13. (★★★)已知$m$是$\sqrt{2}$的小数部分，则$\sqrt{(m-1)^2}=$.

$\boldsymbol{2-\sqrt{2}}$

解：
∵ $1 ＜ \sqrt{2} ＜ 2$，
∴ $\sqrt{2}$的整数部分为1，
∴ $m = \sqrt{2} - 1$。
∴ $m - 1 = \sqrt{2} - 1 - 1 = \sqrt{2} - 2 ＜ 0$，
∴ $\sqrt{(m-1)^2} = |m-1| = -(m-1) = 1 - m = 1 - (\sqrt{2} - 1) = 2 - \sqrt{2}$。
最终

14. (★★)若$\sqrt{2^{m+n-2}}$和$\sqrt{3^{3m-2n+2}}$都是最简二次根式，则$m=$，$n=$。

解：
∵ $\sqrt{2^{m+n-2}}$ 和 $\sqrt{3^{3m-2n+2}}$ 都是最简二次根式，
∴ 被开方数中2、3的指数都为1，可得方程组：
$\begin{cases}m + n - 2 = 1 \\3m - 2n + 2 = 1\end{cases}$
整理得：
$\begin{cases}m + n = 3 \quad ① \\3m - 2n = -1 \quad ②\end{cases}$
①×2 + ②，得 $5m = 5$，解得 $m=1$，
将$m=1$代入①，得 $1 + n = 3$，解得 $n=2$。
经检验，$m=1,n=2$符合题意。
则$m=\boldsymbol{1}$，$n=\boldsymbol{2}$。

15. (★★)比较大小：$\sqrt{5}-\sqrt{3}$ $\sqrt{7}-\sqrt{5}$。

$＞$

解：
分别对两个正数取倒数并分母有理化：
$\frac{1}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{(\sqrt{5}-\sqrt{3})(\sqrt{5}+\sqrt{3})}=\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{5-3}=\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{2}$
$\frac{1}{\sqrt{7}-\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{7}+\sqrt{5}}{(\sqrt{7}-\sqrt{5})(\sqrt{7}+\sqrt{5})}=\frac{\sqrt{7}+\sqrt{5}}{7-5}=\frac{\sqrt{7}+\sqrt{5}}{2}$
因为$\sqrt{3}＜\sqrt{7}$，所以$\sqrt{5}+\sqrt{3}＜\sqrt{7}+\sqrt{5}$，可得：
$\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{2}＜\frac{\sqrt{7}+\sqrt{5}}{2}$
即$\frac{1}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}＜\frac{1}{\sqrt{7}-\sqrt{5}}$。
由于$\sqrt{5}-\sqrt{3}＞0$，$\sqrt{7}-\sqrt{5}＞0$，两个正数比较大小，倒数越小的原数越大，因此：
$\sqrt{5}-\sqrt{3}＞\sqrt{7}-\sqrt{5}$

16. (★★★)已知$xy=3$，则$y\sqrt{\dfrac{x}{y}} + x\sqrt{\dfrac{y}{x}} =$.

解：
由二次根式有意义的条件可知，$\frac{x}{y}≥0$，$\frac{y}{x}≥0$，
又$xy=3＞0$，因此$x$、$y$同号。
化简原式：
$\begin{aligned}y\sqrt{\frac{x}{y}} + x\sqrt{\frac{y}{x}}&=y·\frac{\sqrt{xy}}{|y|} + x·\frac{\sqrt{xy}}{|x|}\end{aligned}$
① 当$x＞0$，$y＞0$时，$|x|=x$，$|y|=y$：
$\begin{aligned}原式&=y·\frac{\sqrt{xy}}{y} + x·\frac{\sqrt{xy}}{x}\\&=\sqrt{xy}+\sqrt{xy}\\&=2\sqrt{xy}\end{aligned}$
将$xy=3$代入，得原式$=2\sqrt{3}$。
② 当$x＜0$，$y＜0$时，$|x|=-x$，$|y|=-y$：
$\begin{aligned}原式&=y·\frac{\sqrt{xy}}{-y} + x·\frac{\sqrt{xy}}{-x}\\&=-\sqrt{xy}-\sqrt{xy}\\&=-2\sqrt{xy}\end{aligned}$
将$xy=3$代入，得原式$=-2\sqrt{3}$。
综上，答案为$\boldsymbol{\pm2\sqrt{3}}$。

17. (★★)计算：
(1) $3\sqrt{45} ÷ \sqrt{\frac{1}{5}} × \frac{2}{3}\sqrt{2\frac{2}{3}}$；
(2) $\sqrt{\frac{b}{a}} · (-5\sqrt{\frac{a^2}{b^3}}) · \sqrt{\frac{b^2}{a^3}}$。

解：
(1) 原式$= 3× \frac{2}{3} × \sqrt{45 ÷ \frac{1}{5} × 2\frac{2}{3}}$
$= 2 × \sqrt{45 × 5 × \frac{8}{3}}$
$= 2 × \sqrt{600}$
$= 2 × 10\sqrt{6}$
$= 20\sqrt{6}$
(2) 由二次根式有意义可得$a＞0$，$b＞0$，
原式$= -5 × \sqrt{\frac{b}{a} · \frac{a^2}{b^3} · \frac{b^2}{a^3}}$
$= -5 × \sqrt{\frac{1}{a^2}}$
$= -5 × \frac{1}{a}$
$= -\frac{5}{a}$

18. (★★★)高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为. 据研究，从高度为$h$(单位:m)的位置抛出的物体下落的时间$t$(单位:s)和高度$h$(单位:m)近似满足公式$t=\sqrt{\frac{h}{5}}$(不考虑风速的影响).
(1)从50 m高空抛出的物体从抛出到落地所需时间$t_1$是多少？从100 m高空抛出的物体从抛出到落地所需时间$t_2$是多少？
(2)$t_2$是$t_1$的多少倍？
(3)从足够高的高空抛出物体，经过1.5 s后落地，则高空所抛物体下落的高度是多少？

解：
(1) 当$h=50$时，将其代入公式$t=\sqrt{\frac{h}{5}}$，得：
$t_1=\sqrt{\frac{50}{5}}=\sqrt{10}\ \mathrm{s}$
当$h=100$时，将其代入公式，得：
$t_2=\sqrt{\frac{100}{5}}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}\ \mathrm{s}$
(2) $\frac{t_2}{t_1}=\frac{2\sqrt{5}}{\sqrt{10}}=\sqrt{2}$，即$t_2$是$t_1$的$\sqrt{2}$倍。
(3) 把$t=1.5$代入$t=\sqrt{\frac{h}{5}}$，得：
$1.5=\sqrt{\frac{h}{5}}$
两边同时平方，得$2.25=\frac{h}{5}$
解得$h=11.25\ \mathrm{m}$
答：(1) 从50m高空抛出的物体落地所需时间$t_1$是$\sqrt{10}\ \mathrm{s}$，从100m高空抛出的物体落地所需时间$t_2$是$2\sqrt{5}\ \mathrm{s}$；(2) $t_2$是$t_1$的$\sqrt{2}$倍；(3) 物体下落的高度是$11.25\ \mathrm{m}$。