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16 [2025高新区段考]如图,在$4×4$的正方形网格中,$∠1+∠2$的度数为
（第16题）
$45°$
.（第16题）答案
16. $45°$
解析
【分析】
求解网格中两个角的和，我们可以借助勾股定理和勾股定理的逆定理，构造包含∠1+∠2的三角形，通过判断三角形的形状得到角的度数。首先设小正方形边长为1，计算构造出的三角形的三边长，利用勾股定理逆定理判断三角形是等腰直角三角形，即可得到两角和的度数。
【解析】
设每个小正方形的边长为1。
我们选取格点构造三角形，使得该三角形的一个内角等于∠1+∠2，计算该三角形的三边长：
1. 第一条边：由勾股定理得，$\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$；
2. 第二条边：同理可得，$\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$；
3. 第三条边：$\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$。
验证三边关系：$(\sqrt{5})^2 + (\sqrt{5})^2 = 5+5=10=(\sqrt{10})^2$，符合勾股定理的逆定理，因此该三角形是直角三角形，且两条短边相等，所以是等腰直角三角形，它的锐角为$45°$，即$∠ 1+∠ 2=45°$。
【答案】
$45°$
【知识点】
勾股定理，勾股定理的逆定理，等腰直角三角形的性质
【点评】
本题是网格中的角度计算问题，解题的关键是通过构造辅助线将两个分散的角整合到同一个三角形中，结合勾股定理及逆定理判断三角形形状来求解，锻炼了学生的构图能力和转化思想的应用。
【难度系数】
0.6
求解网格中两个角的和，我们可以借助勾股定理和勾股定理的逆定理，构造包含∠1+∠2的三角形，通过判断三角形的形状得到角的度数。首先设小正方形边长为1，计算构造出的三角形的三边长，利用勾股定理逆定理判断三角形是等腰直角三角形，即可得到两角和的度数。
【解析】
设每个小正方形的边长为1。
我们选取格点构造三角形，使得该三角形的一个内角等于∠1+∠2，计算该三角形的三边长：
1. 第一条边：由勾股定理得，$\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$；
2. 第二条边：同理可得，$\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$；
3. 第三条边：$\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$。
验证三边关系：$(\sqrt{5})^2 + (\sqrt{5})^2 = 5+5=10=(\sqrt{10})^2$，符合勾股定理的逆定理，因此该三角形是直角三角形，且两条短边相等，所以是等腰直角三角形，它的锐角为$45°$，即$∠ 1+∠ 2=45°$。
【答案】
$45°$
【知识点】
勾股定理，勾股定理的逆定理，等腰直角三角形的性质
【点评】
本题是网格中的角度计算问题，解题的关键是通过构造辅助线将两个分散的角整合到同一个三角形中，结合勾股定理及逆定理判断三角形形状来求解，锻炼了学生的构图能力和转化思想的应用。
【难度系数】
0.6
17 [2025广西]如图，点A，D在BC的同侧，AB=BC=CA=2，$BD=CD=\sqrt{2}$，则AD的长为
$\sqrt{3}-1$
.答案
17. $\sqrt{3}-1$
解析
【分析】
首先由AB=BC=CA可判定△ABC是等边三角形，再由BD=CD可知点A和点D都在BC的垂直平分线上，因此可作辅助线延长AD交BC于点E，可得AE垂直BC。接下来分别利用等边三角形的性质求高AE的长度，利用勾股定理逆定理判定△BDC是等腰直角三角形，再结合直角三角形斜边中线的性质求DE的长度，最后根据A、D在BC同侧，用AE减DE即可得到AD的长。
【解析】
延长AD交BC于点E。
∵AB=AC，BD=CD，
∴点A、D都在BC的垂直平分线上，即AE垂直平分BC，
∴BE=EC=$\frac{1}{2}$BC=1，∠AEB=90°。
在等边△ABC中，AB=2，由勾股定理得：
AE=$\sqrt{AB^2 - BE^2}=\sqrt{2^2 -1^2}=\sqrt{3}$。
在△BDC中，BD=CD=$\sqrt{2}$，BC=2，
∵$BD^2 + CD^2=(\sqrt{2})^2 + (\sqrt{2})^2=4=BC^2$，
∴△BDC是等腰直角三角形，∠BDC=90°。
∵DE是等腰Rt△BDC斜边上的中线，
∴DE=$\frac{1}{2}$BC=1。
∵点A、D在BC同侧，D在线段AE上，
∴AD=AE - DE=$\sqrt{3} -1$。
【答案】
$\sqrt{3}-1$
【知识点】
等边三角形的性质；垂直平分线的性质；勾股定理
【点评】
本题是几何基础综合题，解题的关键是根据线段相等的条件发现两点共线的垂直平分线，通过作辅助线将所求线段转化为两条特殊线段的差，很好地考查了对特殊三角形性质的灵活应用能力。
【难度系数】
0.7
首先由AB=BC=CA可判定△ABC是等边三角形，再由BD=CD可知点A和点D都在BC的垂直平分线上，因此可作辅助线延长AD交BC于点E，可得AE垂直BC。接下来分别利用等边三角形的性质求高AE的长度，利用勾股定理逆定理判定△BDC是等腰直角三角形，再结合直角三角形斜边中线的性质求DE的长度，最后根据A、D在BC同侧，用AE减DE即可得到AD的长。
【解析】
延长AD交BC于点E。
∵AB=AC，BD=CD，
∴点A、D都在BC的垂直平分线上，即AE垂直平分BC，
∴BE=EC=$\frac{1}{2}$BC=1，∠AEB=90°。
在等边△ABC中，AB=2，由勾股定理得：
AE=$\sqrt{AB^2 - BE^2}=\sqrt{2^2 -1^2}=\sqrt{3}$。
在△BDC中，BD=CD=$\sqrt{2}$，BC=2，
∵$BD^2 + CD^2=(\sqrt{2})^2 + (\sqrt{2})^2=4=BC^2$，
∴△BDC是等腰直角三角形，∠BDC=90°。
∵DE是等腰Rt△BDC斜边上的中线，
∴DE=$\frac{1}{2}$BC=1。
∵点A、D在BC同侧，D在线段AE上，
∴AD=AE - DE=$\sqrt{3} -1$。
【答案】
$\sqrt{3}-1$
【知识点】
等边三角形的性质；垂直平分线的性质；勾股定理
【点评】
本题是几何基础综合题，解题的关键是根据线段相等的条件发现两点共线的垂直平分线，通过作辅助线将所求线段转化为两条特殊线段的差，很好地考查了对特殊三角形性质的灵活应用能力。
【难度系数】
0.7
18 如图，正方形ABCD的边长为4，点E在边BC上，且BE=1，F为对角线BD上一动点，连接CF，EF，则CF+EF的最小值为
$\sqrt{17}$
。答案
18. $\sqrt{17}$ 【解析】连接 AF,AE. $\because$ 对角线 BD 所在直线是正方形的对称轴,$\therefore AF=CF$. 根据“两点之间,线段最短”,可知当 A,F,E 三点共线时,$AF+EF$ 取得最小值,即 $CF+EF$ 取得最小值. 在 $\mathrm{Rt}△ ABE$ 中,由勾股定理,得 $AE=\sqrt{AB^2+BE^2}=\sqrt{4^2+1^2}=\sqrt{17},\therefore CF+EF$ 的最小值为 $\sqrt{17}$.
解析
【分析】
本题属于轴对称最短路径问题，解题思路如下：1. 观察图形可知点F在正方形对角线BD上，BD是正方形的对称轴，点C关于BD的对称点为点A，因此可利用轴对称性质将CF转化为AF；2. 此时CF+EF等价于AF+EF，根据两点之间线段最短，当A、F、E三点共线时，AF+EF的和最小，最小值即为线段AE的长度；3. 最后在直角三角形ABE中利用勾股定理计算AE的长度即可。
【解析】
连接AF、AE。
∵四边形ABCD是正方形，对角线BD所在直线是正方形的对称轴，
∴点A与点C关于BD对称，因此$AF=CF$，
则$CF+EF=AF+EF$。
根据“两点之间，线段最短”，当A、F、E三点共线时，$AF+EF$取得最小值，即$CF+EF$取得最小值，最小值为AE的长度。
在$\mathrm{Rt}△ABE$中，$AB=4$，$BE=1$，由勾股定理得：
$AE=\sqrt{AB^2+BE^2}=\sqrt{4^2+1^2}=\sqrt{17}$
因此$CF+EF$的最小值为$\sqrt{17}$。
【答案】
$\sqrt{17}$
【知识点】
轴对称的性质；两点之间线段最短；勾股定理
【点评】
本题是典型的几何最值问题，解题核心是利用轴对称的性质实现线段的等量转化，将折线段和的最小值转化为两点之间线段长求解，体现了转化思想在几何问题中的应用。
【难度系数】
0.7
本题属于轴对称最短路径问题，解题思路如下：1. 观察图形可知点F在正方形对角线BD上，BD是正方形的对称轴，点C关于BD的对称点为点A，因此可利用轴对称性质将CF转化为AF；2. 此时CF+EF等价于AF+EF，根据两点之间线段最短，当A、F、E三点共线时，AF+EF的和最小，最小值即为线段AE的长度；3. 最后在直角三角形ABE中利用勾股定理计算AE的长度即可。
【解析】
连接AF、AE。
∵四边形ABCD是正方形，对角线BD所在直线是正方形的对称轴，
∴点A与点C关于BD对称，因此$AF=CF$，
则$CF+EF=AF+EF$。
根据“两点之间，线段最短”，当A、F、E三点共线时，$AF+EF$取得最小值，即$CF+EF$取得最小值，最小值为AE的长度。
在$\mathrm{Rt}△ABE$中，$AB=4$，$BE=1$，由勾股定理得：
$AE=\sqrt{AB^2+BE^2}=\sqrt{4^2+1^2}=\sqrt{17}$
因此$CF+EF$的最小值为$\sqrt{17}$。
【答案】
$\sqrt{17}$
【知识点】
轴对称的性质；两点之间线段最短；勾股定理
【点评】
本题是典型的几何最值问题，解题核心是利用轴对称的性质实现线段的等量转化，将折线段和的最小值转化为两点之间线段长求解，体现了转化思想在几何问题中的应用。
【难度系数】
0.7
19 [2025苏州工业园区期中]如图，在$△ ABC$中，$AB=AC=5$，$BC=6$，$BD$是角平分线，过点$D$作$DE⊥ BC$，垂足为$E$，则$DE$的长为
$\dfrac{24}{11}$
。答案
19. $\dfrac{24}{11}$ 【解析】如图,过点 A 作 $AF⊥ BC$ 于点 F,过点 D 作 $DH⊥ AB$ 于点 H. $\because AB=AC=5,BC=6,AF⊥ BC,\therefore BF=CF=\dfrac{1}{2} BC=3,\therefore AF=\sqrt{AB^2-BF^2}=4. \because BD$ 是$∠ ABC$ 的平分线,$DE⊥ BC,DH⊥ AB,\therefore DE=DH. \because S_{△ ABC}=\dfrac{1}{2} BC· AF=\dfrac{1}{2} BC· DE + \dfrac{1}{2} AB· DH,\therefore \dfrac{1}{2} × 6 × 4=\dfrac{1}{2} (AB+BC)· DE$,即 $12=\dfrac{1}{2} ×(5+6)× DE,\therefore DE=\dfrac{24}{11}$.
解析
【分析】
要解决本题可按如下思路推导：①首先△ABC是等腰三角形，已知三边长度，可先作底边上的高AF，利用等腰三角形三线合一求出底边一半的长度，再用勾股定理计算AF的长度，即可得到△ABC的总面积；②BD是角平分线，根据角平分线的性质，点D到角两边AB、BC的距离相等，即DE=DH（DH为点D到AB的垂线段长度）；③△ABC的面积可拆分为△ABD和△BCD的面积之和，两个小三角形的高分别为DH和DE，二者相等，代入已知边长即可建立方程求出DE的长度。
【解析】
解：如图，过点A作$AF⊥ BC$于点F，过点D作$DH⊥ AB$于点H。
$\because AB=AC=5,BC=6,AF⊥ BC$，
$\therefore BF=CF=\dfrac{1}{2} BC=3$，
在$Rt△ ABF$中，由勾股定理得：
$AF=\sqrt{AB^2-BF^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$。
$\because BD$是$∠ ABC$的平分线，$DE⊥ BC$，$DH⊥ AB$，
$\therefore DE=DH$（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
$\because S_{△ ABC}=S_{△ BCD}+S_{△ ABD}$，
$\therefore \dfrac{1}{2} BC· AF=\dfrac{1}{2} BC· DE + \dfrac{1}{2} AB· DH$，
将$DH=DE$代入上式得：
$\dfrac{1}{2} × 6 × 4=\dfrac{1}{2} × 6 × DE + \dfrac{1}{2} ×5 × DE$，
化简得$12=\dfrac{11}{2} DE$，
解得$DE=\dfrac{24}{11}$。
【答案】
$\dfrac{24}{11}$
【知识点】
1. 等腰三角形三线合一
2. 角平分线的性质
3. 勾股定理
【点评】
本题是几何性质的综合应用题，解题核心是灵活运用角平分线的性质得到两条高相等，再通过面积法建立方程求解，能够有效考查学生对几何性质的掌握程度和转化思想的运用能力。
【难度系数】
0.6
要解决本题可按如下思路推导：①首先△ABC是等腰三角形，已知三边长度，可先作底边上的高AF，利用等腰三角形三线合一求出底边一半的长度，再用勾股定理计算AF的长度，即可得到△ABC的总面积；②BD是角平分线，根据角平分线的性质，点D到角两边AB、BC的距离相等，即DE=DH（DH为点D到AB的垂线段长度）；③△ABC的面积可拆分为△ABD和△BCD的面积之和，两个小三角形的高分别为DH和DE，二者相等，代入已知边长即可建立方程求出DE的长度。
【解析】
解：如图，过点A作$AF⊥ BC$于点F，过点D作$DH⊥ AB$于点H。
$\because AB=AC=5,BC=6,AF⊥ BC$，
$\therefore BF=CF=\dfrac{1}{2} BC=3$，
在$Rt△ ABF$中，由勾股定理得：
$AF=\sqrt{AB^2-BF^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$。
$\because BD$是$∠ ABC$的平分线，$DE⊥ BC$，$DH⊥ AB$，
$\therefore DE=DH$（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
$\because S_{△ ABC}=S_{△ BCD}+S_{△ ABD}$，
$\therefore \dfrac{1}{2} BC· AF=\dfrac{1}{2} BC· DE + \dfrac{1}{2} AB· DH$，
将$DH=DE$代入上式得：
$\dfrac{1}{2} × 6 × 4=\dfrac{1}{2} × 6 × DE + \dfrac{1}{2} ×5 × DE$，
化简得$12=\dfrac{11}{2} DE$，
解得$DE=\dfrac{24}{11}$。
【答案】
$\dfrac{24}{11}$
【知识点】
1. 等腰三角形三线合一
2. 角平分线的性质
3. 勾股定理
【点评】
本题是几何性质的综合应用题，解题核心是灵活运用角平分线的性质得到两条高相等，再通过面积法建立方程求解，能够有效考查学生对几何性质的掌握程度和转化思想的运用能力。
【难度系数】
0.6
20 如图，在$△ ABC$中，$AB=8$，$AC=17$，$AD$是边$BC$上的中线，$AD=\frac{15}{2}$，求$△ ABC$的面积。
答案
20. 如图,延长 AD 至点 E,使得 $ED=AD$,连接 CE. $\because AD$ 是边 BC 上的中线, $\therefore BD=CD$. 在$△ ABD$ 和$△ ECD$ 中,
$\begin{cases} AD=ED, \\ ∠ ADB=∠ EDC, \\ BD=CD, \end{cases}$
$\therefore △ ABD ≌ △ ECD,\therefore AB=EC=8$,
$S_{△ ABD}=S_{△ ECD}. \because S_{△ ABC} = S_{△ ABD} + S_{△ ADC},S_{△ AEC} = S_{△ ECD} + S_{△ ADC},\therefore S_{△ ABC}=S_{△ AEC}. \because AD=\dfrac{15}{2},\therefore AE=AD+DE=15.$
又$\because AC=17,\therefore AE^2+EC^2=AC^2,\therefore ∠ E=90°,\therefore S_{△ ABC} = S_{△ AEC} = \dfrac{1}{2} AE· EC = \dfrac{1}{2} × 15 × 8=60$
解析
【分析】
已知条件给出了三角形两边长度和第三边上的中线长，直接求△ABC的底和高计算面积难度较大。遇到带中线的几何题，我们可以采用“倍长中线”的常用辅助线作法：延长AD到E使DE=AD，连接CE，构造全等三角形将AB转移为CE的长度，此时可得到△AEC的三边长，先通过勾股定理的逆定理判断△AEC为直角三角形，算出它的面积，再根据全等关系可知△ABC和△AEC面积相等，即可求出△ABC的面积。
【解析】
解：延长AD至点E，使得 $ED=AD$，连接CE。
$\because AD$ 是边 $BC$ 上的中线，
$\therefore BD=CD$。
在$△ ABD$ 和$△ ECD$ 中,
$\begin{cases} AD=ED, \\ ∠ ADB=∠ EDC, \\ BD=CD, \end{cases}$
$\therefore △ ABD ≌ △ ECD(\mathrm{SAS})$，
$\therefore AB=EC=8$，$S_{△ ABD}=S_{△ ECD}$。
$\because S_{△ ABC} = S_{△ ABD} + S_{△ ADC}$，$S_{△ AEC} = S_{△ ECD} + S_{△ ADC}$，
$\therefore S_{△ ABC}=S_{△ AEC}$。
$\because AD=\dfrac{15}{2}$，
$\therefore AE=AD+DE=2AD=15$。
又$\because AC=17$，
$\therefore AE^2+EC^2=15^2+8^2=289=17^2=AC^2$，
$\therefore ∠ E=90°$，即$△ AEC$为直角三角形，
$\therefore S_{△ ABC} = S_{△ AEC} = \dfrac{1}{2} AE· EC = \dfrac{1}{2} × 15 × 8=60$。
【答案】
60
【知识点】
倍长中线辅助线作法，全等三角形判定与性质，勾股定理逆定理
【点评】
本题是三角形相关计算的典型题型，核心考查倍长中线的辅助线技巧，通过构造全等实现边和面积的转化，再结合勾股定理逆定理求解面积，掌握倍长中线的方法能大幅降低涉及中线的几何题的解题难度。
【难度系数】
0.6
已知条件给出了三角形两边长度和第三边上的中线长，直接求△ABC的底和高计算面积难度较大。遇到带中线的几何题，我们可以采用“倍长中线”的常用辅助线作法：延长AD到E使DE=AD，连接CE，构造全等三角形将AB转移为CE的长度，此时可得到△AEC的三边长，先通过勾股定理的逆定理判断△AEC为直角三角形，算出它的面积，再根据全等关系可知△ABC和△AEC面积相等，即可求出△ABC的面积。
【解析】
解：延长AD至点E，使得 $ED=AD$，连接CE。
$\because AD$ 是边 $BC$ 上的中线，
$\therefore BD=CD$。
在$△ ABD$ 和$△ ECD$ 中,
$\begin{cases} AD=ED, \\ ∠ ADB=∠ EDC, \\ BD=CD, \end{cases}$
$\therefore △ ABD ≌ △ ECD(\mathrm{SAS})$，
$\therefore AB=EC=8$，$S_{△ ABD}=S_{△ ECD}$。
$\because S_{△ ABC} = S_{△ ABD} + S_{△ ADC}$，$S_{△ AEC} = S_{△ ECD} + S_{△ ADC}$，
$\therefore S_{△ ABC}=S_{△ AEC}$。
$\because AD=\dfrac{15}{2}$，
$\therefore AE=AD+DE=2AD=15$。
又$\because AC=17$，
$\therefore AE^2+EC^2=15^2+8^2=289=17^2=AC^2$，
$\therefore ∠ E=90°$，即$△ AEC$为直角三角形，
$\therefore S_{△ ABC} = S_{△ AEC} = \dfrac{1}{2} AE· EC = \dfrac{1}{2} × 15 × 8=60$。
【答案】
60
【知识点】
倍长中线辅助线作法，全等三角形判定与性质，勾股定理逆定理
【点评】
本题是三角形相关计算的典型题型，核心考查倍长中线的辅助线技巧，通过构造全等实现边和面积的转化，再结合勾股定理逆定理求解面积，掌握倍长中线的方法能大幅降低涉及中线的几何题的解题难度。
【难度系数】
0.6
21 如图,在长方形纸片ABCD中,AB=8 cm,BC=6 cm,P为AD上的一点,将△ABP沿BP折叠至△EBP处,PE与CD相交于点O,且OE=OD,求AP的长.
答案
21. 设 DC 与 BE 相交于点 G. $\because$ 四边形 ABCD 是长方形,
$\therefore ∠ D=∠ A=∠ C=90°,AD=BC=6\ \mathrm{cm},CD=AB=8\ \mathrm{cm}.$
根据折叠的特征,得$△ EBP ≌ △ ABP,\therefore EP=AP,∠ E=∠ A=90°,BE=BA=8\ \mathrm{cm},\therefore ∠ D=∠ E.$ 在$△ ODP$ 和$△ OEG$ 中,
$\begin{cases} ∠ D=∠ E, \\ OD=OE, \\ ∠ DOP=∠ EOG, \end{cases}$
$\therefore △ ODP ≌ △ OEG,\therefore OP=OG,PD=GE,\therefore OP+OE=OG+OD$,即 $EP=DG$. 设 $AP=x\ \mathrm{cm}$,则
$PD=GE=(6-x)\mathrm{cm},EP=DG=x\ \mathrm{cm}. \therefore CG=CD-DG=(8-x)\mathrm{cm},BG=BE-GE=8-(6-x)=(2+x)\mathrm{cm}.$ 在$\mathrm{Rt}△ BCG$ 中,由勾股定理,得 $BC^2+CG^2=BG^2$,即 $6^2+(8-x)^2=(2+x)^2$,解得 $x=4.8. \therefore AP$ 的长为 4.8 cm
$\therefore ∠ D=∠ A=∠ C=90°,AD=BC=6\ \mathrm{cm},CD=AB=8\ \mathrm{cm}.$
根据折叠的特征,得$△ EBP ≌ △ ABP,\therefore EP=AP,∠ E=∠ A=90°,BE=BA=8\ \mathrm{cm},\therefore ∠ D=∠ E.$ 在$△ ODP$ 和$△ OEG$ 中,
$\begin{cases} ∠ D=∠ E, \\ OD=OE, \\ ∠ DOP=∠ EOG, \end{cases}$
$\therefore △ ODP ≌ △ OEG,\therefore OP=OG,PD=GE,\therefore OP+OE=OG+OD$,即 $EP=DG$. 设 $AP=x\ \mathrm{cm}$,则
$PD=GE=(6-x)\mathrm{cm},EP=DG=x\ \mathrm{cm}. \therefore CG=CD-DG=(8-x)\mathrm{cm},BG=BE-GE=8-(6-x)=(2+x)\mathrm{cm}.$ 在$\mathrm{Rt}△ BCG$ 中,由勾股定理,得 $BC^2+CG^2=BG^2$,即 $6^2+(8-x)^2=(2+x)^2$,解得 $x=4.8. \therefore AP$ 的长为 4.8 cm
解析
【分析】
解决本题的思路如下：第一步，结合折叠性质，得到折叠前后△EBP和△ABP的对应边、对应角相等；第二步，观察到已知OD=OE，加上长方形的直角相等、对顶角相等，可证明△ODP≌△OEG，得到对应边相等，实现线段的转化；第三步，设AP的长为未知数，用含未知数的代数式表示出Rt△BCG的各边长度，根据勾股定理列方程求解即可得到AP的长度。
【解析】
设DC与BE相交于点G.
∵四边形ABCD是长方形，
∴∠D=∠A=∠C=90°，AD=BC=6 cm，CD=AB=8 cm.
根据折叠的特征，得△EBP≌△ABP，
∴EP=AP，∠E=∠A=90°，BE=BA=8 cm，
∴∠D=∠E.
在△ODP和△OEG中，
$\begin{cases} ∠D=∠E, \\ OD=OE, \\ ∠DOP=∠EOG, \end{cases}$
∴△ODP≌△OEG（ASA），
∴OP=OG，PD=GE，
∴OP+OE=OG+OD，即EP=DG.
设AP=x cm，则PD=GE=(6-x) cm，EP=DG=x cm，
∴CG=CD-DG=(8-x) cm，BG=BE-GE=8-(6-x)=(2+x) cm.
在Rt△BCG中，由勾股定理，得$BC^2+CG^2=BG^2$，
即$6^2+(8-x)^2=(2+x)^2$，
展开计算得：$36 + 64 - 16x + x^2 = 4 + 4x + x^2$，
化简得：$100 -16x = 4 +4x$，
移项合并得：$20x = 96$，
解得$x=4.8$.
【答案】
AP的长为4.8 cm
【知识点】
折叠的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理的应用
【点评】
本题是折叠类几何的典型题型，综合考查了矩形、全等三角形、勾股定理的相关知识，解题的关键是利用全等三角形实现线段的等量转换，找到合适的直角三角形，通过勾股定理建立方程求解，体现了方程思想在几何计算中的应用。
【难度系数】
0.6
解决本题的思路如下：第一步，结合折叠性质，得到折叠前后△EBP和△ABP的对应边、对应角相等；第二步，观察到已知OD=OE，加上长方形的直角相等、对顶角相等，可证明△ODP≌△OEG，得到对应边相等，实现线段的转化；第三步，设AP的长为未知数，用含未知数的代数式表示出Rt△BCG的各边长度，根据勾股定理列方程求解即可得到AP的长度。
【解析】
设DC与BE相交于点G.
∵四边形ABCD是长方形，
∴∠D=∠A=∠C=90°，AD=BC=6 cm，CD=AB=8 cm.
根据折叠的特征，得△EBP≌△ABP，
∴EP=AP，∠E=∠A=90°，BE=BA=8 cm，
∴∠D=∠E.
在△ODP和△OEG中，
$\begin{cases} ∠D=∠E, \\ OD=OE, \\ ∠DOP=∠EOG, \end{cases}$
∴△ODP≌△OEG（ASA），
∴OP=OG，PD=GE，
∴OP+OE=OG+OD，即EP=DG.
设AP=x cm，则PD=GE=(6-x) cm，EP=DG=x cm，
∴CG=CD-DG=(8-x) cm，BG=BE-GE=8-(6-x)=(2+x) cm.
在Rt△BCG中，由勾股定理，得$BC^2+CG^2=BG^2$，
即$6^2+(8-x)^2=(2+x)^2$，
展开计算得：$36 + 64 - 16x + x^2 = 4 + 4x + x^2$，
化简得：$100 -16x = 4 +4x$，
移项合并得：$20x = 96$，
解得$x=4.8$.
【答案】
AP的长为4.8 cm
【知识点】
折叠的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理的应用
【点评】
本题是折叠类几何的典型题型，综合考查了矩形、全等三角形、勾股定理的相关知识，解题的关键是利用全等三角形实现线段的等量转换，找到合适的直角三角形，通过勾股定理建立方程求解，体现了方程思想在几何计算中的应用。
【难度系数】
0.6
