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12.（2024秋·广饶县期末）“赵爽弦图”巧妙的利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形，若图中的直角三角形的长直角边是12，大正方形的面积是169，则小正方形的面积是（
A.25
B.36
C.49
D.64
C
）A.25
B.36
C.49
D.64
答案
12. C
13. (2025春·鼓楼区期中)细心观察图形,认真分析各式,然后解答问题.
$OA_{2}^{2}=(\sqrt{1})^{2}+1=2,S_{1}=\frac{\sqrt{1}}{2};$
$OA_{3}^{2}=1^{2}+(\sqrt{2})^{2}=3,S_{2}=\frac{\sqrt{2}}{2};$
$OA_{4}^{2}=1^{2}+(\sqrt{3})^{2}=4,S_{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}\dots$
(1) 请用含有$n$($n$是正整数)的等式表示上述变规律:$OA_{n}^{2}=$
(2) 求出$OA_{10}$的长.
(3) 若一个三角形的面积是$\sqrt{5}$,计算说明它是第几个三角形?
(4) 求出$S_{1}^{2}+S_{2}^{2}+S_{3}^{2}+\dots+S_{10}^{2}$的值.
$OA_{2}^{2}=(\sqrt{1})^{2}+1=2,S_{1}=\frac{\sqrt{1}}{2};$
$OA_{3}^{2}=1^{2}+(\sqrt{2})^{2}=3,S_{2}=\frac{\sqrt{2}}{2};$
$OA_{4}^{2}=1^{2}+(\sqrt{3})^{2}=4,S_{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}\dots$
(1) 请用含有$n$($n$是正整数)的等式表示上述变规律:$OA_{n}^{2}=$
n
;$S_{n}=$$\frac{\sqrt{n}}{2}$
.(2) 求出$OA_{10}$的长.
(3) 若一个三角形的面积是$\sqrt{5}$,计算说明它是第几个三角形?
(4) 求出$S_{1}^{2}+S_{2}^{2}+S_{3}^{2}+\dots+S_{10}^{2}$的值.
答案
13. (1) 由题意得:$OA_n^2=1^2+(\sqrt{n-1})^2=n$,$S_n=\frac{\sqrt{n}}{2}$,故答案为:$n,\frac{\sqrt{n}}{2}$;
(2) $\because OA_n^2=n$,$\therefore OA_{10}^2=10$,$\therefore OA_{10}=\sqrt{10}$(负值已舍去);
(3) 若一个三角形的面积是$\sqrt{5}$,$\because S_n=\frac{\sqrt{n}}{2}=\sqrt{5}$,$\therefore \sqrt{n}=2\sqrt{5}$,$\therefore n=(2\sqrt{5})^2=20$,$\therefore$ 它是第20个三角形;
(4) $S_1^2+S_2^2+S_3^2+\dots+S_{10}^2=\frac{1}{4}+\frac{2}{4}+\frac{3}{4}+\frac{4}{4}+\dots+\frac{10}{4}=\frac{1+2+3+\dots+10}{4}=\frac{55}{4}$.
(2) $\because OA_n^2=n$,$\therefore OA_{10}^2=10$,$\therefore OA_{10}=\sqrt{10}$(负值已舍去);
(3) 若一个三角形的面积是$\sqrt{5}$,$\because S_n=\frac{\sqrt{n}}{2}=\sqrt{5}$,$\therefore \sqrt{n}=2\sqrt{5}$,$\therefore n=(2\sqrt{5})^2=20$,$\therefore$ 它是第20个三角形;
(4) $S_1^2+S_2^2+S_3^2+\dots+S_{10}^2=\frac{1}{4}+\frac{2}{4}+\frac{3}{4}+\frac{4}{4}+\dots+\frac{10}{4}=\frac{1+2+3+\dots+10}{4}=\frac{55}{4}$.
14. (2024春·济宁期中)当直角三角形的三边长都是正整数时，我们称这三个正整数为勾股数.
(1) 若$a,b$为一个直角三角形的两条直角边长，$c$为斜边长，$a,b,c$为勾股数，且$a=n+7,c=n+8,n$为正整数，求$b$的值(用含$n$的式子表示)，并直接写出符合题意的最小的$b$值.
(2) 当$n$是大于1的整数时，判断$2n,n^2-1,n^2+1$是否是勾股数，并说明理由.
(1) 若$a,b$为一个直角三角形的两条直角边长，$c$为斜边长，$a,b,c$为勾股数，且$a=n+7,c=n+8,n$为正整数，求$b$的值(用含$n$的式子表示)，并直接写出符合题意的最小的$b$值.
(2) 当$n$是大于1的整数时，判断$2n,n^2-1,n^2+1$是否是勾股数，并说明理由.
答案
14. (1) $a,b,c$ 为勾股数,$c$ 为斜边长,$\therefore a^2+b^2=c^2$.$\because a=n+7,c=n+8$,$\therefore (n+7)^2+b^2=(n+8)^2$,$\therefore b^2=2n+15$,$b=\sqrt{2n+15}$.$\because n,b$ 都为正整数,$\therefore$ 当 $n=5$ 时,$b=\sqrt{2×5+15}=5$,$\therefore$ 最小的 $b$ 值为5;
(2) $\because (2n)^2=4n^2,(n^2-1)^2=n^4-2n^2+1,(n^2+1)^2=n^4+2n^2+1$,$\therefore (2n)^2+(n^2-1)^2=(n^2+1)^2$,$\therefore 2n,n^2-1,n^2+1$ 是勾股数.
(2) $\because (2n)^2=4n^2,(n^2-1)^2=n^4-2n^2+1,(n^2+1)^2=n^4+2n^2+1$,$\therefore (2n)^2+(n^2-1)^2=(n^2+1)^2$,$\therefore 2n,n^2-1,n^2+1$ 是勾股数.
15. (2025春·渝北区期中)著名的赵爽弦图(如图1,其中四个直角三角形较大的直角边长都为$a$,较小的直角边长都为$b$,斜边长都为$c$),大正方形的面积可以表示为$c^2$,也可以表示为$4×\frac{1}{2}ab+(a-b)^2$,由此推导出重要的勾股定理:如果直角三角形两条直角边长为$a,b$,斜边长为$c$,则$a^2+b^2=c^2$.
【结论探究】
(1) 图2为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”,请你利用图2推导勾股定理;
【结论应用】
(2) 如图3,在一条东西走向河流的一侧有一村庄$C$,河边原有两个取水点$A,B$,$AB=AC$,由于某种原因,由$C$到$A$的路现在已经不通,该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点$H(A,H,B$在同一条直线上),并新修一条路$CH$,且$CH⊥AB$.测得$CH=0.8$千米,$HB=0.6$千米,求新路$CH$比原路$CA$少多少千米?
【问题拓展】
(3) $△ ABC$中,$AC=10$,$BC=17$,$AB=21$,$CH⊥AB$,垂足为$H$,请直接写出$CH$的值.
【结论探究】
(1) 图2为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”,请你利用图2推导勾股定理;
【结论应用】
(2) 如图3,在一条东西走向河流的一侧有一村庄$C$,河边原有两个取水点$A,B$,$AB=AC$,由于某种原因,由$C$到$A$的路现在已经不通,该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点$H(A,H,B$在同一条直线上),并新修一条路$CH$,且$CH⊥AB$.测得$CH=0.8$千米,$HB=0.6$千米,求新路$CH$比原路$CA$少多少千米?
【问题拓展】
(3) $△ ABC$中,$AC=10$,$BC=17$,$AB=21$,$CH⊥AB$,垂足为$H$,请直接写出$CH$的值.
答案
15. (1) 证明:$\because$ 梯形ABCD的面积可表示为$\frac{1}{2}(a+b)(a+b)=\frac{1}{2}a^2+ab+\frac{1}{2}b^2$,也可以表示为$\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}c^2$,$\therefore \frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}c^2=\frac{1}{2}a^2+ab+\frac{1}{2}b^2$,整理,得$a^2+b^2=c^2$;
(2) 设$AB=AC=x$千米,$\therefore AH=AB-BH=(x-0.6)$千米,在Rt$△ ACH$中,由勾股定理,得$CA^2=CH^2+AH^2$,即$x^2=0.8^2+(x-0.6)^2$,解得$x=\frac{5}{6}$,即$CA=\frac{5}{6}$千米,$\therefore CA-CH=\frac{5}{6}-0.8=\frac{1}{30}$(千米),答:新路$CH$比原路$CA$少$\frac{1}{30}$千米;
(3) $CH=8$. 理由:如图,设$AH=y$,$\because AB=21$,$\therefore BH=21-y$.$\because CH⊥ AB$,垂足为$H$,$\therefore △ ACH,△ BCH$ 都是直角三角形,在Rt$△ ACH$中,$\because AC=10$,$\therefore$ 由勾股定理,得$CH^2=AC^2-AH^2=10^2-y^2$,在Rt$△ BCH$中,$\because BC=17$,$\therefore$ 由勾股定理,得$CH^2=BC^2-BH^2=17^2-(21-y)^2$,$\therefore 10^2-y^2=17^2-(21-y)^2$,解得$y=6$,在Rt$△ ACH$中,由勾股定理,得$CH=\sqrt{AC^2-AH^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8$.
