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1. (★)在式子$\sqrt{2}$，$\sqrt[3]{3}$，$\sqrt{x^2 + 1}$，$x + y$中，二次根式有 （）
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
B
解析
根据二次根式的定义：形如$\sqrt{a}$（$a≥0$，根指数为2）的式子叫做二次根式，逐个判断：
1. $\sqrt{2}$：根指数为2，被开方数$2＞0$，是二次根式；
2. $\sqrt[3]{3}$：根指数为3，属于三次根式，不是二次根式；
3. $\sqrt{x^2+1}$：根指数为2，$x^2≥0$，故$x^2+1≥1＞0$，是二次根式；
4. $x+y$是整式，不含二次根号，不是二次根式。
综上，二次根式共有2个。
1. $\sqrt{2}$：根指数为2，被开方数$2＞0$，是二次根式；
2. $\sqrt[3]{3}$：根指数为3，属于三次根式，不是二次根式；
3. $\sqrt{x^2+1}$：根指数为2，$x^2≥0$，故$x^2+1≥1＞0$，是二次根式；
4. $x+y$是整式，不含二次根号，不是二次根式。
综上，二次根式共有2个。
2. (★)下列根式中，是最简二次根式的是 （）
A.$\sqrt{\dfrac{1}{25}}$
B.$\sqrt{16}$
C.$\sqrt{x^2 y^3}$
D.$\sqrt{2x+1}$
A.$\sqrt{\dfrac{1}{25}}$
B.$\sqrt{16}$
C.$\sqrt{x^2 y^3}$
D.$\sqrt{2x+1}$
答案
D
解析
根据最简二次根式的定义：被开方数不含分母，且不含能开得尽方的因数或因式，逐一判断：
选项A：$\sqrt{\dfrac{1}{25}}$的被开方数含有分母，不是最简二次根式；
选项B：$\sqrt{16}=\sqrt{4^2}$，被开方数含有能开得尽方的因数16，不是最简二次根式；
选项C：$\sqrt{x^2 y^3}=\sqrt{x^2· y^2· y}$，被开方数含有能开得尽方的因式$x^2$、$y^2$，不是最简二次根式；
选项D：$\sqrt{2x+1}$的被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式，是最简二次根式。
选项A：$\sqrt{\dfrac{1}{25}}$的被开方数含有分母，不是最简二次根式；
选项B：$\sqrt{16}=\sqrt{4^2}$，被开方数含有能开得尽方的因数16，不是最简二次根式；
选项C：$\sqrt{x^2 y^3}=\sqrt{x^2· y^2· y}$，被开方数含有能开得尽方的因式$x^2$、$y^2$，不是最简二次根式；
选项D：$\sqrt{2x+1}$的被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式，是最简二次根式。
3. (★★)若$\sqrt{80n}$是整数，则正整数$n$的最小值是 （）
A.2
B.3
C.4
D.5
A.2
B.3
C.4
D.5
答案
D
解析
先对80分解因数：$80=16×5$，因此$\sqrt{80n}=\sqrt{16×5n}=4\sqrt{5n}$。要使$\sqrt{80n}$是整数，则$\sqrt{5n}$必须是整数，即$5n$是完全平方数。由于5是质数，正整数n的最小值为5，此时$5n=25$是完全平方数，满足条件。
4. (★★)若$\sqrt{(3-x)^2}=x-3$成立，则满足的条件是（）
A.$x＞3$
B.$x＜3$
C.$x≥3$
D.$x≤3$
A.$x＞3$
B.$x＜3$
C.$x≥3$
D.$x≤3$
答案
C
解析
根据二次根式的性质，$\sqrt{a^2}=|a|$，因此$\sqrt{(3-x)^2}=|3-x|$。
已知等式$\sqrt{(3-x)^2}=x-3$成立，即$|3-x|=x-3$，根据绝对值的性质：当$a≤0$时，$|a|=-a$，可得$3-x≤0$，解不等式得$x≥3$。
已知等式$\sqrt{(3-x)^2}=x-3$成立，即$|3-x|=x-3$，根据绝对值的性质：当$a≤0$时，$|a|=-a$，可得$3-x≤0$，解不等式得$x≥3$。
5. (★★)能使等式$\sqrt{\dfrac{x-2}{x}}=\dfrac{\sqrt{x-2}}{\sqrt{x}}$成立的$x$的取值范围是 （）
A.$x＞0$
B.$x≥0$
C.$x＞2$
D.$x≥2$
A.$x＞0$
B.$x≥0$
C.$x＞2$
D.$x≥2$
答案
D
解析
要使等式$\sqrt{\dfrac{x-2}{x}}=\dfrac{\sqrt{x-2}}{\sqrt{x}}$成立，根据二次根式除法的性质，需满足分子的被开方数非负，分母的被开方数为正，即：
$\begin{cases}x-2≥0 \\ x＞0\end{cases}$
解$x-2≥0$得$x≥2$，$x≥2$自动满足$x＞0$，因此$x$的取值范围是$x≥2$。
$\begin{cases}x-2≥0 \\ x＞0\end{cases}$
解$x-2≥0$得$x≥2$，$x≥2$自动满足$x＞0$，因此$x$的取值范围是$x≥2$。
6. (★★)下列二次根式化成最简二次根式后,被开方数与另外三个不同的是 ()
A.$\sqrt{2}$
B.$5\sqrt{8}$
C.$\sqrt{28}$
D.$\sqrt{\dfrac{1}{2}}$
A.$\sqrt{2}$
B.$5\sqrt{8}$
C.$\sqrt{28}$
D.$\sqrt{\dfrac{1}{2}}$
答案
C
解析
先将各二次根式化为最简形式：
A. $\sqrt{2}$已经是最简二次根式，被开方数为2；
B. $5\sqrt{8}=5×\sqrt{4×2}=5×2\sqrt{2}=10\sqrt{2}$，被开方数为2；
C. $\sqrt{28}=\sqrt{4×7}=2\sqrt{7}$，被开方数为7；
D. $\sqrt{\dfrac{1}{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$，被开方数为2。
因此化简后被开方数与另外三个不同的是选项C。
A. $\sqrt{2}$已经是最简二次根式，被开方数为2；
B. $5\sqrt{8}=5×\sqrt{4×2}=5×2\sqrt{2}=10\sqrt{2}$，被开方数为2；
C. $\sqrt{28}=\sqrt{4×7}=2\sqrt{7}$，被开方数为7；
D. $\sqrt{\dfrac{1}{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$，被开方数为2。
因此化简后被开方数与另外三个不同的是选项C。
7. (★★)若式子$\frac{\sqrt{a+1}}{a-2}$有意义，则$a$的取值范围为（）
A.$a≥ -1$
B.$a≠2$
C.$a≥ -1$且$a≠2$
D.$a＞-1$
A.$a≥ -1$
B.$a≠2$
C.$a≥ -1$且$a≠2$
D.$a＞-1$
答案
C
解析
要使式子$\frac{\sqrt{a+1}}{a-2}$有意义，需同时满足两个条件：
1. 二次根式的被开方数非负：$a+1≥0$，解得$a≥-1$；
2. 分式的分母不为0：$a-2≠0$，解得$a≠2$。
综合可得$a$的取值范围是$a≥-1$且$a≠2$。
1. 二次根式的被开方数非负：$a+1≥0$，解得$a≥-1$；
2. 分式的分母不为0：$a-2≠0$，解得$a≠2$。
综合可得$a$的取值范围是$a≥-1$且$a≠2$。
8. (★★★)已知2,6,m是某三角形三边的长，则$\sqrt{(m-4)^2} - \sqrt{(m-8)^2} = $（）
A.$2m - 12$
B.$12 - 2m$
C.$12$
D.$-4$
A.$2m - 12$
B.$12 - 2m$
C.$12$
D.$-4$
答案
A
解析
根据三角形三边关系：任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边，可得6-2＜m＜6+2，即4＜m＜8。
由二次根式的性质$\sqrt{a^2}=|a|$，原式可化为$|m-4|-|m-8|$。
因为$4＜m＜8$，所以$m-4＞0$，$m-8＜0$，去掉绝对值得：
$(m-4)-(8-m)=m-4-8+m=2m-12$
由二次根式的性质$\sqrt{a^2}=|a|$，原式可化为$|m-4|-|m-8|$。
因为$4＜m＜8$，所以$m-4＞0$，$m-8＜0$，去掉绝对值得：
$(m-4)-(8-m)=m-4-8+m=2m-12$
9. (★)若$\sqrt{x-1}+\sqrt{y+3}=0$,则$x-y$的值是.
答案
$\boldsymbol{4}$
解析
解：
由二次根式的非负性可知：$\sqrt{x-1} ≥ 0$，$\sqrt{y+3} ≥ 0$。
因为$\sqrt{x-1}+\sqrt{y+3}=0$，
所以$\begin{cases} x-1=0 \\ y+3=0 \end{cases}$
解得$\begin{cases} x=1 \\ y=-3 \end{cases}$
则$x-y=1-(-3)=4$。
由二次根式的非负性可知：$\sqrt{x-1} ≥ 0$，$\sqrt{y+3} ≥ 0$。
因为$\sqrt{x-1}+\sqrt{y+3}=0$，
所以$\begin{cases} x-1=0 \\ y+3=0 \end{cases}$
解得$\begin{cases} x=1 \\ y=-3 \end{cases}$
则$x-y=1-(-3)=4$。
10. (★★)把$-a\sqrt{-\frac{1}{a}}$化成最简二次根式为.
答案
$\boldsymbol{\sqrt{-a}}$
解析
解：
由二次根式有意义的条件得：$-\frac{1}{a} ＞ 0$，
解得 $a ＜ 0$，
因此
$\begin{aligned}-a\sqrt{-\frac{1}{a}}&=-a·\sqrt{\frac{-a}{a^2}}\\&=-a·\frac{\sqrt{-a}}{|a|}\end{aligned}$
因为 $a ＜ 0$，所以 $|a|=-a$，代入得：
$-a·\frac{\sqrt{-a}}{-a}=\sqrt{-a}$
最终
由二次根式有意义的条件得：$-\frac{1}{a} ＞ 0$，
解得 $a ＜ 0$，
因此
$\begin{aligned}-a\sqrt{-\frac{1}{a}}&=-a·\sqrt{\frac{-a}{a^2}}\\&=-a·\frac{\sqrt{-a}}{|a|}\end{aligned}$
因为 $a ＜ 0$，所以 $|a|=-a$，代入得：
$-a·\frac{\sqrt{-a}}{-a}=\sqrt{-a}$
最终
11.(★★★★)实数$a,b,c$在数轴上的位置如下图所示，则代数式$\sqrt{a^2} - |a+b| + \sqrt{(c-a)^2} + |b+c|$的值为 
答案
$\boldsymbol{-a}$
解析
解：由实数a,b,c在数轴上的位置可知：$b ＜ a ＜ 0 ＜ c$，且$|b| ＞ |c|$，
因此可得：
$a＜0$，故$\sqrt{a^2}=|a|=-a$；
$a+b＜0$，故$|a+b|=-(a+b)$；
$c-a＞0$，故$\sqrt{(c-a)^2}=|c-a|=c-a$；
$b+c＜0$，故$|b+c|=-(b+c)$。
将上述结果代入代数式：
$\begin{aligned}&\sqrt{a^2} - |a+b| + \sqrt{(c-a)^2} + |b+c|\\=&-a - [-(a+b)] + (c-a) + [-(b+c)]\\=&-a + a + b + c - a - b - c\\=&-a\end{aligned}$
因此可得：
$a＜0$，故$\sqrt{a^2}=|a|=-a$；
$a+b＜0$，故$|a+b|=-(a+b)$；
$c-a＞0$，故$\sqrt{(c-a)^2}=|c-a|=c-a$；
$b+c＜0$，故$|b+c|=-(b+c)$。
将上述结果代入代数式：
$\begin{aligned}&\sqrt{a^2} - |a+b| + \sqrt{(c-a)^2} + |b+c|\\=&-a - [-(a+b)] + (c-a) + [-(b+c)]\\=&-a + a + b + c - a - b - c\\=&-a\end{aligned}$
12. (★★★)若$\sqrt{\dfrac{36}{n}}$是整数，则整数$n$的所有可能的值为。
答案
解：
由二次根式有意义且运算结果为整数可知$n＞0$。
设$\sqrt{\dfrac{36}{n}}=k$，其中$k$为正整数，
两边平方得：$\dfrac{36}{n}=k^2$，整理得$n=\dfrac{36}{k^2}$。
因为$n$是正整数，所以$k^2$是36的正整数因数。
36的所有正完全平方因数为1、4、9、36，分别代入得：
当$k^2=1$时，$n=36$；
当$k^2=4$时，$n=9$；
当$k^2=9$时，$n=4$；
当$k^2=36$时，$n=1$。
所以整数$n$的所有可能的值为$\boldsymbol{1,4,9,36}$。
由二次根式有意义且运算结果为整数可知$n＞0$。
设$\sqrt{\dfrac{36}{n}}=k$，其中$k$为正整数，
两边平方得：$\dfrac{36}{n}=k^2$，整理得$n=\dfrac{36}{k^2}$。
因为$n$是正整数，所以$k^2$是36的正整数因数。
36的所有正完全平方因数为1、4、9、36，分别代入得：
当$k^2=1$时，$n=36$；
当$k^2=4$时，$n=9$；
当$k^2=9$时，$n=4$；
当$k^2=36$时，$n=1$。
所以整数$n$的所有可能的值为$\boldsymbol{1,4,9,36}$。
