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1 [2025 宿城开学]如图，A，B，C 三点在$\odot O$上，且$∠ BOC=100°$，则$∠ A$的度数为（
A.$40°$
B.$50°$
C.$80°$
D.$100°$
（第1题）
B
）A.$40°$
B.$50°$
C.$80°$
D.$100°$
（第1题）答案
1. B
解析
【分析】
解题时首先观察图形确定角的对应关系：∠BOC的顶点在圆心O，是弧BC所对的圆心角；∠A的顶点在圆周上，是弧BC所对的圆周角，二者对应同一段弧BC。接下来回忆圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，直接套用该定理即可计算出∠A的度数。
【解析】
解：
∵∠BOC是弧BC所对的圆心角，∠A是弧BC所对的圆周角，
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半，
∴$∠ A=\frac{1}{2}∠ BOC$，
又
∵$∠ BOC=100°$，
∴$∠ A=\frac{1}{2}×100°=50°$，故选B。
【答案】
B
【知识点】
圆周角定理，圆心角识别，圆周角识别
【点评】
本题属于基础题型，核心考查圆周角定理的应用，解题的关键是准确找到同一段弧对应的圆心角和圆周角，熟练掌握定理即可快速得出结果。
【难度系数】
0.9
解题时首先观察图形确定角的对应关系：∠BOC的顶点在圆心O，是弧BC所对的圆心角；∠A的顶点在圆周上，是弧BC所对的圆周角，二者对应同一段弧BC。接下来回忆圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，直接套用该定理即可计算出∠A的度数。
【解析】
解：
∵∠BOC是弧BC所对的圆心角，∠A是弧BC所对的圆周角，
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半，
∴$∠ A=\frac{1}{2}∠ BOC$，
又
∵$∠ BOC=100°$，
∴$∠ A=\frac{1}{2}×100°=50°$，故选B。
【答案】
B
【知识点】
圆周角定理，圆心角识别，圆周角识别
【点评】
本题属于基础题型，核心考查圆周角定理的应用，解题的关键是准确找到同一段弧对应的圆心角和圆周角，熟练掌握定理即可快速得出结果。
【难度系数】
0.9
2 [2024云南]如图，CD是$\odot O$的直径，点A，B在$\odot O$上.若$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$，$∠ AOC=36°$，则$∠ D$的度数为（
A.$9°$
B.$18°$
C.$36°$
D.$45°$
B
）A.$9°$
B.$18°$
C.$36°$
D.$45°$
答案
2. B
解析
【分析】
解题时先从已知的等弧条件入手，根据同圆中等弧对应的圆心角相等，先求出弧BC对应的圆心角∠BOC的度数；再观察∠D是圆上的圆周角，其所对的弧为弧BC，结合圆周角定理（圆周角等于其所对圆心角的一半）即可计算出∠D的度数。
【解析】
解：
∵$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$，同圆中等弧所对的圆心角相等，
∴$∠ BOC=∠ AOC=36°$，
又
∵∠D是$\odot O$中对应$\overset{\frown}{BC}$的圆周角，∠BOC是$\overset{\frown}{BC}$对应的圆心角，
根据圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半，
∴$∠ D=\frac{1}{2}∠ BOC=\frac{1}{2}×36°=18°$。
故选：B。
【答案】
B
【知识点】
1. 等弧与圆心角的关系；2. 圆周角定理
【点评】
本题属于基础题型，考查圆的基本性质的应用，解题的核心是准确找到圆周角对应的圆心角，熟练运用等弧的性质和圆周角定理即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题时先从已知的等弧条件入手，根据同圆中等弧对应的圆心角相等，先求出弧BC对应的圆心角∠BOC的度数；再观察∠D是圆上的圆周角，其所对的弧为弧BC，结合圆周角定理（圆周角等于其所对圆心角的一半）即可计算出∠D的度数。
【解析】
解：
∵$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$，同圆中等弧所对的圆心角相等，
∴$∠ BOC=∠ AOC=36°$，
又
∵∠D是$\odot O$中对应$\overset{\frown}{BC}$的圆周角，∠BOC是$\overset{\frown}{BC}$对应的圆心角，
根据圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半，
∴$∠ D=\frac{1}{2}∠ BOC=\frac{1}{2}×36°=18°$。
故选：B。
【答案】
B
【知识点】
1. 等弧与圆心角的关系；2. 圆周角定理
【点评】
本题属于基础题型，考查圆的基本性质的应用，解题的核心是准确找到圆周角对应的圆心角，熟练运用等弧的性质和圆周角定理即可快速求解。
【难度系数】
0.8
3 如图,点O为$\overset{\frown}{ACB}$所在圆的圆心,$∠ AOC=108°$,点D在AB的延长线上,$BD=BC$,则$∠ D$的度数为（
A.$27°$
B.$30°$
C.$33°$
D.$54°$
A
）A.$27°$
B.$30°$
C.$33°$
D.$54°$
答案
3. A
解析
【分析】
解题思路可分为三步：第一步，回忆圆周角定理，已知弧AC对应的圆心角∠AOC的度数，可先求出同弧所对的圆周角∠ABC的度数；第二步，根据BD=BC可得△BCD是等腰三角形，得到∠D=∠BCD；第三步，利用三角形外角的性质，可知∠ABC是△BCD的外角，等于∠D与∠BCD的和，结合前面的结论即可求出∠D的度数。
【解析】
解：
∵∠AOC是弧AC所对的圆心角，∠ABC是弧AC所对的圆周角，根据圆周角定理可得：
$∠ ABC=\frac{1}{2}∠ AOC$
已知$∠ AOC=108°$，代入得：
$∠ ABC=\frac{1}{2}×108°=54°$
∵$BD=BC$，
∴$△ BCD$为等腰三角形，$∠ D=∠ BCD$
又
∵$∠ ABC$是$△ BCD$的外角，根据三角形外角性质：
$∠ ABC=∠ D+∠ BCD=2∠ D$
∴$∠ D=\frac{1}{2}∠ ABC=\frac{1}{2}×54°=27°$
【答案】
A
【知识点】
圆周角定理、等腰三角形的性质、三角形外角的性质
【点评】
本题是圆的性质与三角形性质的综合基础题，解题的核心是找准同弧所对的圆心角和圆周角的对应关系，再结合等腰三角形、外角的性质推导角度关系即可求解。
【难度系数】
0.7
解题思路可分为三步：第一步，回忆圆周角定理，已知弧AC对应的圆心角∠AOC的度数，可先求出同弧所对的圆周角∠ABC的度数；第二步，根据BD=BC可得△BCD是等腰三角形，得到∠D=∠BCD；第三步，利用三角形外角的性质，可知∠ABC是△BCD的外角，等于∠D与∠BCD的和，结合前面的结论即可求出∠D的度数。
【解析】
解：
∵∠AOC是弧AC所对的圆心角，∠ABC是弧AC所对的圆周角，根据圆周角定理可得：
$∠ ABC=\frac{1}{2}∠ AOC$
已知$∠ AOC=108°$，代入得：
$∠ ABC=\frac{1}{2}×108°=54°$
∵$BD=BC$，
∴$△ BCD$为等腰三角形，$∠ D=∠ BCD$
又
∵$∠ ABC$是$△ BCD$的外角，根据三角形外角性质：
$∠ ABC=∠ D+∠ BCD=2∠ D$
∴$∠ D=\frac{1}{2}∠ ABC=\frac{1}{2}×54°=27°$
【答案】
A
【知识点】
圆周角定理、等腰三角形的性质、三角形外角的性质
【点评】
本题是圆的性质与三角形性质的综合基础题，解题的核心是找准同弧所对的圆心角和圆周角的对应关系，再结合等腰三角形、外角的性质推导角度关系即可求解。
【难度系数】
0.7
4 [2025滨州改编]如图，点A，B，C，D在$\odot O$上，$OC⊥ AB$，$∠ AOC=60°$，则$∠ BDC$的度数为
$30°$
。答案
4. $30°$
解析
【分析】
解题时首先从已知条件OC⊥AB入手，根据垂径定理可得到弧AC和弧BC相等；再结合已知的圆心角∠AOC=60°，可推出弧BC对应的圆心角度数也为60°；最后根据圆周角定理，圆周角的度数等于其所对弧的圆心角度数的一半，即可求出∠BDC的度数。
【解析】
解：
∵OC是⊙O的半径，且OC⊥AB
∴由垂径定理可得：$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$
∵∠AOC是$\overset{\frown}{AC}$所对的圆心角，且∠AOC=60°
∴$\overset{\frown}{AC}$的度数为60°，因此$\overset{\frown}{BC}$的度数也为60°
又
∵∠BDC是$\overset{\frown}{BC}$所对的圆周角
∴根据圆周角定理：$∠ BDC=\frac{1}{2}× 60°=30°$
【答案】
$30°$
【知识点】
垂径定理、圆周角定理
【点评】
本题是圆性质的基础应用题，解题的关键是熟练掌握垂径定理和圆周角定理，通过等弧建立已知角和未知角之间的联系，难度较低。
【难度系数】
0.8
解题时首先从已知条件OC⊥AB入手，根据垂径定理可得到弧AC和弧BC相等；再结合已知的圆心角∠AOC=60°，可推出弧BC对应的圆心角度数也为60°；最后根据圆周角定理，圆周角的度数等于其所对弧的圆心角度数的一半，即可求出∠BDC的度数。
【解析】
解：
∵OC是⊙O的半径，且OC⊥AB
∴由垂径定理可得：$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$
∵∠AOC是$\overset{\frown}{AC}$所对的圆心角，且∠AOC=60°
∴$\overset{\frown}{AC}$的度数为60°，因此$\overset{\frown}{BC}$的度数也为60°
又
∵∠BDC是$\overset{\frown}{BC}$所对的圆周角
∴根据圆周角定理：$∠ BDC=\frac{1}{2}× 60°=30°$
【答案】
$30°$
【知识点】
垂径定理、圆周角定理
【点评】
本题是圆性质的基础应用题，解题的关键是熟练掌握垂径定理和圆周角定理，通过等弧建立已知角和未知角之间的联系，难度较低。
【难度系数】
0.8
5 [2025 广西]如图，AB是$\odot O$的直径，点C，D在$\odot O$上，$∠ ABC=65°$，$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}$。
（1）求证：$△ BOC ≌ △ DOC$；
（2）求$∠ ABD$的度数。
（1）求证：$△ BOC ≌ △ DOC$；
（2）求$∠ ABD$的度数。
答案
5. (1) $\because \overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}, \therefore ∠ BOC=∠ DOC. \because OB=OD, OC=OC, \therefore △ BOC≌△ DOC$
(2) $\because \overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{AC}, ∠ ABC=65°, \therefore ∠ AOC=2∠ ABC=130°, \therefore ∠ BOC=∠ AOB - ∠ AOC=180° - 130°=50°.$
$\because ∠ BOC=∠ DOC, \therefore ∠ DOC=50°, \therefore ∠ AOD=∠ AOC - ∠ DOC=80°. \because \overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{AD}, \therefore ∠ ABD=\frac{1}{2}∠ AOD=40°$
(2) $\because \overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{AC}, ∠ ABC=65°, \therefore ∠ AOC=2∠ ABC=130°, \therefore ∠ BOC=∠ AOB - ∠ AOC=180° - 130°=50°.$
$\because ∠ BOC=∠ DOC, \therefore ∠ DOC=50°, \therefore ∠ AOD=∠ AOC - ∠ DOC=80°. \because \overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{AD}, \therefore ∠ ABD=\frac{1}{2}∠ AOD=40°$
解析
【分析】
（1）要证明$△ BOC ≌ △ DOC$，先结合已知$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}$，根据同圆中等弧所对的圆心角相等，可得$∠ BOC=∠ DOC$；再结合圆的半径相等得到$OB=OD$，且$OC$为两个三角形的公共边，即可通过SAS判定两三角形全等。
（2）要求$∠ ABD$的度数，根据圆周角定理，圆周角度数等于其所对圆心角度数的一半，因此只需先求出$∠ ABD$所对$\overset{\frown}{AD}$对应的圆心角$∠ AOD$的度数即可。首先由$∠ ABC$的度数利用圆周角定理求出$∠ AOC$的度数，再结合平角$180°$求出$∠ BOC$的度数，由等弧对等圆心角得$∠ DOC=∠ BOC$，进而求出$∠ AOD$的度数，最后再用圆周角定理即可求出$∠ ABD$的度数。
【解析】
（1）证明：
$\because \overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}$，
$\therefore ∠ BOC=∠ DOC$（同圆中等弧所对的圆心角相等），
$\because OB=OD$（均为$\odot O$的半径），$OC=OC$（公共边），
$\therefore △ BOC≌△ DOC(\mathrm{SAS})$。
（2）解：
$\because \overset{\frown}{AC}$所对的圆周角为$∠ ABC$，所对的圆心角为$∠ AOC$，
$\therefore ∠ AOC=2∠ ABC=2×65°=130°$（圆周角定理），
$\because AB$是$\odot O$的直径，$∠ AOB=180°$，
$\therefore ∠ BOC=∠ AOB-∠ AOC=180°-130°=50°$，
$\because ∠ BOC=∠ DOC$，
$\therefore ∠ DOC=50°$，
$\therefore ∠ AOD=∠ AOC-∠ DOC=130°-50°=80°$，
$\because \overset{\frown}{AD}$所对的圆周角为$∠ ABD$，所对的圆心角为$∠ AOD$，
$\therefore ∠ ABD=\frac{1}{2}∠ AOD=\frac{1}{2}×80°=40°$。
【答案】
（1）$△ BOC ≌ △ DOC$得证；
（2）$∠ ABD=40°$
【知识点】
圆周角定理，全等三角形的判定，圆心角与弧的关系
【点评】
本题属于圆的基础综合题，重点考查圆的基本性质和三角形全等的判定，解题的核心是熟练掌握等弧对等圆心角、圆周角定理，能灵活实现弧、圆心角、圆周角之间的等量转换，理清角度间的和差关系即可顺利解题。
【难度系数】
0.7
（1）要证明$△ BOC ≌ △ DOC$，先结合已知$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}$，根据同圆中等弧所对的圆心角相等，可得$∠ BOC=∠ DOC$；再结合圆的半径相等得到$OB=OD$，且$OC$为两个三角形的公共边，即可通过SAS判定两三角形全等。
（2）要求$∠ ABD$的度数，根据圆周角定理，圆周角度数等于其所对圆心角度数的一半，因此只需先求出$∠ ABD$所对$\overset{\frown}{AD}$对应的圆心角$∠ AOD$的度数即可。首先由$∠ ABC$的度数利用圆周角定理求出$∠ AOC$的度数，再结合平角$180°$求出$∠ BOC$的度数，由等弧对等圆心角得$∠ DOC=∠ BOC$，进而求出$∠ AOD$的度数，最后再用圆周角定理即可求出$∠ ABD$的度数。
【解析】
（1）证明：
$\because \overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}$，
$\therefore ∠ BOC=∠ DOC$（同圆中等弧所对的圆心角相等），
$\because OB=OD$（均为$\odot O$的半径），$OC=OC$（公共边），
$\therefore △ BOC≌△ DOC(\mathrm{SAS})$。
（2）解：
$\because \overset{\frown}{AC}$所对的圆周角为$∠ ABC$，所对的圆心角为$∠ AOC$，
$\therefore ∠ AOC=2∠ ABC=2×65°=130°$（圆周角定理），
$\because AB$是$\odot O$的直径，$∠ AOB=180°$，
$\therefore ∠ BOC=∠ AOB-∠ AOC=180°-130°=50°$，
$\because ∠ BOC=∠ DOC$，
$\therefore ∠ DOC=50°$，
$\therefore ∠ AOD=∠ AOC-∠ DOC=130°-50°=80°$，
$\because \overset{\frown}{AD}$所对的圆周角为$∠ ABD$，所对的圆心角为$∠ AOD$，
$\therefore ∠ ABD=\frac{1}{2}∠ AOD=\frac{1}{2}×80°=40°$。
【答案】
（1）$△ BOC ≌ △ DOC$得证；
（2）$∠ ABD=40°$
【知识点】
圆周角定理，全等三角形的判定，圆心角与弧的关系
【点评】
本题属于圆的基础综合题，重点考查圆的基本性质和三角形全等的判定，解题的核心是熟练掌握等弧对等圆心角、圆周角定理，能灵活实现弧、圆心角、圆周角之间的等量转换，理清角度间的和差关系即可顺利解题。
【难度系数】
0.7
6 [2025宿迁段考]如图，OA，OB，OC都是$\odot O$的半径，连接AC，$∠ AOC=140°$，$∠ ACB=50°$，则$∠ BAC$的度数为（
A.$50°$
B.$45°$
C.$30°$
D.$20°$
D
）A.$50°$
B.$45°$
C.$30°$
D.$20°$
答案
6. D
解析
【分析】
要计算∠BAC的度数，首先明确∠BAC是弧BC所对的圆周角，根据圆周角定理，只需要求出弧BC对应的圆心角∠BOC的度数即可。已知∠AOC=140°，因此需要先求出弧AB对应的圆心角∠AOB的度数；而∠ACB是弧AB所对的圆周角，结合已知∠ACB=50°，根据圆周角定理可直接求出∠AOB，进而求出∠BOC，最终得到∠BAC的度数。
【解析】
根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍。
1. 因为∠ACB是弧AB所对的圆周角，∠AOB是弧AB所对的圆心角，所以：
$∠ AOB = 2∠ ACB = 2×50° = 100°$
2. 已知$∠ AOC=140°$，所以：
$∠ BOC = ∠ AOC - ∠ AOB = 140° - 100° = 40°$
3. 又因为∠BAC是弧BC所对的圆周角，∠BOC是弧BC所对的圆心角，所以：
$∠ BAC = \frac{1}{2}∠ BOC = \frac{1}{2}×40° = 20°$
【答案】
D
【知识点】
圆周角定理，角度和差计算
【点评】
本题是圆中角度计算的基础题型，解题的核心是准确找到同弧对应的圆周角和圆心角，熟练运用圆周角定理完成角度的转化，计算过程简单，是圆章节的常考基础题。
【难度系数】
0.8
要计算∠BAC的度数，首先明确∠BAC是弧BC所对的圆周角，根据圆周角定理，只需要求出弧BC对应的圆心角∠BOC的度数即可。已知∠AOC=140°，因此需要先求出弧AB对应的圆心角∠AOB的度数；而∠ACB是弧AB所对的圆周角，结合已知∠ACB=50°，根据圆周角定理可直接求出∠AOB，进而求出∠BOC，最终得到∠BAC的度数。
【解析】
根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍。
1. 因为∠ACB是弧AB所对的圆周角，∠AOB是弧AB所对的圆心角，所以：
$∠ AOB = 2∠ ACB = 2×50° = 100°$
2. 已知$∠ AOC=140°$，所以：
$∠ BOC = ∠ AOC - ∠ AOB = 140° - 100° = 40°$
3. 又因为∠BAC是弧BC所对的圆周角，∠BOC是弧BC所对的圆心角，所以：
$∠ BAC = \frac{1}{2}∠ BOC = \frac{1}{2}×40° = 20°$
【答案】
D
【知识点】
圆周角定理，角度和差计算
【点评】
本题是圆中角度计算的基础题型，解题的核心是准确找到同弧对应的圆周角和圆心角，熟练运用圆周角定理完成角度的转化，计算过程简单，是圆章节的常考基础题。
【难度系数】
0.8
