1 下列函数是$y$关于$x$的反比例函数的为 （）

A.$y=\dfrac{1}{x+1}$
B.$y=\dfrac{1}{x^2}$
C.$y=-\dfrac{1}{2x}$
D.$y=-\dfrac{x}{2}$

1. C

【分析】
解题时首先要明确反比例函数的定义标准，反比例函数的核心形式为$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠0$），也可写为$y=kx^{-1}(k≠0)$，需要满足三个要点：①分母仅含自变量$x$，不含其他加减项；②自变量$x$的次数为$-1$；③比例系数$k$不为0。接下来逐一将选项和定义比对，排除不符合的选项即可得到正确答案。
【解析】
首先明确反比例函数的定义：形如$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，且$k≠0$）的函数叫做$y$关于$x$的反比例函数。
对各选项逐一分析：
A. $y=\frac{1}{x+1}$的分母为$x+1$，不是仅含自变量$x$，不符合反比例函数定义，排除；
B. $y=\frac{1}{x^2}$中自变量$x$的次数为2，不符合$x$次数为$-1$的要求，排除；
C. $y=-\frac{1}{2x}$可变形为$y=\frac{-\frac{1}{2}}{x}$，满足$k=-\frac{1}{2}≠0$，符合反比例函数定义；
D. $y=-\frac{x}{2}$是正比例函数，不符合反比例函数定义，排除。
综上，选C。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数的定义
【点评】
本题属于基础概念类考题，核心考查对反比例函数定义的识别与理解，解题时要注意区分反比例函数与正比例函数、其他分式函数的差异，牢牢抓住反比例函数表达式的特征即可快速解题。
【难度系数】
0.8

2 已知点$A(1,-3)$关于$x$轴的对称点$A'$在函数$y=\dfrac{k}{x}$的图象上，则$k$的值为 （）

A.$3$
B.$\dfrac{1}{3}$
C.$-3$
D.$-\dfrac{1}{3}$

2. A

【分析】
解题分两步思考：第一步，先根据关于x轴对称的点的坐标规律，求出点A的对称点A'的坐标；第二步，根据函数图象上的点的坐标满足函数解析式，将A'的坐标代入反比例函数表达式，即可计算出k的值。
【解析】
1. 求点A关于x轴的对称点A'的坐标：
关于x轴对称的点，横坐标不变，纵坐标互为相反数。已知点$A(1,-3)$，因此$A'$的横坐标为1，纵坐标为$-(-3)=3$，即$A'(1,3)$。
2. 代入反比例函数解析式求k：
因为$A'(1,3)$在函数$y=\dfrac{k}{x}$的图象上，所以将$x=1$，$y=3$代入解析式得：
$3=\dfrac{k}{1}$，解得$k=1×3=3$。
【答案】
A
【知识点】
关于x轴对称的点的坐标特征；反比例函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题属于基础题，主要考查对称点坐标的计算以及反比例函数的基本性质，熟练掌握相关基础知识点即可快速求解。
【难度系数】
0.8

3 [2025宿迁期末]若点$A(a,-1),B(b,2),C(c,3)$在反比例函数$y=\dfrac{-m^2 -2}{x}$(m是常数)的图象上,则$a,b,c$的大小关系是 ()

A.$a＞b＞c$
B.$a＞c＞b$
C.$b＞a＞c$
D.$c＞b＞a$

3. B

【分析】
解题第一步需先确定反比例函数比例系数$k$的符号，$k$的符号决定了函数图象所在象限和增减性。首先结合平方的非负性，可判断$k=-m^2-2$恒为负数；当$k＜0$时，反比例函数图象分布在第二、四象限，第二象限内点横坐标为负、纵坐标为正，第四象限内点横坐标为正、纵坐标为负，且每个象限内$y$随$x$的增大而增大。接下来根据三个点的纵坐标判断所在象限：纵坐标为正的B、C在第二象限，纵坐标为负的A在第四象限，因此A的横坐标$a$是正数，必然大于B、C的负横坐标；再对同象限的B、C结合增减性比较横坐标大小，最终就能得到$a,b,c$的大小关系。
【解析】
解：对于反比例函数$y=\dfrac{-m^2 -2}{x}$，其比例系数$k=-m^2-2$。
∵ 对任意实数$m$，都有$m^2≥0$，
∴ $-m^2≤0$，因此$k=-m^2-2≤-2＜0$，
∴ 该反比例函数的图象位于第二、四象限，且在每个象限内，$y$随$x$的增大而增大。
∵ 点$B$纵坐标$2＞0$，点$C$纵坐标$3＞0$，
∴ 点$B、C$在第二象限，横坐标$b＜0$，$c＜0$，
又
∵ $3＞2$，根据第二象限内$y$随$x$增大而增大，可得$c＞b$；
∵ 点$A$纵坐标$-1＜0$，
∴ 点$A$在第四象限，横坐标$a＞0$，
∵ 正数大于所有负数，
∴ $a＞c＞b$。
故选：B。
【答案】
B
【知识点】
1.反比例函数的图象与性质
2.平方的非负性
3.反比例函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是反比例函数性质的常规应用题，解题核心是先确定比例系数的符号，明确函数图象的分布和增减性；比较横坐标大小时要注意：不同象限的点优先通过坐标正负判断，同象限的点再结合增减性比较，不要直接跨象限用增减性判断，避免出错。
【难度系数】
0.7

4 如图所示为反比例函数$y=\frac{m-5}{x}$的图象的一支，根据图象，可知$m$的取值范围是。

4. $m＞5$

【分析】
解决这道题可按以下思路推导：首先观察图象，可知给出的反比例函数分支位于第一象限，根据反比例函数的性质，此时函数的比例系数为正数；再结合函数解析式确定比例系数为$ m-5 $，列出对应的不等式；最后解不等式即可得到$ m $的取值范围。
【解析】
对于反比例函数$ y=\frac{k}{x} $（$ k $为常数，$ k≠0 $）：
当$ k＞0 $时，函数图象的两个分支分别位于第一、第三象限；
当$ k＜0 $时，函数图象的两个分支分别位于第二、第四象限。
由题图可知该反比例函数的图象有一支在第一象限，因此比例系数满足：
$ m-5＞0 $
解不等式得：$ m＞5 $
【答案】
$ m＞5 $
【知识点】
反比例函数的图象与性质；解一元一次不等式
【点评】
本题考查反比例函数性质的基础应用，解题核心是通过图象所在象限判断反比例系数的符号，熟练掌握相关性质即可快速得出结果。
【难度系数】
0.9

5 如图，点B，C的坐标分别为(3，-3)，(5，0)，以OC，CB为邻边作$□ OABC$，则图象经过点A的反比例函数的表达式为。

5. $y=\dfrac{6}{x}$

【分析】
要确定经过点A的反比例函数表达式，需先求出点A的坐标，再利用待定系数法求反比例函数的系数$k$即可。首先根据平行四边形对角线互相平分的性质，结合已知的$O$、$B$、$C$三点坐标，可推导得出点A的坐标。
【解析】
设点A的坐标为$(x,y)$。
∵四边形$OABC$是平行四边形，
∴平行四边形的对角线互相平分，即对角线$OB$和$AC$的中点重合。
已知$O(0,0)$，$B(3,-3)$，$C(5,0)$，根据中点坐标公式：
$OB$的中点坐标为$(\dfrac{0+3}{2},\dfrac{0+(-3)}{2})=(\dfrac{3}{2},-\dfrac{3}{2})$，
$AC$的中点坐标为$(\dfrac{x+5}{2},\dfrac{y+0}{2})$，
因此可得方程组：
$\begin{cases}\dfrac{x+5}{2}=\dfrac{3}{2}\\\dfrac{y}{2}=-\dfrac{3}{2}\end{cases}$
解得$\begin{cases}x=-2\\y=-3\end{cases}$，即点A的坐标为$(-2,-3)$。
设经过点A的反比例函数表达式为$y=\dfrac{k}{x}(k≠0)$，将$A(-2,-3)$代入得：
$-3=\dfrac{k}{-2}$，解得$k=6$。
∴反比例函数的表达式为$y=\dfrac{6}{x}$。
【答案】
$y=\dfrac{6}{x}$
【知识点】
平行四边形的性质；待定系数法求反比例函数解析式；中点坐标公式
【点评】
本题是平行四边形性质与反比例函数的基础综合题，解题核心是利用平行四边形的坐标特征求出点A的坐标，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解决此类问题的关键。
【难度系数】
0.7

6 [2025 宿城期末]如图，点A，B分别在函数$y=\frac{k_1}{x}(x＜0)$和$y=\frac{k_2}{x}(x＞0)$的图象上，$AB// x$轴，与y轴交于点C，D是x轴上一点.若$BC=2AC$，$△ ABD$的面积为3，则$k_1k_2$的值为.

6. $-8$

【分析】
解题时首先利用AB平行于x轴的性质，可知点A、B纵坐标相同，结合BC=2AC的条件，可以设参数表示A、B两点的坐标；再将两点坐标分别代入对应的反比例函数解析式，得到k₁、k₂与参数的关系；最后根据△ABD的面积公式求出参数的乘积，代入计算k₁k₂即可。
【解析】
设AC=m（m＞0），
∵BC=2AC，
∴BC=2m，AB=AC+BC=3m，
∵AB//x轴，与y轴交于点C，
∴点A的横坐标为-m，点B的横坐标为2m，设A、B的纵坐标均为n（n＞0），
将A(-m,n)代入$y=\frac{k_1}{x}$，得$k_1=-m· n$，
将B(2m,n)代入$y=\frac{k_2}{x}$，得$k_2=2m· n$，
∵D在x轴上，
∴△ABD中AB边上的高等于A、B的纵坐标n，
则$S_{△ ABD}=\frac{1}{2}× AB × n=\frac{1}{2}×3m× n=3$，
化简得$\frac{3}{2}mn=3$，解得$mn=2$，
∴$k_1k_2=(-mn)·(2mn)=-2(mn)^2=-2×2^2=-8$。
【答案】
$-8$
【知识点】
反比例函数图象上点的坐标特征，平行线的性质，三角形面积公式
【点评】
本题是反比例函数的典型综合题，解题核心是利用平行线的坐标特点简化点的坐标表示，再结合反比例函数解析式和面积条件建立参数关系，能有效考查学生对反比例函数性质的掌握和代数运算能力。
【难度系数】
0.6

7 [2024 贵州]已知点$(1,3)$在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上.
（1）求反比例函数的表达式；
（2）若点$(-3,a),(1,b),(3,c)$都在该反比例函数的图象上，试比较$a,b,c$的大小，并说明理由.

7. （1）将$(1,3)$代入$y=\dfrac{k}{x}$，得$k=3$.$\therefore$ 反比例函数的表达式为$y=\dfrac{3}{x}$
（2）$b＞c＞a$ 理由:$\because k=3＞0$,$\therefore$ 在每个象限内,$y$ 随 $x$ 的增大而减小,$\therefore b＞c$.又$\because -3＜0$,$\therefore$ 点$(-3,a)$在第三象限,$\therefore a＜0$.$\because c＞0$,$\therefore b＞c＞a$.

【分析】
（1）求反比例函数表达式的核心是确定未知系数$k$，已知函数图象经过点$(1,3)$，只需将该点坐标代入反比例函数解析式$y=\frac{k}{x}$，即可求出$k$的值，进而得到函数表达式。
（2）比较反比例函数上点的函数值大小，首先要根据$k$的正负判断函数的图象性质：当$k＞0$时，图象分布在第一、三象限，第三象限内的点纵坐标均为负数，第一象限内的点纵坐标均为正数；且在每个象限内，$y$随$x$的增大而减小。先判断三个点所在的象限，区分出纵坐标的正负，再对同一象限内的点利用增减性比较大小即可。
【解析】
（1）将点$(1,3)$代入反比例函数$y=\frac{k}{x}$中，得：
$3=\frac{k}{1}$，解得$k=3$
$\therefore$ 反比例函数的表达式为$y=\frac{3}{x}$
（2）$b＞c＞a$，理由如下：
$\because k=3＞0$，
$\therefore$ 反比例函数$y=\frac{3}{x}$的图象位于第一、三象限，且在每个象限内，$y$随$x$的增大而减小。
点$(1,b)$、$(3,c)$的横坐标均为正数，两点都在第一象限，
$\because 1＜3$，$\therefore b＞c＞0$；
点$(-3,a)$的横坐标为负数，该点在第三象限，$\therefore a＜0$。
综上可得$b＞c＞a$。
【答案】
（1）$y=\dfrac{3}{x}$
（2）$b＞c＞a$，理由见解析
【知识点】
待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的图象与性质
【点评】
本题是反比例函数的基础常考题，第一问考查待定系数法求函数解析式的基本方法，第二问需要结合函数的图象象限属性和增减性比较函数值，解题时要注意不同象限内的点不能直接用增减性判断大小，需先通过象限判断纵坐标的正负。
【难度系数】
0.8