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1 若等腰三角形的一个内角为$110°$,则该等腰三角形底角的度数为 （
A.$70°$
B.$45°$
C.$35°$
D.$50°$
C
）A.$70°$
B.$45°$
C.$35°$
D.$50°$
答案
1. C
解析
【分析】
解题时首先回忆两个核心知识点：一是等腰三角形两底角相等，二是三角形内角和为180°。已知给出的内角是110°，属于钝角，需要先判断这个角是顶角还是底角：如果110°是底角，两个底角之和就会超过180°，不符合三角形内角和要求，因此110°只能是顶角，再用内角和减去顶角的度数，除以2即可求出底角的度数。
【解析】
解：分两种情况讨论：
① 若110°为等腰三角形的底角：
因为等腰三角形两底角相等，所以两个底角之和为$110° × 2=220°$，大于三角形内角和$180°$，不符合实际，该情况舍去；
② 若110°为等腰三角形的顶角：
则底角的度数为$\frac{180° - 110°}{2}=35°$。
综上，该等腰三角形底角的度数为$35°$，故选C。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是等腰三角形性质应用的基础题型，解题关键是先判断已知钝角的位置，避免忽略三角形内角和的限制出现错误。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆两个核心知识点：一是等腰三角形两底角相等，二是三角形内角和为180°。已知给出的内角是110°，属于钝角，需要先判断这个角是顶角还是底角：如果110°是底角，两个底角之和就会超过180°，不符合三角形内角和要求，因此110°只能是顶角，再用内角和减去顶角的度数，除以2即可求出底角的度数。
【解析】
解：分两种情况讨论：
① 若110°为等腰三角形的底角：
因为等腰三角形两底角相等，所以两个底角之和为$110° × 2=220°$，大于三角形内角和$180°$，不符合实际，该情况舍去；
② 若110°为等腰三角形的顶角：
则底角的度数为$\frac{180° - 110°}{2}=35°$。
综上，该等腰三角形底角的度数为$35°$，故选C。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是等腰三角形性质应用的基础题型，解题关键是先判断已知钝角的位置，避免忽略三角形内角和的限制出现错误。
【难度系数】
0.8
2 新情境 生活实际 [2024绥化改编]某城市几条道路的位置关系如图所示，道路$AB// CD$，道路AB与AE交于点A，其夹角$∠ BAE=50°$，道路CD与AE交于点F。城市规划部门想新修一条道路CE，要求$CF=EF$，则$∠ E$的度数为（
A.$23°$
B.$25°$
C.$27°$
D.$30°$
（第2题） （第3题） （第4题） （第5题）
B
）A.$23°$
B.$25°$
C.$27°$
D.$30°$
（第2题） （第3题） （第4题） （第5题）答案
2. B
解析
【分析】
解题时先从已知条件出发：①首先由AB//CD，利用平行线的同位角相等性质，可求出∠DFE的度数；②再根据CF=EF，得出△CFE是等腰三角形，得到两底角∠C=∠E的关系；③最后结合三角形外角等于不相邻两个内角和的性质，将已知角和未知角建立联系，即可求出∠E的度数。
【解析】
解：
∵AB//CD，∠BAE=50°，
∴∠DFE=∠BAE=50°（两直线平行，同位角相等）。
∵CF=EF，
∴△CFE为等腰三角形，∠C=∠E（等腰三角形两底角相等）。
又
∵∠DFE是△CFE的外角，
∴∠DFE=∠C+∠E（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和）。
将∠C=∠E代入得：∠DFE=2∠E，
∴∠E=∠DFE÷2=50°÷2=25°。
【答案】
B
【知识点】
平行线的性质；等腰三角形的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题结合城市道路规划的实际情境，考查了几何基础定理的综合应用，解题时只要按照条件逐步推导，理清角之间的数量关系即可求解，属于基础类的几何综合题。
【难度系数】
0.8
解题时先从已知条件出发：①首先由AB//CD，利用平行线的同位角相等性质，可求出∠DFE的度数；②再根据CF=EF，得出△CFE是等腰三角形，得到两底角∠C=∠E的关系；③最后结合三角形外角等于不相邻两个内角和的性质，将已知角和未知角建立联系，即可求出∠E的度数。
【解析】
解：
∵AB//CD，∠BAE=50°，
∴∠DFE=∠BAE=50°（两直线平行，同位角相等）。
∵CF=EF，
∴△CFE为等腰三角形，∠C=∠E（等腰三角形两底角相等）。
又
∵∠DFE是△CFE的外角，
∴∠DFE=∠C+∠E（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和）。
将∠C=∠E代入得：∠DFE=2∠E，
∴∠E=∠DFE÷2=50°÷2=25°。
【答案】
B
【知识点】
平行线的性质；等腰三角形的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题结合城市道路规划的实际情境，考查了几何基础定理的综合应用，解题时只要按照条件逐步推导，理清角之间的数量关系即可求解，属于基础类的几何综合题。
【难度系数】
0.8
3 如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,D是BC延长线上的一点,$∠ ACD=110°$,则$∠ A$的度数为 （
A.$70°$
B.$55°$
C.$40°$
D.$35°$
C
）A.$70°$
B.$55°$
C.$40°$
D.$35°$
答案
3. C
解析
【分析】
首先根据已知条件AB=AC，可判断△ABC是等腰三角形，等腰三角形的两个底角∠B和∠ACB相等。其次∠ACD与∠ACB是邻补角，二者和为180°，可先求出∠ACB的度数，也就得到了∠B的度数，最后结合三角形内角和为180°，即可计算出顶角∠A的度数。
【解析】
1. 求∠ACB的度数：
∵∠ACD与∠ACB互为邻补角，
∴∠ACB=180°-∠ACD=180°-110°=70°。
2. 利用等腰三角形性质求∠B：
∵AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形，
∴∠B=∠ACB=70°。
3. 计算∠A的度数：
根据三角形内角和为180°，
∠A=180°-∠B-∠ACB=180°-70°-70°=40°。
因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形的性质，邻补角的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础题，核心考查等腰三角形等边对等角的性质，结合邻补角和三角形内角和的基础知识点即可求解，解题时注意理清各个角之间的数量关系即可。
【难度系数】
0.8
首先根据已知条件AB=AC，可判断△ABC是等腰三角形，等腰三角形的两个底角∠B和∠ACB相等。其次∠ACD与∠ACB是邻补角，二者和为180°，可先求出∠ACB的度数，也就得到了∠B的度数，最后结合三角形内角和为180°，即可计算出顶角∠A的度数。
【解析】
1. 求∠ACB的度数：
∵∠ACD与∠ACB互为邻补角，
∴∠ACB=180°-∠ACD=180°-110°=70°。
2. 利用等腰三角形性质求∠B：
∵AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形，
∴∠B=∠ACB=70°。
3. 计算∠A的度数：
根据三角形内角和为180°，
∠A=180°-∠B-∠ACB=180°-70°-70°=40°。
因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形的性质，邻补角的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础题，核心考查等腰三角形等边对等角的性质，结合邻补角和三角形内角和的基础知识点即可求解，解题时注意理清各个角之间的数量关系即可。
【难度系数】
0.8
4 如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ C=90°$,$AF=EF$.若$∠ CFE=72°$,则$∠ B$的度数为________.
答案
4. $54°$
解析
【分析】
解题时先从已知条件$AF=EF$入手，利用等腰三角形等边对等角的性质，得到$∠A=∠AEF$；再观察$∠CFE$是$△AEF$的外角，根据三角形外角等于不相邻两个内角和的性质，结合$∠CFE$的度数即可求出$∠A$的度数；最后在$\mathrm{Rt}△ABC$中，利用直角三角形两锐角互余的性质，就能算出$∠B$的度数。
【解析】
解：$\because AF=EF$，
$\therefore ∠A=∠AEF$（等腰三角形等边对等角）。
$\because ∠CFE$是$△AEF$的外角，
$\therefore ∠CFE=∠A+∠AEF=2∠A$（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和）。
已知$∠CFE=72°$，
$\therefore 2∠A=72°$，解得$∠A=36°$。
在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠C=90°$，
$\therefore ∠A+∠B=90°$（直角三角形的两个锐角互余），
$\therefore ∠B=90°-∠A=90°-36°=54°$。
【答案】
$54°$
【知识点】
等腰三角形的性质、三角形外角的性质、直角三角形的性质
【点评】
本题属于基础几何计算题，核心是梳理清楚角之间的数量关系，熟练掌握等腰三角形、三角形外角及直角三角形的相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知条件$AF=EF$入手，利用等腰三角形等边对等角的性质，得到$∠A=∠AEF$；再观察$∠CFE$是$△AEF$的外角，根据三角形外角等于不相邻两个内角和的性质，结合$∠CFE$的度数即可求出$∠A$的度数；最后在$\mathrm{Rt}△ABC$中，利用直角三角形两锐角互余的性质，就能算出$∠B$的度数。
【解析】
解：$\because AF=EF$，
$\therefore ∠A=∠AEF$（等腰三角形等边对等角）。
$\because ∠CFE$是$△AEF$的外角，
$\therefore ∠CFE=∠A+∠AEF=2∠A$（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和）。
已知$∠CFE=72°$，
$\therefore 2∠A=72°$，解得$∠A=36°$。
在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠C=90°$，
$\therefore ∠A+∠B=90°$（直角三角形的两个锐角互余），
$\therefore ∠B=90°-∠A=90°-36°=54°$。
【答案】
$54°$
【知识点】
等腰三角形的性质、三角形外角的性质、直角三角形的性质
【点评】
本题属于基础几何计算题，核心是梳理清楚角之间的数量关系，熟练掌握等腰三角形、三角形外角及直角三角形的相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.7
5 如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ ABC=90°$,$ED$是$AC$的垂直平分线,交$AC$于点$D$,交$BC$于点$E$,$∠ BAE=10°$,则$∠ C$的度数为________.
答案
5. $40°$
解析
【分析】
解题时首先回忆线段垂直平分线的性质：垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等，由此可得EA=EC，再根据等腰三角形等边对等角的性质推出∠EAC=∠C；接下来结合直角三角形两锐角互余的性质，可知∠BAC+∠C=90°，而∠BAC可拆分为∠BAE+∠EAC，将已知的∠BAE=10°和∠EAC=∠C代入该式，即可得到关于∠C的方程，求解即可得到结果。
【解析】
解：
∵ED是AC的垂直平分线，
∴EA=EC，
∴∠EAC=∠C（等边对等角）。
∵在Rt△ABC中，∠ABC=90°，
∴∠BAC + ∠C = 90°（直角三角形两个锐角互余）。
又
∵∠BAC=∠BAE + ∠EAC，∠BAE=10°，∠EAC=∠C，
∴10° + ∠C + ∠C = 90°，
整理得2∠C=80°，
解得∠C=40°。
【答案】
$40°$
【知识点】
线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；直角三角形的性质
【点评】
本题是角度计算的基础题型，解题的核心是利用线段垂直平分线的性质实现等边到等角的转化，再结合直角三角形的角度关系建立等式求解，熟练掌握相关性质是快速解题的关键。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆线段垂直平分线的性质：垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等，由此可得EA=EC，再根据等腰三角形等边对等角的性质推出∠EAC=∠C；接下来结合直角三角形两锐角互余的性质，可知∠BAC+∠C=90°，而∠BAC可拆分为∠BAE+∠EAC，将已知的∠BAE=10°和∠EAC=∠C代入该式，即可得到关于∠C的方程，求解即可得到结果。
【解析】
解：
∵ED是AC的垂直平分线，
∴EA=EC，
∴∠EAC=∠C（等边对等角）。
∵在Rt△ABC中，∠ABC=90°，
∴∠BAC + ∠C = 90°（直角三角形两个锐角互余）。
又
∵∠BAC=∠BAE + ∠EAC，∠BAE=10°，∠EAC=∠C，
∴10° + ∠C + ∠C = 90°，
整理得2∠C=80°，
解得∠C=40°。
【答案】
$40°$
【知识点】
线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；直角三角形的性质
【点评】
本题是角度计算的基础题型，解题的核心是利用线段垂直平分线的性质实现等边到等角的转化，再结合直角三角形的角度关系建立等式求解，熟练掌握相关性质是快速解题的关键。
【难度系数】
0.8
6 [2025 南充]如图,在五边形ABCDE中,AB=AE,AC=AD,∠BAD=∠EAC.求证:
（1）△ABC≌△AED；
（2）∠BCD=∠EDC.
（1）△ABC≌△AED；
（2）∠BCD=∠EDC.
答案
6. (1) $\because ∠BAD=∠EAC,\therefore ∠BAD-∠CAD=∠EAC-∠CAD,\therefore ∠BAC = ∠EAD.$ 在 $△ ABC$ 和 $△ AED$ 中，$\begin{cases} AB=AE, \\ ∠BAC=∠EAD, \therefore △ ABC≌△ AED (\mathrm{SAS}) \\ AC=AD, \end{cases}$
(2) $\because AC=AD,\therefore ∠ACD=∠ADC. \because △ ABC≌△ AED,\therefore ∠ACB=∠ADE,\therefore ∠ACB + ∠ACD = ∠ADE + ∠ADC,\therefore ∠BCD=∠EDC$
(2) $\because AC=AD,\therefore ∠ACD=∠ADC. \because △ ABC≌△ AED,\therefore ∠ACB=∠ADE,\therefore ∠ACB + ∠ACD = ∠ADE + ∠ADC,\therefore ∠BCD=∠EDC$
解析
【分析】
（1）要证明$△ ABC≌△ AED$，已知两组对应边$AB=AE$、$AC=AD$，只需推导两边的夹角相等即可。观察已知$∠BAD=∠EAC$，两个角同时减去公共角$∠CAD$，即可得到夹角$∠BAC=∠EAD$，满足SAS全等判定的条件。
（2）要证明$∠BCD=∠EDC$，首先由$AC=AD$，根据等腰三角形两底角相等可得$∠ACD=∠ADC$；再结合（1）中全等三角形的对应角相等得到$∠ACB=∠ADE$，将两组等角分别相加，即可推出$∠BCD=∠EDC$。
【解析】
(1) 证明：
$\because ∠BAD=∠EAC$
$\therefore ∠BAD-∠CAD=∠EAC-∠CAD$，即$∠BAC = ∠EAD$
在$△ ABC$和$△ AED$中：
$\begin{cases}AB=AE \\∠BAC=∠EAD \\AC=AD\end{cases}$
$\therefore △ ABC≌△ AED \ (\mathrm{SAS})$
(2) 证明：
$\because AC=AD$
$\therefore ∠ACD=∠ADC$
$\because △ ABC≌△ AED$
$\therefore ∠ACB=∠ADE$
$\therefore ∠ACB + ∠ACD = ∠ADE + ∠ADC$
即$∠BCD=∠EDC$
【答案】
(1) $△ ABC≌△ AED$，证明成立；
(2) $∠ BCD=∠ EDC$，证明成立。
【知识点】
全等三角形的判定、全等三角形的性质、等腰三角形的性质
【点评】
本题属于几何基础证明题，解题核心是先通过角的和差关系得到全等所需的等角，利用SAS判定三角形全等，再结合等腰三角形的性质推导待证角相等，解题时要注意角的和差关系的正确应用。
【难度系数】
0.8
（1）要证明$△ ABC≌△ AED$，已知两组对应边$AB=AE$、$AC=AD$，只需推导两边的夹角相等即可。观察已知$∠BAD=∠EAC$，两个角同时减去公共角$∠CAD$，即可得到夹角$∠BAC=∠EAD$，满足SAS全等判定的条件。
（2）要证明$∠BCD=∠EDC$，首先由$AC=AD$，根据等腰三角形两底角相等可得$∠ACD=∠ADC$；再结合（1）中全等三角形的对应角相等得到$∠ACB=∠ADE$，将两组等角分别相加，即可推出$∠BCD=∠EDC$。
【解析】
(1) 证明：
$\because ∠BAD=∠EAC$
$\therefore ∠BAD-∠CAD=∠EAC-∠CAD$，即$∠BAC = ∠EAD$
在$△ ABC$和$△ AED$中：
$\begin{cases}AB=AE \\∠BAC=∠EAD \\AC=AD\end{cases}$
$\therefore △ ABC≌△ AED \ (\mathrm{SAS})$
(2) 证明：
$\because AC=AD$
$\therefore ∠ACD=∠ADC$
$\because △ ABC≌△ AED$
$\therefore ∠ACB=∠ADE$
$\therefore ∠ACB + ∠ACD = ∠ADE + ∠ADC$
即$∠BCD=∠EDC$
【答案】
(1) $△ ABC≌△ AED$，证明成立；
(2) $∠ BCD=∠ EDC$，证明成立。
【知识点】
全等三角形的判定、全等三角形的性质、等腰三角形的性质
【点评】
本题属于几何基础证明题，解题核心是先通过角的和差关系得到全等所需的等角，利用SAS判定三角形全等，再结合等腰三角形的性质推导待证角相等，解题时要注意角的和差关系的正确应用。
【难度系数】
0.8
7 [2025 扬州]在如图所示的房屋人字梁架中，AB=AC，点D在BC上，下列条件不能说明AD⊥BC的是（
A.∠ADB=∠ADC
B.∠B=∠C
C.BD=CD
D.AD平分∠BAC
B
）A.∠ADB=∠ADC
B.∠B=∠C
C.BD=CD
D.AD平分∠BAC
答案
7. B
解析
【分析】
本题考查等腰三角形的性质，尤其是三线合一的应用。首先已知AB=AC，可得△ABC是等腰三角形，BC为底边。我们需要逐一分析每个选项的条件能否结合已知推出AD⊥BC：首先回忆等腰三角形三线合一的内容：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合，只要满足其中一个身份，就能得到另外两个身份，另外也可以通过角的度数直接判断垂直。
【解析】
已知AB=AC，故△ABC为等腰三角形，BC为底边。
选项A：∠ADB与∠ADC为邻补角，即∠ADB+∠ADC=180°，若∠ADB=∠ADC，则$∠ ADB=∠ ADC=\frac{180°}{2}=90°$，可直接得出AD⊥BC，不符合题意。
选项B：由AB=AC，根据等腰三角形“等边对等角”的性质，本身就有∠B=∠C，这是△ABC的固有性质，和线段AD无关，无法推出AD⊥BC，符合题意。
选项C：若BD=CD，则AD是等腰△ABC底边BC上的中线，根据等腰三角形三线合一的性质，可得AD⊥BC，不符合题意。
选项D：若AD平分∠BAC，则AD是等腰△ABC的顶角平分线，根据等腰三角形三线合一的性质，可得AD⊥BC，不符合题意。
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形三线合一；等腰三角形等边对等角
【点评】
本题是基础应用题，核心是对等腰三角形三线合一性质的理解，要注意区分等腰三角形本身自带的性质和额外添加的条件，避免混淆固有性质和判定垂直的有效条件。
【难度系数】
0.8
本题考查等腰三角形的性质，尤其是三线合一的应用。首先已知AB=AC，可得△ABC是等腰三角形，BC为底边。我们需要逐一分析每个选项的条件能否结合已知推出AD⊥BC：首先回忆等腰三角形三线合一的内容：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合，只要满足其中一个身份，就能得到另外两个身份，另外也可以通过角的度数直接判断垂直。
【解析】
已知AB=AC，故△ABC为等腰三角形，BC为底边。
选项A：∠ADB与∠ADC为邻补角，即∠ADB+∠ADC=180°，若∠ADB=∠ADC，则$∠ ADB=∠ ADC=\frac{180°}{2}=90°$，可直接得出AD⊥BC，不符合题意。
选项B：由AB=AC，根据等腰三角形“等边对等角”的性质，本身就有∠B=∠C，这是△ABC的固有性质，和线段AD无关，无法推出AD⊥BC，符合题意。
选项C：若BD=CD，则AD是等腰△ABC底边BC上的中线，根据等腰三角形三线合一的性质，可得AD⊥BC，不符合题意。
选项D：若AD平分∠BAC，则AD是等腰△ABC的顶角平分线，根据等腰三角形三线合一的性质，可得AD⊥BC，不符合题意。
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形三线合一；等腰三角形等边对等角
【点评】
本题是基础应用题，核心是对等腰三角形三线合一性质的理解，要注意区分等腰三角形本身自带的性质和额外添加的条件，避免混淆固有性质和判定垂直的有效条件。
【难度系数】
0.8
