9 下列各组数是勾股数的是 （）

A.$8,15,17$
B.$\sqrt{6},\sqrt{8},\sqrt{10}$
C.$1,1,\sqrt{2}$
D.$2,12,14$

9. A

【分析】
要判断一组数是不是勾股数，需紧扣勾股数的两个判定条件：①三个数都必须是正整数；②三个数满足较小两个数的平方和等于最大数的平方。解题时可以先排除含非正整数的选项，再验证剩余选项是否满足勾股定理即可。
【解析】
勾股数的定义：满足$a^2+b^2=c^2$的三个正整数，称为勾股数。
逐一分析选项：
选项B：$\sqrt{6}、\sqrt{8}、\sqrt{10}$都是无理数，不是正整数，不符合勾股数定义，排除；
选项C：$\sqrt{2}$是无理数，不是正整数，不符合勾股数定义，排除；
选项D：计算得$2^2+12^2=4+144=148$，$14^2=196$，$148≠196$，不满足勾股定理，排除；
选项A：$8^2+15^2=64+225=289=17^2$，且8、15、17都是正整数，符合勾股数定义。
【答案】
A
【知识点】
勾股数的定义；勾股定理的应用
【点评】
本题是勾股数判定的基础题，解题时要注意勾股数必须同时满足“都是正整数”和“符合勾股定理”两个要求，切勿忽略正整数的条件导致错选。
【难度系数】
0.8

10 在$△ ABC$中，$AB=25\ \mathrm{cm}$，$BC=48\ \mathrm{cm}$，边$BC$上的中线$AD=7\ \mathrm{cm}$，那么$∠ ADC$的度数为，$AC=\_\_\_\_\_\_\mathrm{cm}.$

10. $90°$ 25

【分析】
解题时首先利用三角形中线的性质求出BD、DC的长度，再观察△ABD的三边长度关系，通过勾股定理的逆定理判断△ABD为直角三角形，得到∠ADB的度数，再结合平角的性质求出∠ADC的度数，最后在Rt△ADC中利用勾股定理计算AC的长度即可。
【解析】
∵AD是BC边上的中线，BC=48cm，
∴BD=DC=$\frac{1}{2}$BC=24cm。
在△ABD中，AD=7cm，BD=24cm，AB=25cm，
∵$AD^2+BD^2=7^2+24^2=49+576=625$，$AB^2=25^2=625$，
∴$AD^2+BD^2=AB^2$，
根据勾股定理的逆定理可得△ABD是直角三角形，且∠ADB=90°。
∵∠ADB+∠ADC=180°（平角的定义），
∴∠ADC=180°-90°=90°。
在Rt△ADC中，AD=7cm，DC=24cm，由勾股定理得：
$AC^2=AD^2+DC^2=7^2+24^2=625$，
∴AC=$\sqrt{625}$=25cm（边长为正数，舍去负根）。
【答案】
$90°$；25
【知识点】
勾股定理的逆定理；勾股定理；三角形中线的定义
【点评】
本题是勾股定理及其逆定理的基础应用题型，解题的突破口是先通过中线得到BD的长度，再结合常见勾股数快速判断直角，进而求解未知量，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键。
【难度系数】
0.75

11 [2024 苏州工业园区段考]如图所示为一块铁皮，测得$AB=6\ \mathrm{dm}$，$BC=8\ \mathrm{dm}$，$CD=24\ \mathrm{dm}$，$AD=26\ \mathrm{dm}$，$∠ B=90°$. 求铁皮的面积.

11. 连接 AC. 在$△ ABC$ 中,$∠ B=90°,AB=6\ \mathrm{dm},BC=8\ \mathrm{dm}$,
$\therefore AC= \sqrt{6^2+8^2} = 10(\mathrm{dm}). \because CD=24\ \mathrm{dm},AD=26\ \mathrm{dm}$,
$AC=10\ \mathrm{dm},\therefore AC^2+CD^2=AD^2,\therefore △ ACD$ 是直角三角形,
$\therefore S_{\mathrm{铁皮}} = S_{△ ACD} - S_{△ ABC} = \dfrac{1}{2} × 10 × 24 - \dfrac{1}{2} × 6 × 8 = 120-24=96(\mathrm{dm}^2)$

【分析】
本题求解不规则铁皮的面积，首先考虑通过添加辅助线将图形转化为规则三角形求解：第一步连接AC，先利用勾股定理计算Rt△ABC的斜边AC的长度；第二步结合△ACD的三边长度，用勾股定理的逆定理判断△ACD是否为直角三角形；最后明确铁皮面积为两个直角三角形的面积差，代入数值计算即可。
【解析】
连接$AC$，
在$△ ABC$中，$∠ B=90°$，$AB=6\ \mathrm{dm}$，$BC=8\ \mathrm{dm}$，
由勾股定理得：$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10(\mathrm{dm})$，
已知$CD=24\ \mathrm{dm}$，$AD=26\ \mathrm{dm}$，
计算得$AC^2+CD^2=10^2+24^2=676$，$AD^2=26^2=676$，
因此$AC^2+CD^2=AD^2$，由勾股定理的逆定理可得$△ ACD$为直角三角形，
所以铁皮的面积为：
$S_{\mathrm{铁皮}}=S_{△ ACD}-S_{△ ABC}=\dfrac{1}{2}×10×24-\dfrac{1}{2}×6×8=120-24=96(\mathrm{dm}^2)$
【答案】
$96\ \mathrm{dm}^2$
【知识点】
勾股定理；勾股定理的逆定理；不规则图形面积计算
【点评】
本题是不规则图形面积计算的典型题，核心思路是通过添加辅助线将未知图形转化为熟悉的直角三角形，需熟练掌握勾股定理及其逆定理的适用场景，计算时注意运算准确性即可。
【难度系数】
0.7

12 [2025苏州期末]某型号推拉式窗户如图①所示，当窗户关闭时点A与点B重合。窗户拉开时，如图②，AB=15 cm，此时，窗户的最低点B相对于未开启时的最低点A升高了2 cm，则该窗户的高OA为（）

A.57 cm
B.56.25 cm
C.54 cm
D.58.25 cm

12. B 【解析】根据题意,可得 $AB=15\ \mathrm{cm},AC=2\ \mathrm{cm}$,
$\therefore BC^2=AB^2-AC^2=221(\mathrm{cm}^2)$,设 $OB=x\ \mathrm{cm}$,则 $OC=(x-2)\mathrm{cm}$. 由勾股定理,得 $OB^2=BC^2+OC^2,\therefore x^2=221+(x-2)^2$,解得 $x=56.25. \therefore$ 该窗户的高 OA 为 56.25 cm.

【分析】
本题是结合生活场景的几何应用题，解题时首先要明确窗户的高OA与OB长度相等（均为窗户的侧边长度），窗户拉开后B点比A点升高2cm即AC=2cm，且BC垂直于OA。解题思路如下：第一步，先在Rt△ABC中利用勾股定理求出BC的平方；第二步，设OA的长度为x，用含x的式子表示出OC的长度；第三步，在Rt△OBC中再次利用勾股定理列一元一次方程，求解方程即可得到OA的长度。
【解析】
解：由题意可知，OA=OB（均为窗户的高），BC⊥OA，AB=15cm，AC=2cm。
在Rt△ABC中，根据勾股定理得：
$BC^2=AB^2-AC^2=15^2-2^2=225-4=221\ \mathrm{cm}^2$
设$OB=OA=x\ \mathrm{cm}$，则$OC=OA-AC=(x-2)\ \mathrm{cm}$。
在Rt△OBC中，根据勾股定理得：
$OB^2=OC^2+BC^2$
代入得：$x^2=(x-2)^2+221$
展开右侧：$x^2=x^2-4x+4+221$
移项化简得：$4x=225$
解得：$x=56.25$
即该窗户的高OA为56.25cm。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理，一元一次方程的应用
【点评】
本题将生活中的推拉窗户问题转化为几何问题，考查学生的建模能力和勾股定理的应用能力，解题的关键是抓住OA=OB这一隐含条件，结合勾股定理构造方程求解，贴合生活实际，能有效考查学生运用知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7

13 如图，某港口P位于东西方向的海岸线上，甲、乙两船同时离开港口，各自沿一固定方向航行。已知甲、乙两船每小时分别航行12海里和16海里，1小时后两船分别位于点A，B处，且相距20海里。若甲船沿北偏西$40°$方向航行，则乙船沿方向航行。

13. 北偏东$50°$

【分析】
解题思路如下：第一步，先根据路程=速度×时间，算出1小时后甲、乙两船到港口P的距离PA、PB的长度；第二步，结合已知的AB长度，利用勾股定理的逆定理判断△APB的形状，确定∠APB的度数；第三步，结合甲船的航行方向（北偏西40°），根据方向角的定义计算出乙船的航行方向。
【解析】
解：由题意得：
甲船1小时航行的路程$PA=12×1=12$（海里），
乙船1小时航行的路程$PB=16×1=16$（海里），
已知$AB=20$海里，
∵$12^2 + 16^2 = 144 + 256 = 400 = 20^2$，
即$PA^2 + PB^2 = AB^2$，
∴△APB是直角三角形，且$∠ APB=90°$。
∵甲船沿北偏西$40°$方向航行，即PA与正北方向的夹角为$40°$，
∴PB与正北方向的夹角为$90° - 40° = 50°$，
即乙船沿北偏东$50°$方向航行。
【答案】
北偏东$50°$
【知识点】
1. 勾股定理的逆定理
2. 方向角
3. 路程计算公式
【点评】
本题是几何知识在实际航行问题中的应用，解题的核心是通过勾股定理的逆定理判断出两船航行路线的夹角为直角，再结合方向角的定义即可得出结果，考查了学生对基础知识的实际应用能力。
【难度系数】
0.7

14 新情境 生活实际 如图所示为一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为100 cm，15 cm，10 cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁想到点B处去吃可口的食物（只在台阶表面上爬行），则它所爬行的最短路程为 cm。

14. 125

【分析】
求解台阶表面蚂蚁爬行的最短路程，属于立体图形表面最短路径问题，核心思路是将立体表面展开为平面图形，利用“两点之间，线段最短”确定最短路径，再通过勾股定理计算长度。首先明确展开后形成的直角三角形的两条直角边：一条为台阶的固定长度100cm，另一条为三级台阶所有宽度与高度的总和，计算出两条直角边长度后，用勾股定理求斜边即可得到最短路程。
【解析】
将三级台阶的表面展开为平面图形，可得一个长方形：
1. 计算长方形的一条边长：每级台阶宽15cm、高10cm，三级台阶的宽度与高度总和为 $3×(15+10)=75\ \mathrm{cm}$；
2. 长方形的另一条边长为台阶的长度 $100\ \mathrm{cm}$；
3. A、B两点的最短距离为该长方形的对角线长度，设最短路程为$x\ \mathrm{cm}$，根据勾股定理：
$x^2 = 100^2 + 75^2 = 10000 + 5625 = 15625$
解得$x=\sqrt{15625}=125$（路程为正，舍去负根）。
【答案】
125
【知识点】
勾股定理的应用，立体图形表面展开，两点之间线段最短
【点评】
本题结合生活中的台阶场景，考查立体图形表面最短路径的求解方法，解题关键是将立体图形转化为平面图形，把最短路径问题转化为直角三角形求边长的问题，是勾股定理实际应用的典型题型。
【难度系数】
0.7

15 [2025姑苏区期中]如图，一个长方体饮料盒的底面长为4 cm，宽为3 cm，高为12 cm，在它的一角处开一个插吸管的小孔，将一根吸管最大限度插入盒中，露在外面的长度为1 cm，则此吸管的总长度为（）

A.12 cm
B.13 cm
C.14 cm
D.15 cm

15. C

【分析】
要让吸管最大限度插入盒中，盒内的吸管长度等于长方体的体对角线长度，这是长方体内部最长的线段。解题时首先利用勾股定理算出底面长方形的对角线长度，再将底面的对角线和长方体的高作为直角边，第二次用勾股定理算出体对角线的长度，最后加上露在外面的1cm即可得到吸管总长度。
【解析】
1. 计算长方体底面的对角线长度：
底面是长4cm、宽3cm的长方形，根据勾股定理，底面对角线长为$\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5\mathrm{cm}$。
2. 计算长方体的体对角线长度：
长方体的体对角线、底面对角线、高构成直角三角形，高为12cm，因此盒内最长吸管长度（即体对角线长）为$\sqrt{5^2+12^2}=\sqrt{169}=13\mathrm{cm}$。
3. 计算吸管总长度：
已知露在外面的吸管长度为1cm，因此吸管总长度为$13+1=14\mathrm{cm}$。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理；长方体体对角线计算
【点评】
本题是勾股定理在实际场景中的应用，解题的关键是明确长方体内最长线段为体对角线，需两次运用勾股定理进行计算，易错点是容易遗漏露在盒外的吸管长度。
【难度系数】
0.7