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1 已知直角三角形一条直角边的长与斜边的长之比为$3:5$，另一条直角边的长为24，则该直角三角形的周长为（
A.68
B.72
C.80
D.100
B
）A.68
B.72
C.80
D.100
答案
1. B
解析
【分析】
看到直角三角形的边长比例关系，首先考虑用设参数的方法表示已知比例的两条边，再结合勾股定理推导出第三条边的参数表达式，根据题目给出的第三条边的实际长度求出参数值，即可得到三边长，最终计算出周长。
【解析】
解：设长度比为3:5的直角边长为$3x$，斜边长为$5x$（$x＞0$）。
根据勾股定理，另一条直角边长为：
$\sqrt{(5x)^2 - (3x)^2}=\sqrt{25x^2-9x^2}=\sqrt{16x^2}=4x$
已知这条直角边长为24，可得$4x=24$，解得$x=6$。
因此三边长分别为：$3x=3×6=18$，$24$，$5x=5×6=30$。
周长为$18+24+30=72$。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理；比例设元法；三角形周长计算
【点评】
本题属于勾股定理的基础应用类题型，解题的核心是利用比例设参简化边长关系，再结合勾股定理建立方程求解参数，掌握基础方法即可快速解题。
【难度系数】
0.8
看到直角三角形的边长比例关系，首先考虑用设参数的方法表示已知比例的两条边，再结合勾股定理推导出第三条边的参数表达式，根据题目给出的第三条边的实际长度求出参数值，即可得到三边长，最终计算出周长。
【解析】
解：设长度比为3:5的直角边长为$3x$，斜边长为$5x$（$x＞0$）。
根据勾股定理，另一条直角边长为：
$\sqrt{(5x)^2 - (3x)^2}=\sqrt{25x^2-9x^2}=\sqrt{16x^2}=4x$
已知这条直角边长为24，可得$4x=24$，解得$x=6$。
因此三边长分别为：$3x=3×6=18$，$24$，$5x=5×6=30$。
周长为$18+24+30=72$。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理；比例设元法；三角形周长计算
【点评】
本题属于勾股定理的基础应用类题型，解题的核心是利用比例设参简化边长关系，再结合勾股定理建立方程求解参数，掌握基础方法即可快速解题。
【难度系数】
0.8
2 如图，在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=8$，$BC=6$，$D$为$AC$上一点。若$BD$是$∠ ABC$的平分线，则$AD$的长为（
A.4
B.$\dfrac{9}{2}$
C.5
D.$\dfrac{11}{2}$
（第2题）
C
）A.4
B.$\dfrac{9}{2}$
C.5
D.$\dfrac{11}{2}$
（第2题）答案
2. C
解析
【分析】
首先在Rt△ABC中利用勾股定理求出斜边AB的长度；再根据角平分线的性质，过点D作AB的垂线构造全等三角形，得到对应边相等，求出AE的长度；最后设AD的长为未知数，在新构造的直角三角形中利用勾股定理列方程求解，即可得到AD的长度。
【解析】
解：在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=8$，$BC=6$，
由勾股定理得：$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{8^2+6^2}=10$。
过点D作$DE⊥ AB$于点E，
∵BD是$∠ ABC$的平分线，$DC⊥ BC$，$DE⊥ AB$，
∴$DC=DE$（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
在$△ BCD$和$△ BED$中：
$\begin{cases}∠ C=∠ BED=90°\\∠ CBD=∠ EBD\\BD=BD\end{cases}$
∴$△ BCD≌△ BED$（AAS），
∴$BE=BC=6$，
∴$AE=AB-BE=10-6=4$。
设$AD=x$，则$DC=DE=8-x$，
在$Rt△ ADE$中，由勾股定理得：$AD^2=AE^2+DE^2$，
即$x^2=4^2+(8-x)^2$，
展开整理得：$16x=80$，
解得$x=5$，即$AD=5$。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是几何综合计算题，核心是通过作辅助线构造全等三角形和直角三角形，将已知条件集中到同一个直角三角形中，结合方程思想求解线段长度，是几何计算的典型考法。
【难度系数】
0.7
首先在Rt△ABC中利用勾股定理求出斜边AB的长度；再根据角平分线的性质，过点D作AB的垂线构造全等三角形，得到对应边相等，求出AE的长度；最后设AD的长为未知数，在新构造的直角三角形中利用勾股定理列方程求解，即可得到AD的长度。
【解析】
解：在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=8$，$BC=6$，
由勾股定理得：$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{8^2+6^2}=10$。
过点D作$DE⊥ AB$于点E，
∵BD是$∠ ABC$的平分线，$DC⊥ BC$，$DE⊥ AB$，
∴$DC=DE$（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
在$△ BCD$和$△ BED$中：
$\begin{cases}∠ C=∠ BED=90°\\∠ CBD=∠ EBD\\BD=BD\end{cases}$
∴$△ BCD≌△ BED$（AAS），
∴$BE=BC=6$，
∴$AE=AB-BE=10-6=4$。
设$AD=x$，则$DC=DE=8-x$，
在$Rt△ ADE$中，由勾股定理得：$AD^2=AE^2+DE^2$，
即$x^2=4^2+(8-x)^2$，
展开整理得：$16x=80$，
解得$x=5$，即$AD=5$。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是几何综合计算题，核心是通过作辅助线构造全等三角形和直角三角形，将已知条件集中到同一个直角三角形中，结合方程思想求解线段长度，是几何计算的典型考法。
【难度系数】
0.7
3 整体思想 [2025苏州工业园区段考]如图，在$△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，分别以$AC$，$BC$，$AB$为边向外侧作正方形。如果$AC$，$BC$，$AB$的长分别是$a$，$b$，$c$，且$a+b+c=13$，$ab+ac+bc=38$，那么这三个正方形的面积和是（
A.67
B.131
C.93
D.70
C
）A.67
B.131
C.93
D.70
答案
3. C
解析
【分析】
要求三个正方形的面积和，首先可知边长为a、b、c的正方形面积分别为$a^2$、$b^2$、$c^2$，因此所求面积和为$a^2+b^2+c^2$。已知$a+b+c$和$ab+ac+bc$的数值，可联想到三个数和的完全平方公式：$(a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2 + 2(ab+ac+bc)$，将公式变形后整体代入已知条件即可求出结果，无需单独计算a、b、c的具体值，简化计算。
【解析】
三个正方形的面积分别为$a^2$、$b^2$、$c^2$，因此面积和为$ S = a^2 + b^2 + c^2 $。
根据完全平方公式可得：
$ (a+b+c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + ac + bc) $
对公式变形得：
$ a^2 + b^2 + c^2 = (a+b+c)^2 - 2(ab + ac + bc) $
代入已知$ a+b+c=13 $，$ ab+ac+bc=38 $计算：
$ S = 13^2 - 2×38 = 169 - 76 = 93 $
【答案】
C
【知识点】
正方形面积计算、完全平方公式、整体代入求值
【点评】
本题考查整体思想在代数求值中的应用，解题的关键是熟练掌握三个数和的完全平方展开式，通过整体代入避免单独求解未知数，减少计算量。
【难度系数】
0.7
要求三个正方形的面积和，首先可知边长为a、b、c的正方形面积分别为$a^2$、$b^2$、$c^2$，因此所求面积和为$a^2+b^2+c^2$。已知$a+b+c$和$ab+ac+bc$的数值，可联想到三个数和的完全平方公式：$(a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2 + 2(ab+ac+bc)$，将公式变形后整体代入已知条件即可求出结果，无需单独计算a、b、c的具体值，简化计算。
【解析】
三个正方形的面积分别为$a^2$、$b^2$、$c^2$，因此面积和为$ S = a^2 + b^2 + c^2 $。
根据完全平方公式可得：
$ (a+b+c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + ac + bc) $
对公式变形得：
$ a^2 + b^2 + c^2 = (a+b+c)^2 - 2(ab + ac + bc) $
代入已知$ a+b+c=13 $，$ ab+ac+bc=38 $计算：
$ S = 13^2 - 2×38 = 169 - 76 = 93 $
【答案】
C
【知识点】
正方形面积计算、完全平方公式、整体代入求值
【点评】
本题考查整体思想在代数求值中的应用，解题的关键是熟练掌握三个数和的完全平方展开式，通过整体代入避免单独求解未知数，减少计算量。
【难度系数】
0.7
4 在$△ ABC$中，$AB=AC$，$∠ BAC$的平分线$AD$交$BC$于点$D$，$E$为$AB$的中点.若$BC=12$，$AD=8$，则$DE$的长为________.
答案
4. 5
解析
【分析】
解题思路可分三步：第一步，先利用等腰三角形的性质，因为AB=AC，AD是∠BAC的平分线，根据等腰三角形“三线合一”，可推出AD垂直BC，且D是BC的中点，就能算出BD的长度；第二步，在直角三角形ABD中，已知AD和BD的长度，用勾股定理算出斜边AB的长度；第三步，E是AB的中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，即可求出DE的长度。
【解析】
解：
∵AB=AC，AD平分∠BAC
∴AD⊥BC，BD=DC=$\frac{1}{2}$BC（等腰三角形三线合一）
∵BC=12，
∴BD=$\frac{1}{2}$×12=6，且∠ADB=90°
在Rt△ABD中，AD=8，BD=6，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AD^2+BD^2}=\sqrt{8^2+6^2}=\sqrt{64+36}=\sqrt{100}=10$
∵E为AB的中点，△ABD是直角三角形
∴DE=$\frac{1}{2}$AB（直角三角形斜边中线等于斜边的一半）
∴DE=$\frac{1}{2}$×10=5
【答案】
5
【知识点】
等腰三角形的性质；勾股定理；直角三角形斜边中线的性质
【点评】
本题属于基础综合题，将等腰三角形、直角三角形的核心性质结合考查，解题的关键是熟练掌握相关几何性质，逐步推导即可得到结果。
【难度系数】
0.7
解题思路可分三步：第一步，先利用等腰三角形的性质，因为AB=AC，AD是∠BAC的平分线，根据等腰三角形“三线合一”，可推出AD垂直BC，且D是BC的中点，就能算出BD的长度；第二步，在直角三角形ABD中，已知AD和BD的长度，用勾股定理算出斜边AB的长度；第三步，E是AB的中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，即可求出DE的长度。
【解析】
解：
∵AB=AC，AD平分∠BAC
∴AD⊥BC，BD=DC=$\frac{1}{2}$BC（等腰三角形三线合一）
∵BC=12，
∴BD=$\frac{1}{2}$×12=6，且∠ADB=90°
在Rt△ABD中，AD=8，BD=6，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AD^2+BD^2}=\sqrt{8^2+6^2}=\sqrt{64+36}=\sqrt{100}=10$
∵E为AB的中点，△ABD是直角三角形
∴DE=$\frac{1}{2}$AB（直角三角形斜边中线等于斜边的一半）
∴DE=$\frac{1}{2}$×10=5
【答案】
5
【知识点】
等腰三角形的性质；勾股定理；直角三角形斜边中线的性质
【点评】
本题属于基础综合题，将等腰三角形、直角三角形的核心性质结合考查，解题的关键是熟练掌握相关几何性质，逐步推导即可得到结果。
【难度系数】
0.7
5 如图,在$△ ABC$中,按照尺规作图痕迹作直线$MN$,分别与边$BC$,$AC$相交于点$D$,$E$,连接$AD$.若$BD=DC$,$AE=4$,$AD=5$,则$AB$的长为________.
答案
5. 6
解析
【分析】
首先识别尺规作图的结果：图中MN是线段AC的垂直平分线，根据垂直平分线的性质可得E是AC中点，且DE⊥AC；再结合已知BD=DC，可知D是BC中点，由此可判断DE是△ABC的中位线；接下来先在Rt△ADE中利用勾股定理求出DE的长度，最后根据三角形中位线定理即可求出AB的长度。
【解析】
由尺规作图痕迹可知，MN是线段AC的垂直平分线，
∴ AE=EC=4，∠AED=90°，
在Rt△ADE中，AD=5，AE=4，根据勾股定理：
$DE=\sqrt{AD^2 - AE^2}=\sqrt{5^2 - 4^2}=\sqrt{9}=3$，
又
∵ BD=DC，即D是BC的中点，且E是AC的中点，
∴ DE是△ABC的中位线，
根据三角形中位线定理：$DE=\frac{1}{2}AB$，
∴ $AB=2DE=2×3=6$。
【答案】
6
【知识点】
线段垂直平分线的性质，勾股定理，三角形中位线定理
【点评】
本题属于几何基础综合题，解题的关键是先根据尺规作图痕迹判断出垂直平分线，再结合中点条件识别中位线，熟练运用相关几何定理逐步推导计算即可。
【难度系数】
0.7
首先识别尺规作图的结果：图中MN是线段AC的垂直平分线，根据垂直平分线的性质可得E是AC中点，且DE⊥AC；再结合已知BD=DC，可知D是BC中点，由此可判断DE是△ABC的中位线；接下来先在Rt△ADE中利用勾股定理求出DE的长度，最后根据三角形中位线定理即可求出AB的长度。
【解析】
由尺规作图痕迹可知，MN是线段AC的垂直平分线，
∴ AE=EC=4，∠AED=90°，
在Rt△ADE中，AD=5，AE=4，根据勾股定理：
$DE=\sqrt{AD^2 - AE^2}=\sqrt{5^2 - 4^2}=\sqrt{9}=3$，
又
∵ BD=DC，即D是BC的中点，且E是AC的中点，
∴ DE是△ABC的中位线，
根据三角形中位线定理：$DE=\frac{1}{2}AB$，
∴ $AB=2DE=2×3=6$。
【答案】
6
【知识点】
线段垂直平分线的性质，勾股定理，三角形中位线定理
【点评】
本题属于几何基础综合题，解题的关键是先根据尺规作图痕迹判断出垂直平分线，再结合中点条件识别中位线，熟练运用相关几何定理逐步推导计算即可。
【难度系数】
0.7
6 在如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，$△ ABC$的三个顶点A，B，C均在格点上，则点C到AB的距离为
$\dfrac{8}{5}$
。答案
6. $\dfrac{8}{5}$ 【解析】设点 C 到 AB 的距离为 h. 由勾股定理,得
$AB^2=3^2+4^2=25,\therefore AB=5.$ 根据$△ ABC$ 的面积公式,得$\dfrac{1}{2}× 2×4=\dfrac{1}{2}×5h$,解得 $h=\dfrac{8}{5}.\therefore$ 点 C 到 AB 的距离为$\dfrac{8}{5}$.
$AB^2=3^2+4^2=25,\therefore AB=5.$ 根据$△ ABC$ 的面积公式,得$\dfrac{1}{2}× 2×4=\dfrac{1}{2}×5h$,解得 $h=\dfrac{8}{5}.\therefore$ 点 C 到 AB 的距离为$\dfrac{8}{5}$.
解析
【分析】
要求点C到AB的距离，可采用等积法求解：第一步先计算△ABC的面积，选取BC为底计算更简便，BC是竖直的线段长度易求，对应高为点A到BC所在直线的水平距离；第二步用勾股定理求出AB的长度；第三步将AB作为底，点C到AB的距离为高，根据三角形面积的两种表示方法列方程，即可求出所求距离。
【解析】
设点C到AB的距离为$h$。
1. 求$AB$的长度：由勾股定理可得，$AB^2=3^2+4^2=25$，因此$AB=5$。
2. 计算$△ ABC$的面积：观察网格得$BC=2$，点A到BC所在直线的水平距离为4，因此$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×2×4=4$。
3. 列方程求$h$：三角形面积也可表示为$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AB× h$，代入数据得：
$\frac{1}{2}×5h=4$
解得$h=\frac{8}{5}$。
【答案】
$\dfrac{8}{5}$
【知识点】
勾股定理，点到直线的距离，等积法求高
【点评】
本题是典型的网格类几何计算题，解题关键是灵活运用等积法，结合勾股定理和三角形面积公式建立等量关系求解，方法通用性强，是几何中求垂线段长度的常用方法。
【难度系数】
0.7
要求点C到AB的距离，可采用等积法求解：第一步先计算△ABC的面积，选取BC为底计算更简便，BC是竖直的线段长度易求，对应高为点A到BC所在直线的水平距离；第二步用勾股定理求出AB的长度；第三步将AB作为底，点C到AB的距离为高，根据三角形面积的两种表示方法列方程，即可求出所求距离。
【解析】
设点C到AB的距离为$h$。
1. 求$AB$的长度：由勾股定理可得，$AB^2=3^2+4^2=25$，因此$AB=5$。
2. 计算$△ ABC$的面积：观察网格得$BC=2$，点A到BC所在直线的水平距离为4，因此$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×2×4=4$。
3. 列方程求$h$：三角形面积也可表示为$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AB× h$，代入数据得：
$\frac{1}{2}×5h=4$
解得$h=\frac{8}{5}$。
【答案】
$\dfrac{8}{5}$
【知识点】
勾股定理，点到直线的距离，等积法求高
【点评】
本题是典型的网格类几何计算题，解题关键是灵活运用等积法，结合勾股定理和三角形面积公式建立等量关系求解，方法通用性强，是几何中求垂线段长度的常用方法。
【难度系数】
0.7
7 如图，把一张长方形纸片沿对角线折叠.若$BC=9\ \mathrm{cm}$，$CD=3\ \mathrm{cm}$，则涂色部分的面积为
$\dfrac{15}{2}$
$\mathrm{cm}^2$.答案
7. $\dfrac{15}{2}$
解析
【分析】
解决本题首先利用折叠的性质得到对应角相等，再结合长方形对边平行的性质推出相等的角，得到等腰三角形，进而得到边的等量关系；接着设未知边长，在直角三角形中利用勾股定理列方程求解边长，最后根据三角形面积公式计算阴影部分面积即可。
【解析】
∵ 四边形ABCD是长方形，
∴ $AD=BC=9\ \mathrm{cm}$，$AB=CD=3\ \mathrm{cm}$，$AD// BC$，$∠ A=90°$，
由折叠的性质可得：$∠ DBC=∠ DBF$，
∵ $AD// BC$，
∴ $∠ ADB=∠ DBC$，
∴ $∠ ADB=∠ DBF$，
∴ $FB=FD$，
设$FD=x\ \mathrm{cm}$，则$FB=x\ \mathrm{cm}$，$AF=AD-FD=(9-x)\ \mathrm{cm}$，
在$\mathrm{Rt}△ ABF$中，由勾股定理得：
$AB^2+AF^2=FB^2$，
代入数值得：$3^2+(9-x)^2=x^2$，
展开计算：$9+81-18x+x^2=x^2$，
整理得：$18x=90$，
解得：$x=5$，
∴ 阴影部分$△ FBD$的面积为：
$S=\frac{1}{2}× FD× AB=\frac{1}{2}×5×3=\frac{15}{2}\ (\mathrm{cm}^2)$。
【答案】
$\dfrac{15}{2}$
【知识点】
折叠的性质；平行线的性质；勾股定理
【点评】
本题是折叠类几何计算的典型题型，解题的突破口是结合折叠和平行的性质推出等腰三角形，再利用勾股定理建立方程求解未知边长，对学生的几何逻辑推理能力和方程思想应用有一定要求。
【难度系数】
0.6
解决本题首先利用折叠的性质得到对应角相等，再结合长方形对边平行的性质推出相等的角，得到等腰三角形，进而得到边的等量关系；接着设未知边长，在直角三角形中利用勾股定理列方程求解边长，最后根据三角形面积公式计算阴影部分面积即可。
【解析】
∵ 四边形ABCD是长方形，
∴ $AD=BC=9\ \mathrm{cm}$，$AB=CD=3\ \mathrm{cm}$，$AD// BC$，$∠ A=90°$，
由折叠的性质可得：$∠ DBC=∠ DBF$，
∵ $AD// BC$，
∴ $∠ ADB=∠ DBC$，
∴ $∠ ADB=∠ DBF$，
∴ $FB=FD$，
设$FD=x\ \mathrm{cm}$，则$FB=x\ \mathrm{cm}$，$AF=AD-FD=(9-x)\ \mathrm{cm}$，
在$\mathrm{Rt}△ ABF$中，由勾股定理得：
$AB^2+AF^2=FB^2$，
代入数值得：$3^2+(9-x)^2=x^2$，
展开计算：$9+81-18x+x^2=x^2$，
整理得：$18x=90$，
解得：$x=5$，
∴ 阴影部分$△ FBD$的面积为：
$S=\frac{1}{2}× FD× AB=\frac{1}{2}×5×3=\frac{15}{2}\ (\mathrm{cm}^2)$。
【答案】
$\dfrac{15}{2}$
【知识点】
折叠的性质；平行线的性质；勾股定理
【点评】
本题是折叠类几何计算的典型题型，解题的突破口是结合折叠和平行的性质推出等腰三角形，再利用勾股定理建立方程求解未知边长，对学生的几何逻辑推理能力和方程思想应用有一定要求。
【难度系数】
0.6
8 如图，$△ ADE$ 和 $△ ACB$ 是两直角边的长分别为 $a,b$，斜边的长为 $c$ 的全等的直角三角形，$∠ DAB=90°$，连接 $CD$。求证：$a^2 + b^2 = c^2$。
答案
8. 如图,连接 DB,过点 D 作 $DF⊥ BC$,交 BC 的延长线于点 F,
则 $DF=EC=b-a. \because S_{\mathrm{四边形}ADCB} = S_{△ ACD} + S_{△ ABC} = \dfrac{1}{2} b^2 + \dfrac{1}{2} ab$,又$\because S_{\mathrm{四边形}ADCB} = S_{△ ADB} + S_{△ DCB} = \dfrac{1}{2} c^2 + \dfrac{1}{2} a (b-a)$,
$\therefore \dfrac{1}{2} b^2 + \dfrac{1}{2} ab = \dfrac{1}{2} c^2 + \dfrac{1}{2} a (b-a),\therefore a^2 + b^2 = c^2$
解析
【分析】
要证明$a^2 + b^2 = c^2$，可采用面积法解题，利用同一图形的面积用两种不同方式拆分计算，结果相等的特点建立等式，化简后即可得到结论。首先作辅助线：连接DB构造直角$△ ADB$，再过D作BC延长线的垂线DF，得到$△ DCB$的高，方便计算$△ DCB$的面积。将四边形ADCB分别拆分为$△ ACD+△ ABC$、$△ ADB+△ DCB$两种组合，分别计算两种组合的面积和，令二者相等，整理等式即可推导出勾股定理。
【解析】
证明：连接DB，过点D作$DF⊥BC$，交BC的延长线于点F，
由图形可得$DF = EC = b - a$。
∵ 四边形ADCB的面积可表示为$△ ACD$与$△ ABC$的面积和：
$S_{\mathrm{四边形}ADCB} = S_{△ ACD} + S_{△ ABC} = \dfrac{1}{2} b^2 + \dfrac{1}{2} ab$，
同时，四边形ADCB的面积也可表示为$△ ADB$与$△ DCB$的面积和：
$S_{\mathrm{四边形}ADCB} = S_{△ ADB} + S_{△ DCB} = \dfrac{1}{2} c^2 + \dfrac{1}{2} a (b-a)$，
∴ 可得等式：$\dfrac{1}{2} b^2 + \dfrac{1}{2} ab = \dfrac{1}{2} c^2 + \dfrac{1}{2} a (b-a)$，
等式两边同时乘2消去分母，得：$b^2 + ab = c^2 + a(b - a)$，
展开右边整理得：$b^2 + ab = c^2 + ab - a^2$，
两边同时减去$ab$，得：$a^2 + b^2 = c^2$，原式得证。
【答案】
如图,连接 DB,过点 D 作 $DF⊥ BC$,交 BC 的延长线于点 F,
则 $DF=EC=b-a. \because S_{\mathrm{四边形}ADCB} = S_{△ ACD} + S_{△ ABC} = \dfrac{1}{2} b^2 + \dfrac{1}{2} ab$,又$\because S_{\mathrm{四边形}ADCB} = S_{△ ADB} + S_{△ DCB} = \dfrac{1}{2} c^2 + \dfrac{1}{2} a (b-a)$,
$\therefore \dfrac{1}{2} b^2 + \dfrac{1}{2} ab = \dfrac{1}{2} c^2 + \dfrac{1}{2} a (b-a),\therefore a^2 + b^2 = c^2$
【知识点】
勾股定理的证明、面积法应用、辅助线构造
【点评】
本题是勾股定理证明的典型题型，核心思路是利用同一图形面积的不同表示方式建立等式，解题的关键是正确作出辅助线，准确拆分图形并计算各部分面积，面积法是几何证明中常用的基础方法。
【难度系数】
0.6
要证明$a^2 + b^2 = c^2$，可采用面积法解题，利用同一图形的面积用两种不同方式拆分计算，结果相等的特点建立等式，化简后即可得到结论。首先作辅助线：连接DB构造直角$△ ADB$，再过D作BC延长线的垂线DF，得到$△ DCB$的高，方便计算$△ DCB$的面积。将四边形ADCB分别拆分为$△ ACD+△ ABC$、$△ ADB+△ DCB$两种组合，分别计算两种组合的面积和，令二者相等，整理等式即可推导出勾股定理。
【解析】
证明：连接DB，过点D作$DF⊥BC$，交BC的延长线于点F，
由图形可得$DF = EC = b - a$。
∵ 四边形ADCB的面积可表示为$△ ACD$与$△ ABC$的面积和：
$S_{\mathrm{四边形}ADCB} = S_{△ ACD} + S_{△ ABC} = \dfrac{1}{2} b^2 + \dfrac{1}{2} ab$，
同时，四边形ADCB的面积也可表示为$△ ADB$与$△ DCB$的面积和：
$S_{\mathrm{四边形}ADCB} = S_{△ ADB} + S_{△ DCB} = \dfrac{1}{2} c^2 + \dfrac{1}{2} a (b-a)$，
∴ 可得等式：$\dfrac{1}{2} b^2 + \dfrac{1}{2} ab = \dfrac{1}{2} c^2 + \dfrac{1}{2} a (b-a)$，
等式两边同时乘2消去分母，得：$b^2 + ab = c^2 + a(b - a)$，
展开右边整理得：$b^2 + ab = c^2 + ab - a^2$，
两边同时减去$ab$，得：$a^2 + b^2 = c^2$，原式得证。
【答案】
如图,连接 DB,过点 D 作 $DF⊥ BC$,交 BC 的延长线于点 F,
则 $DF=EC=b-a. \because S_{\mathrm{四边形}ADCB} = S_{△ ACD} + S_{△ ABC} = \dfrac{1}{2} b^2 + \dfrac{1}{2} ab$,又$\because S_{\mathrm{四边形}ADCB} = S_{△ ADB} + S_{△ DCB} = \dfrac{1}{2} c^2 + \dfrac{1}{2} a (b-a)$,
$\therefore \dfrac{1}{2} b^2 + \dfrac{1}{2} ab = \dfrac{1}{2} c^2 + \dfrac{1}{2} a (b-a),\therefore a^2 + b^2 = c^2$
【知识点】
勾股定理的证明、面积法应用、辅助线构造
【点评】
本题是勾股定理证明的典型题型，核心思路是利用同一图形面积的不同表示方式建立等式，解题的关键是正确作出辅助线，准确拆分图形并计算各部分面积，面积法是几何证明中常用的基础方法。
【难度系数】
0.6
