16.（2024秋·滨江区期末）为了测量墙体是否与地面垂直，即MO是否垂直PN于点O，在没有角尺、量角器、刻度尺，只有足够长、足够多的若干条无弹性的绳子的情况下，三个数学兴趣小组分别设计了三种不同解决方案，其中第一、第二组的设计方案如表.
| 问题 | 如何测量墙体是否与地面垂直 |
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| 工具 | 若干条无弹性的绳子 |
| 小组 | 第一小组 | 第二小组 | 第三小组 |
| 测量方案 | 模仿古埃及人用结绳的方法，在一条绳子上打13个结，得到12条线段，且用叠合法使得这12条线段都相等，设每一条线段长为a. 如图2放置这总长是12a的绳子，使在OM上的绳子OA=4a，在ON上的绳子OB=3a，若AB=5a，则$AO⊥OB$，即$MO⊥PN$于点O，否则不垂直. | 如图3，在射线OM，ON上分别取点A，B，放置绳子AB，对折AB得到相等的两段AC，BC，放置绳子OC，用叠合法比较OC与BC的长度，若OCBC，则墙体与地面垂直，即$MO⊥PN$于点O，否则不垂直. | |
| 测量示意图 | | | |
（1）第一、二小组的方案可行吗？如果可行，请分别给出证明；如果不可行，请说明理由.
（2）请你代表第三小组，写出一个方案的应用原理不同于上述第一、第二小组的测量方案，并画出测量示意图，然后证明方案的可行性.

16. (1) 第一、二小组的方案都可行;理由如下:
方案一:在OM上的绳子OA=4a,在ON上的绳子OB=3a,若AB=5a,如图1,在$△ AOB$中,$BO^2+AO^2=(3a)^2+(4a)^2=25a^2$,$AB^2=(5a)^2=25a^2$,$\therefore AO^2+BO^2=AB^2$,$\therefore$ 三角形AOB是直角三角形,$\therefore ∠ AOB=90°$,$\therefore AO⊥ BO$,$\therefore MO⊥ PN$;
方案二:如图2,$\because AC=BC$,若OC=BC,则$AC=OC=CB$,$\therefore ∠ CAO=∠ COA$,$∠ COB=∠ CBO$,又$\because ∠ CAO+∠ COB+∠ COA+∠ CBO=180°$,$\therefore ∠ CAO+∠ CBO=∠ COA+∠ COB=90°$,$\therefore AO⊥ OB$,$\therefore MO⊥ PN$;
(2) 第三小组的测量方案是:如图3,在射线OM,ON,OP上分别取点A,B,C,放置绳子AB,AC,使AB=AC,用叠合法比较OC与OB的长度,若OC=OB,则墙体与地面垂直,即$MO⊥ PN$于点O,否则不垂直.
证明:$\because AC=AB$,$\therefore △ ABC$是等腰三角形,若OC=OB,则OA是等腰$△ ABC$的中线,根据等腰三角形性质可知$AO⊥ BC$,即$MO⊥ PN$.