-\frac{1}{2})=0$，解得$x_1=0$，$x_2=\frac{1}{2}$。
验证：$2×\frac{1}{2}-1=0$，满足一个根是另一个根的2倍减1，因此该方程是“倍差方程”。
(2) 对$x^2-(m+5)x+5m=0$因式分解，得$(x-m)(x-5)=0$，
$\therefore x-m=0$或$x-5=0$，解得$x_1=m$，$x_2=5$。
$\because$ 该方程是“倍差方程”，分两种情况讨论：
① 当$x_1=2x_2-1$时，代入得$m=2×5-1=9$；
② 当$x_2=2x_1-1$时，代入得$5=2m-1$，解得$m=3$。
综上，m的值为3或9。
【答案】
(1) 是
(2) $m=3$或$m=9$
【知识点】
因式分解法解方程；新定义应用；分类讨论
【点评】
本题以新定义为背景考查一元二次方程的求解，解题核心是准确理解新定义，结合分类讨论思想求解，需注意避免因漏讨论情况导致失分。
【难度系数】
0.7
(1) 判断方程是否为“倍差方程”，需先求解方程得到两个实数根，再验证两根是否满足“其中一个根等于另一个根的2倍减去1”的定义即可。
(2) 先用因式分解法求出方程的两个根，由于未明确哪一个根是另一个根的2倍减1，因此需分两种情况讨论：①m是5的2倍减1；②5是m的2倍减1，分别列方程求解即可，注意不要漏解。
【解析】
(1) 解方程$x^2 - \frac{1}{2}x = 0$，因式分解得$x(x-\frac{1}{2})=0$，解得$x_1=0$，$x_2=\frac{1}{2}$。
验证：$2×\frac{1}{2}-1=0$，满足一个根是另一个根的2倍减1，因此该方程是“倍差方程”。
(2) 对$x^2-(m+5)x+5m=0$因式分解，得$(x-m)(x-5)=0$，
$\therefore x-m=0$或$x-5=0$，解得$x_1=m$，$x_2=5$。
$\because$ 该方程是“倍差方程”，分两种情况讨论：
① 当$x_1=2x_2-1$时，代入得$m=2×5-1=9$；
② 当$x_2=2x_1-1$时，代入得$5=2m-1$，解得$m=3$。
综上，m的值为3或9。
【答案】
(1) 是
(2) $m=3$或$m=9$
【知识点】
因式分解法解方程；新定义应用；分类讨论
【点评】
本题以新定义为背景考查一元二次方程的求解，解题核心是准确理解新定义，结合分类讨论思想求解，需注意避免因漏讨论情况导致失分。
【难度系数】
0.7
