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16 [2025高新区段考]如图,在$4×4$的正方形网格中,$∠1+∠2$的度数为
（第16题）
$45°$
.（第16题）答案
16. $45°$
17 [2025广西]如图，点A，D在BC的同侧，AB=BC=CA=2，$BD=CD=\sqrt{2}$，则AD的长为
$\sqrt{3}-1$
.答案
17. $\sqrt{3}-1$
18 如图，正方形ABCD的边长为4，点E在边BC上，且BE=1，F为对角线BD上一动点，连接CF，EF，则CF+EF的最小值为
$\sqrt{17}$
。答案
18. $\sqrt{17}$ 【解析】连接 AF,AE. $\because$ 对角线 BD 所在直线是正方形的对称轴,$\therefore AF=CF$. 根据“两点之间,线段最短”,可知当 A,F,E 三点共线时,$AF+EF$ 取得最小值,即 $CF+EF$ 取得最小值. 在 $\mathrm{Rt}△ ABE$ 中,由勾股定理,得 $AE=\sqrt{AB^2+BE^2}=\sqrt{4^2+1^2}=\sqrt{17},\therefore CF+EF$ 的最小值为 $\sqrt{17}$.
19 [2025苏州工业园区期中]如图，在$△ ABC$中，$AB=AC=5$，$BC=6$，$BD$是角平分线，过点$D$作$DE⊥ BC$，垂足为$E$，则$DE$的长为
$\dfrac{24}{11}$
。答案
19. $\dfrac{24}{11}$ 【解析】如图,过点 A 作 $AF⊥ BC$ 于点 F,过点 D 作 $DH⊥ AB$ 于点 H. $\because AB=AC=5,BC=6,AF⊥ BC,\therefore BF=CF=\dfrac{1}{2} BC=3,\therefore AF=\sqrt{AB^2-BF^2}=4. \because BD$ 是$∠ ABC$ 的平分线,$DE⊥ BC,DH⊥ AB,\therefore DE=DH. \because S_{△ ABC}=\dfrac{1}{2} BC· AF=\dfrac{1}{2} BC· DE + \dfrac{1}{2} AB· DH,\therefore \dfrac{1}{2} × 6 × 4=\dfrac{1}{2} (AB+BC)· DE$,即 $12=\dfrac{1}{2} ×(5+6)× DE,\therefore DE=\dfrac{24}{11}$.
20 如图，在$△ ABC$中，$AB=8$，$AC=17$，$AD$是边$BC$上的中线，$AD=\frac{15}{2}$，求$△ ABC$的面积。
答案
20. 如图,延长 AD 至点 E,使得 $ED=AD$,连接 CE. $\because AD$ 是边 BC 上的中线, $\therefore BD=CD$. 在$△ ABD$ 和$△ ECD$ 中,
$\begin{cases} AD=ED, \\ ∠ ADB=∠ EDC, \\ BD=CD, \end{cases}$
$\therefore △ ABD ≌ △ ECD,\therefore AB=EC=8$,
$S_{△ ABD}=S_{△ ECD}. \because S_{△ ABC} = S_{△ ABD} + S_{△ ADC},S_{△ AEC} = S_{△ ECD} + S_{△ ADC},\therefore S_{△ ABC}=S_{△ AEC}. \because AD=\dfrac{15}{2},\therefore AE=AD+DE=15.$
又$\because AC=17,\therefore AE^2+EC^2=AC^2,\therefore ∠ E=90°,\therefore S_{△ ABC} = S_{△ AEC} = \dfrac{1}{2} AE· EC = \dfrac{1}{2} × 15 × 8=60$
21 如图,在长方形纸片ABCD中,AB=8 cm,BC=6 cm,P为AD上的一点,将△ABP沿BP折叠至△EBP处,PE与CD相交于点O,且OE=OD,求AP的长.
答案
21. 设 DC 与 BE 相交于点 G. $\because$ 四边形 ABCD 是长方形,
$\therefore ∠ D=∠ A=∠ C=90°,AD=BC=6\ \mathrm{cm},CD=AB=8\ \mathrm{cm}.$
根据折叠的特征,得$△ EBP ≌ △ ABP,\therefore EP=AP,∠ E=∠ A=90°,BE=BA=8\ \mathrm{cm},\therefore ∠ D=∠ E.$ 在$△ ODP$ 和$△ OEG$ 中,
$\begin{cases} ∠ D=∠ E, \\ OD=OE, \\ ∠ DOP=∠ EOG, \end{cases}$
$\therefore △ ODP ≌ △ OEG,\therefore OP=OG,PD=GE,\therefore OP+OE=OG+OD$,即 $EP=DG$. 设 $AP=x\ \mathrm{cm}$,则
$PD=GE=(6-x)\mathrm{cm},EP=DG=x\ \mathrm{cm}. \therefore CG=CD-DG=(8-x)\mathrm{cm},BG=BE-GE=8-(6-x)=(2+x)\mathrm{cm}.$ 在$\mathrm{Rt}△ BCG$ 中,由勾股定理,得 $BC^2+CG^2=BG^2$,即 $6^2+(8-x)^2=(2+x)^2$,解得 $x=4.8. \therefore AP$ 的长为 4.8 cm
$\therefore ∠ D=∠ A=∠ C=90°,AD=BC=6\ \mathrm{cm},CD=AB=8\ \mathrm{cm}.$
根据折叠的特征,得$△ EBP ≌ △ ABP,\therefore EP=AP,∠ E=∠ A=90°,BE=BA=8\ \mathrm{cm},\therefore ∠ D=∠ E.$ 在$△ ODP$ 和$△ OEG$ 中,
$\begin{cases} ∠ D=∠ E, \\ OD=OE, \\ ∠ DOP=∠ EOG, \end{cases}$
$\therefore △ ODP ≌ △ OEG,\therefore OP=OG,PD=GE,\therefore OP+OE=OG+OD$,即 $EP=DG$. 设 $AP=x\ \mathrm{cm}$,则
$PD=GE=(6-x)\mathrm{cm},EP=DG=x\ \mathrm{cm}. \therefore CG=CD-DG=(8-x)\mathrm{cm},BG=BE-GE=8-(6-x)=(2+x)\mathrm{cm}.$ 在$\mathrm{Rt}△ BCG$ 中,由勾股定理,得 $BC^2+CG^2=BG^2$,即 $6^2+(8-x)^2=(2+x)^2$,解得 $x=4.8. \therefore AP$ 的长为 4.8 cm
