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1 下列作图中，满足三角形的内心在MN上的是 （
A
） 答案
1.A
解析
【分析】
解题首先要明确核心知识点：三角形的内心是三角形三个内角角平分线的交点，因此要满足内心在MN上，MN必须是该三角形的一条内角平分线。接下来只需识别四个选项中哪个的作图是三角形内角平分线的尺规作图即可：角平分线的尺规作图特征为以角的顶点为圆心画弧交角的两边，再以两个交点为圆心画弧得到交点，连接顶点与该交点即为角平分线，对应选项A；其余选项的作图分别为垂直平分线等，均不符合要求。
【解析】
三角形的内心是三角形内角平分线的交点，故若内心在MN上，则MN需为三角形的内角平分线：
选项A：作图为尺规作∠M的内角平分线，MN是三角形的内角平分线，符合要求；
选项B：作图为作三角形底边的垂直平分线，MN不是角平分线，不符合；
选项C：MN是底边的垂直平分线与顶点M的连线，不是角平分线，不符合；
选项D：作图不是角平分线的尺规作图，MN不是内角平分线，不符合。
综上，选A。
【答案】
A
【知识点】
三角形内心的概念，尺规作角平分线
【点评】
本题考查三角形内心的定义和常见尺规作图的识别，解题的关键是牢记内心是三角形角平分线的交点，能准确区分角平分线、垂直平分线等不同尺规作图的特征即可快速解题。
【难度系数】
0.85
解题首先要明确核心知识点：三角形的内心是三角形三个内角角平分线的交点，因此要满足内心在MN上，MN必须是该三角形的一条内角平分线。接下来只需识别四个选项中哪个的作图是三角形内角平分线的尺规作图即可：角平分线的尺规作图特征为以角的顶点为圆心画弧交角的两边，再以两个交点为圆心画弧得到交点，连接顶点与该交点即为角平分线，对应选项A；其余选项的作图分别为垂直平分线等，均不符合要求。
【解析】
三角形的内心是三角形内角平分线的交点，故若内心在MN上，则MN需为三角形的内角平分线：
选项A：作图为尺规作∠M的内角平分线，MN是三角形的内角平分线，符合要求；
选项B：作图为作三角形底边的垂直平分线，MN不是角平分线，不符合；
选项C：MN是底边的垂直平分线与顶点M的连线，不是角平分线，不符合；
选项D：作图不是角平分线的尺规作图，MN不是内角平分线，不符合。
综上，选A。
【答案】
A
【知识点】
三角形内心的概念，尺规作角平分线
【点评】
本题考查三角形内心的定义和常见尺规作图的识别，解题的关键是牢记内心是三角形角平分线的交点，能准确区分角平分线、垂直平分线等不同尺规作图的特征即可快速解题。
【难度系数】
0.85
2 如图，△ABC 的内切圆⊙O 与各边分别相切于点 D，E，F，连接 EF，DE，DF，作∠ABC 的平分线 BP. 有下列说法：① 射线 BP 一定过点 O；② O 是△DEF 三条中线的交点；③ 若△ABC 是等边三角形，则 $ DE=\frac{1}{2}BC $；④ O 不是△DEF 三条边的垂直平分线的交点. 其中，正确的是
①③
（填序号）. 答案
2. ①③
解析
【分析】
我们结合三角形内切圆的性质、角平分线的性质、三角形外心的定义、中位线定理，逐一判断4个说法的正误：
1. 首先明确三角形内切圆的圆心（内心）是三角形三个内角平分线的交点，到三边距离相等，等于内切圆半径；
2. 判断①：BP是∠ABC的角平分线，内心O在所有内角平分线上，因此BP必过O；
3. 判断②④：OD、OE、OF都是⊙O的半径，故OD=OE=OF，说明O到△DEF三个顶点距离相等，即O是△DEF的外心，是三边垂直平分线的交点，不是中线交点（重心），因此②④错误；
4. 判断③：若△ABC是等边三角形，内切圆与各边的切点分别是三边中点，DE是△ABC的中位线，根据中位线定理可得DE=1/2BC，因此③正确。
【解析】
逐一分析各结论：
① 三角形内切圆的圆心是三角形三个内角的角平分线的交点，已知BP是∠ABC的平分线，因此射线BP一定经过内心O，①正确；
② 连接OD、OE、OF，三者均为⊙O的半径，因此OD=OE=OF，即点O到△DEF三个顶点的距离相等，可知O是△DEF的外心（三边垂直平分线的交点），而三角形三条中线的交点是重心，故②错误；
③ 若△ABC为等边三角形，内切圆与各边的切点D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，因此DE是△ABC的中位线，根据三角形中位线定理可得$DE=\frac{1}{2}BC$，③正确；
④ 由②的推导可知，O是△DEF三边垂直平分线的交点，故④错误。
综上，正确的结论为①③。
【答案】
①③
【知识点】
三角形内切圆性质，三角形外心定义，三角形中位线定理
【点评】
本题侧重考查三角形内心、外心的性质及中位线定理的应用，解题关键是区分内心、外心的定义和性质，熟练掌握基础概念即可快速判断正误。
【难度系数】
0.7
我们结合三角形内切圆的性质、角平分线的性质、三角形外心的定义、中位线定理，逐一判断4个说法的正误：
1. 首先明确三角形内切圆的圆心（内心）是三角形三个内角平分线的交点，到三边距离相等，等于内切圆半径；
2. 判断①：BP是∠ABC的角平分线，内心O在所有内角平分线上，因此BP必过O；
3. 判断②④：OD、OE、OF都是⊙O的半径，故OD=OE=OF，说明O到△DEF三个顶点距离相等，即O是△DEF的外心，是三边垂直平分线的交点，不是中线交点（重心），因此②④错误；
4. 判断③：若△ABC是等边三角形，内切圆与各边的切点分别是三边中点，DE是△ABC的中位线，根据中位线定理可得DE=1/2BC，因此③正确。
【解析】
逐一分析各结论：
① 三角形内切圆的圆心是三角形三个内角的角平分线的交点，已知BP是∠ABC的平分线，因此射线BP一定经过内心O，①正确；
② 连接OD、OE、OF，三者均为⊙O的半径，因此OD=OE=OF，即点O到△DEF三个顶点的距离相等，可知O是△DEF的外心（三边垂直平分线的交点），而三角形三条中线的交点是重心，故②错误；
③ 若△ABC为等边三角形，内切圆与各边的切点D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，因此DE是△ABC的中位线，根据三角形中位线定理可得$DE=\frac{1}{2}BC$，③正确；
④ 由②的推导可知，O是△DEF三边垂直平分线的交点，故④错误。
综上，正确的结论为①③。
【答案】
①③
【知识点】
三角形内切圆性质，三角形外心定义，三角形中位线定理
【点评】
本题侧重考查三角形内心、外心的性质及中位线定理的应用，解题关键是区分内心、外心的定义和性质，熟练掌握基础概念即可快速判断正误。
【难度系数】
0.7
3 已知直角三角形的两条直角边的长分别是8和15，则该三角形内切圆的直径为
6
.答案
3. 6
解析
【分析】
要解决本题，需先求出直角三角形内切圆的半径，再计算直径。思考步骤如下：①首先根据直角三角形的两条直角边，利用勾股定理求出斜边的长度；②再结合三角形内切圆半径的计算方法（面积法或直角三角形内切圆半径的专用公式）求出半径；③半径乘2即可得到内切圆直径。
【解析】
解：已知直角三角形的两条直角边长分别为$a=8$，$b=15$，
第一步：求斜边长$c$，由勾股定理得：
$c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{8^2+15^2}=\sqrt{64+225}=\sqrt{289}=17$
第二步：求内切圆半径$r$，用面积法推导：
直角三角形的面积$S=\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}×8×15=60$
又因为三角形内切圆半径与面积、周长的关系为$S=\frac{1}{2}(a+b+c)r$，代入已知数值：
$60=\frac{1}{2}×(8+15+17)r$
$60=20r$
解得$r=3$
第三步：求内切圆直径，直径$d=2r=2×3=6$
【答案】
6
【知识点】
勾股定理；三角形内切圆半径计算
【点评】
本题属于基础题，核心考查直角三角形的相关计算，只要掌握勾股定理和三角形内切圆半径的推导方法即可顺利求解，是三角形内切圆部分的常考题型。
【难度系数】
0.8
要解决本题，需先求出直角三角形内切圆的半径，再计算直径。思考步骤如下：①首先根据直角三角形的两条直角边，利用勾股定理求出斜边的长度；②再结合三角形内切圆半径的计算方法（面积法或直角三角形内切圆半径的专用公式）求出半径；③半径乘2即可得到内切圆直径。
【解析】
解：已知直角三角形的两条直角边长分别为$a=8$，$b=15$，
第一步：求斜边长$c$，由勾股定理得：
$c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{8^2+15^2}=\sqrt{64+225}=\sqrt{289}=17$
第二步：求内切圆半径$r$，用面积法推导：
直角三角形的面积$S=\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}×8×15=60$
又因为三角形内切圆半径与面积、周长的关系为$S=\frac{1}{2}(a+b+c)r$，代入已知数值：
$60=\frac{1}{2}×(8+15+17)r$
$60=20r$
解得$r=3$
第三步：求内切圆直径，直径$d=2r=2×3=6$
【答案】
6
【知识点】
勾股定理；三角形内切圆半径计算
【点评】
本题属于基础题，核心考查直角三角形的相关计算，只要掌握勾股定理和三角形内切圆半径的推导方法即可顺利求解，是三角形内切圆部分的常考题型。
【难度系数】
0.8
4 [2024 沭阳段考]如图，$△ ABC$ 的内心为点 $I$，连接 $AI$ 并延长，交$△ ABC$ 的外接圆于点 $D$.
（1）求证：$DI＝DB$；
（2）直接写出点 $D$ 是连接图中哪三个点构成的三角形的外心.
（1）求证：$DI＝DB$；
（2）直接写出点 $D$ 是连接图中哪三个点构成的三角形的外心.
答案
4. (1) 如图,连接BI.
∵ △ABC 的内心为点 I,
∴ ∠1=∠2,∠5=∠6.
∵ ∠3=∠1,
∴ ∠3=∠2.
∵ ∠4=∠2+∠6,∠DBI=∠3+∠5,
∴ ∠4=∠DBI,
∴ DI=DB
(2) 如图,连接CD,IC.
∵ ∠1=∠2,
∴ ∠4=∠DIC=2∠1=2∠2,
∴ BD=CD,
∴ 点 D 在 BC 的垂直平分线上.
∵ DI=DB,
∴ 点 D 在 IB 的垂直平分线上,
∴ 点 D 是△BCI 的外心
解析
【分析】
（1）要证明DI=DB，可通过证明∠DBI=∠DIB，利用等角对等边得证。首先根据三角形内心的性质，得到AI、BI分别是对应角的角平分线，可得两组相等的角；再结合同弧所对的圆周角相等，将∠DBI和∠DIB拆分为两个小角的和，通过等量代换即可证明两角相等，进而得到线段相等。
（2）三角形的外心是到三角形三个顶点距离相等的点，结合（1）的结论DI=DB，再推出BD=CD，即可得到点D到B、C、I三点距离相等，从而判断对应的三角形。
【解析】
（1）证明：连接BI，
∵△ABC的内心为点I，
∴AI平分∠BAC，BI平分∠ABC，即∠1=∠2，∠5=∠6，
∵∠3和∠1都是弧CD所对的圆周角，
∴∠3=∠1，
∴∠3=∠2，
∵∠4是△ABI的外角，
∴∠4=∠2+∠6，
又
∵∠DBI=∠3+∠5，
∴∠4=∠DBI，
∴DI=DB。
（2）解：连接CD、IC，
∵∠1=∠2，即AD平分∠BAC，
∴弧BD=弧CD，
∴BD=CD，
由（1）已证DI=DB，
∴DB=DC=DI，即点D到B、C、I三点的距离相等，
∴点D是△BCI的外心。
【答案】
4. (1) 如图,连接BI.
∵ △ABC 的内心为点 I,
∴ ∠1=∠2,∠5=∠6.
∵ ∠3=∠1,
∴ ∠3=∠2.
∵ ∠4=∠2+∠6,∠DBI=∠3+∠5,
∴ ∠4=∠DBI,
∴ DI=DB
(2) 如图,连接CD,IC.
∵ ∠1=∠2,
∴ ∠4=∠DIC=2∠1=2∠2,
∴ BD=CD,
∴ 点 D 在 BC 的垂直平分线上.
∵ DI=DB,
∴ 点 D 在 IB 的垂直平分线上,
∴ 点 D 是△BCI 的外心
【知识点】
三角形内心的性质；圆周角定理；三角形外心的定义
【点评】
本题属于圆的基础综合题，重点考查三角形内心、外心的性质及圆周角定理的应用，解题的关键是合理利用角平分线的性质进行角的等量代换，熟练掌握相关概念和性质即可轻松求解。
【难度系数】
0.7
（1）要证明DI=DB，可通过证明∠DBI=∠DIB，利用等角对等边得证。首先根据三角形内心的性质，得到AI、BI分别是对应角的角平分线，可得两组相等的角；再结合同弧所对的圆周角相等，将∠DBI和∠DIB拆分为两个小角的和，通过等量代换即可证明两角相等，进而得到线段相等。
（2）三角形的外心是到三角形三个顶点距离相等的点，结合（1）的结论DI=DB，再推出BD=CD，即可得到点D到B、C、I三点距离相等，从而判断对应的三角形。
【解析】
（1）证明：连接BI，
∵△ABC的内心为点I，
∴AI平分∠BAC，BI平分∠ABC，即∠1=∠2，∠5=∠6，
∵∠3和∠1都是弧CD所对的圆周角，
∴∠3=∠1，
∴∠3=∠2，
∵∠4是△ABI的外角，
∴∠4=∠2+∠6，
又
∵∠DBI=∠3+∠5，
∴∠4=∠DBI，
∴DI=DB。
（2）解：连接CD、IC，
∵∠1=∠2，即AD平分∠BAC，
∴弧BD=弧CD，
∴BD=CD，
由（1）已证DI=DB，
∴DB=DC=DI，即点D到B、C、I三点的距离相等，
∴点D是△BCI的外心。
【答案】
4. (1) 如图,连接BI.
∵ △ABC 的内心为点 I,
∴ ∠1=∠2,∠5=∠6.
∵ ∠3=∠1,
∴ ∠3=∠2.
∵ ∠4=∠2+∠6,∠DBI=∠3+∠5,
∴ ∠4=∠DBI,
∴ DI=DB
(2) 如图,连接CD,IC.
∵ ∠1=∠2,
∴ ∠4=∠DIC=2∠1=2∠2,
∴ BD=CD,
∴ 点 D 在 BC 的垂直平分线上.
∵ DI=DB,
∴ 点 D 在 IB 的垂直平分线上,
∴ 点 D 是△BCI 的外心
【知识点】
三角形内心的性质；圆周角定理；三角形外心的定义
【点评】
本题属于圆的基础综合题，重点考查三角形内心、外心的性质及圆周角定理的应用，解题的关键是合理利用角平分线的性质进行角的等量代换，熟练掌握相关概念和性质即可轻松求解。
【难度系数】
0.7
5 [2025 滨州]如图，E，F，G，H 四点分别在正方形ABCD 的四条边上，AF=BG=CH=DE.若AB=17，EF=13，则△GCH 的内切圆半径为（
A.1
B.2
C.3
D.4
B
）A.1
B.2
C.3
D.4
答案
5. B
解析
【分析】
首先根据正方形的性质得到四条边相等、四个角均为直角，结合已知AF=BG=CH=DE，可推导出AE=BF=CG=DH。设AF的长度为x，即可用含x的式子表示出AE的长度，在Rt△AEF中利用勾股定理列方程求出x的值，也就得到了Rt△GCH的两条直角边长，再结合直角三角形内切圆半径公式即可求出结果。
【解析】
∵四边形ABCD是正方形，AB=17，
∴AB=BC=CD=DA=17，∠A=∠B=∠C=∠D=90°，
∵AF=BG=CH=DE，
∴AD-DE=AB-AF，即AE=BF，同理可得BF=CG=DH，
设AF=x，则CH=x，AE=BF=CG=17-x，
在Rt△AEF中，由勾股定理得：AF²+AE²=EF²，
∵EF=13，
∴x²+(17-x)²=13²，
整理得x²-17x+60=0，
解得x₁=5，x₂=12，
∴Rt△GCH的两条直角边长分别为5和12，
由勾股定理得斜边GH=√(5²+12²)=13，
直角三角形内切圆半径公式为$r=\frac{a+b-c}{2}$（a、b为直角边，c为斜边），
代入得$r=\frac{5+12-13}{2}=2$。
【答案】
B
【知识点】
正方形的性质，勾股定理，三角形内切圆
【点评】
本题综合了正方形、勾股定理和三角形内切圆的相关考点，解题的核心是先通过勾股定理求得直角三角形GCH的边长，再利用内切圆半径公式计算，注重对基础知识点综合运用能力的考查。
【难度系数】
0.7
首先根据正方形的性质得到四条边相等、四个角均为直角，结合已知AF=BG=CH=DE，可推导出AE=BF=CG=DH。设AF的长度为x，即可用含x的式子表示出AE的长度，在Rt△AEF中利用勾股定理列方程求出x的值，也就得到了Rt△GCH的两条直角边长，再结合直角三角形内切圆半径公式即可求出结果。
【解析】
∵四边形ABCD是正方形，AB=17，
∴AB=BC=CD=DA=17，∠A=∠B=∠C=∠D=90°，
∵AF=BG=CH=DE，
∴AD-DE=AB-AF，即AE=BF，同理可得BF=CG=DH，
设AF=x，则CH=x，AE=BF=CG=17-x，
在Rt△AEF中，由勾股定理得：AF²+AE²=EF²，
∵EF=13，
∴x²+(17-x)²=13²，
整理得x²-17x+60=0，
解得x₁=5，x₂=12，
∴Rt△GCH的两条直角边长分别为5和12，
由勾股定理得斜边GH=√(5²+12²)=13，
直角三角形内切圆半径公式为$r=\frac{a+b-c}{2}$（a、b为直角边，c为斜边），
代入得$r=\frac{5+12-13}{2}=2$。
【答案】
B
【知识点】
正方形的性质，勾股定理，三角形内切圆
【点评】
本题综合了正方形、勾股定理和三角形内切圆的相关考点，解题的核心是先通过勾股定理求得直角三角形GCH的边长，再利用内切圆半径公式计算，注重对基础知识点综合运用能力的考查。
【难度系数】
0.7
6 已知一个三角形的三边长分别为5,7,8,则其内切圆的半径为（
A.$\frac{\sqrt{3}}{2}$
B.$\frac{3}{2}$
C.$\sqrt{3}$
D.$2\sqrt{3}$
C
）A.$\frac{\sqrt{3}}{2}$
B.$\frac{3}{2}$
C.$\sqrt{3}$
D.$2\sqrt{3}$
答案
6. C
【解析】令AB=5,BC=7,AC=8.过点C作CD⊥AB,垂足为D.设△ABC的内切圆的半径为r,AD=x,则BD=5−x.由勾股定理,得CD²=AC²−AD²,CD²=BC²−BD²,
∴ 8²−x²=7²−(5−x)²,解得x=4.
∴ CD=√(AC²−AD²)=4√3.
∵ S△ABC=1/2 AB·CD=1/2(AB+BC+AC)·r,
∴ 1/2×5×4√3=1/2×(5+7+8)r,
∴ r=√3.
【解析】令AB=5,BC=7,AC=8.过点C作CD⊥AB,垂足为D.设△ABC的内切圆的半径为r,AD=x,则BD=5−x.由勾股定理,得CD²=AC²−AD²,CD²=BC²−BD²,
∴ 8²−x²=7²−(5−x)²,解得x=4.
∴ CD=√(AC²−AD²)=4√3.
∵ S△ABC=1/2 AB·CD=1/2(AB+BC+AC)·r,
∴ 1/2×5×4√3=1/2×(5+7+8)r,
∴ r=√3.
解析
【分析】
要计算三角形的内切圆半径，首先回忆三角形内切圆相关的面积公式：三角形面积$S=\frac{1}{2}×$（三边长之和）$×$内切圆半径$r$，因此只要先求出三角形的面积和周长，就能计算$r$。已知三角形三边长度，我们可以通过作一条边上的高，设未知数利用勾股定理列方程求出高的长度，进而算出三角形面积，最后代入面积公式即可求出$r$。
【解析】
令$△ ABC$的三边长$AB=5$，$BC=7$，$AC=8$，过点$C$作$CD⊥ AB$，垂足为$D$。设$△ ABC$的内切圆半径为$r$，$AD=x$，则$BD=5-x$。
由勾股定理可得：
$CD^2=AC^2-AD^2=8^2-x^2$，
$CD^2=BC^2-BD^2=7^2-(5-x)^2$，
因此有$8^2-x^2=7^2-(5-x)^2$，
展开计算：$64 - x^2 = 49 - (25 - 10x + x^2)$，
化简得$64 - x^2 = 24 +10x -x^2$，
消去$x^2$后解得$x=4$。
则$CD=\sqrt{AC^2-AD^2}=\sqrt{8^2-4^2}=\sqrt{48}=4\sqrt{3}$。
三角形面积$S$可表示为两种形式：
$S=\frac{1}{2}× AB× CD$，同时$S=\frac{1}{2}×(AB+BC+AC)× r$，
代入数值：$\frac{1}{2}×5×4\sqrt{3} = \frac{1}{2}×(5+7+8)× r$，
两边同时消去$\frac{1}{2}$，得$20\sqrt{3} = 20r$，
解得$r=\sqrt{3}$。
【答案】
C
【知识点】
三角形内切圆性质；勾股定理；三角形面积计算
【点评】
本题是三角形内切圆相关的典型题型，解题核心是利用三角形面积的两种表示方法建立等量关系，既考查了勾股定理的应用，也考查了内切圆和面积的关联公式，解题思路清晰，难度适中。
【难度系数】
0.7
要计算三角形的内切圆半径，首先回忆三角形内切圆相关的面积公式：三角形面积$S=\frac{1}{2}×$（三边长之和）$×$内切圆半径$r$，因此只要先求出三角形的面积和周长，就能计算$r$。已知三角形三边长度，我们可以通过作一条边上的高，设未知数利用勾股定理列方程求出高的长度，进而算出三角形面积，最后代入面积公式即可求出$r$。
【解析】
令$△ ABC$的三边长$AB=5$，$BC=7$，$AC=8$，过点$C$作$CD⊥ AB$，垂足为$D$。设$△ ABC$的内切圆半径为$r$，$AD=x$，则$BD=5-x$。
由勾股定理可得：
$CD^2=AC^2-AD^2=8^2-x^2$，
$CD^2=BC^2-BD^2=7^2-(5-x)^2$，
因此有$8^2-x^2=7^2-(5-x)^2$，
展开计算：$64 - x^2 = 49 - (25 - 10x + x^2)$，
化简得$64 - x^2 = 24 +10x -x^2$，
消去$x^2$后解得$x=4$。
则$CD=\sqrt{AC^2-AD^2}=\sqrt{8^2-4^2}=\sqrt{48}=4\sqrt{3}$。
三角形面积$S$可表示为两种形式：
$S=\frac{1}{2}× AB× CD$，同时$S=\frac{1}{2}×(AB+BC+AC)× r$，
代入数值：$\frac{1}{2}×5×4\sqrt{3} = \frac{1}{2}×(5+7+8)× r$，
两边同时消去$\frac{1}{2}$，得$20\sqrt{3} = 20r$，
解得$r=\sqrt{3}$。
【答案】
C
【知识点】
三角形内切圆性质；勾股定理；三角形面积计算
【点评】
本题是三角形内切圆相关的典型题型，解题核心是利用三角形面积的两种表示方法建立等量关系，既考查了勾股定理的应用，也考查了内切圆和面积的关联公式，解题思路清晰，难度适中。
【难度系数】
0.7
