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1 小丽在2月的月历上圈出5个数，呈“十字框”形，它们的和是55，则中间的数是 （
A.9
B.10
C.11
D.12
C
）A.9
B.10
C.11
D.12
答案
1. C
解析
【分析】
解题时首先回忆月历的数字排列规律：月历中同一行相邻两个数相差1，同一列相邻两个数相差7。十字框的5个数以中间数为核心，上方的数比中间数小7，下方的数比中间数大7，左侧的数比中间数小1，右侧的数比中间数大1。我们可以设中间数为未知数，将其余4个数用含未知数的代数式表示，再根据5个数的和为55建立方程求解，也可直接推导得出5个数的和是中间数的5倍，用总和直接计算中间数。
【解析】
设十字框中间的数为$x$，则其余四个数分别为：上方的数$x-7$，下方的数$x+7$，左侧的数$x-1$，右侧的数$x+1$。
根据五个数的和是55，可列方程：
$(x-7)+(x-1)+x+(x+1)+(x+7)=55$
化简方程，抵消互为相反数的项后得：
$5x=55$
解得：
$x=11$
【答案】
C
【知识点】
月历数字规律、一元一次方程的应用
【点评】
本题是典型的规律类应用题，解题的核心是抓住月历数字的排列特点，找到十字框内各数与中间数的数量关系，通过建立方程即可快速得出结果，掌握规律后也可直接口算得出答案。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆月历的数字排列规律：月历中同一行相邻两个数相差1，同一列相邻两个数相差7。十字框的5个数以中间数为核心，上方的数比中间数小7，下方的数比中间数大7，左侧的数比中间数小1，右侧的数比中间数大1。我们可以设中间数为未知数，将其余4个数用含未知数的代数式表示，再根据5个数的和为55建立方程求解，也可直接推导得出5个数的和是中间数的5倍，用总和直接计算中间数。
【解析】
设十字框中间的数为$x$，则其余四个数分别为：上方的数$x-7$，下方的数$x+7$，左侧的数$x-1$，右侧的数$x+1$。
根据五个数的和是55，可列方程：
$(x-7)+(x-1)+x+(x+1)+(x+7)=55$
化简方程，抵消互为相反数的项后得：
$5x=55$
解得：
$x=11$
【答案】
C
【知识点】
月历数字规律、一元一次方程的应用
【点评】
本题是典型的规律类应用题，解题的核心是抓住月历数字的排列特点，找到十字框内各数与中间数的数量关系，通过建立方程即可快速得出结果，掌握规律后也可直接口算得出答案。
【难度系数】
0.8
2 如图,根据图中的信息,可列出正确的方程是 （
A.$π×(\dfrac{8}{2})^2 x=π×(\dfrac{6}{2})^2×(x-5)$
B.$π×(\dfrac{8}{2})^2 x=π×(\dfrac{6}{2})^2×(x+5)$
C.$π×8^2 x=π×6^2×(x+5)$
D.$π×8^2 x=π×6^2×5$
小乌鸦
老乌鸦,我喝不到大量筒中的水！
大量筒：$\leftarrow8\ \mathrm{cm}\rightarrow$，水高$x\ \mathrm{cm}$
小量筒：$\leftarrow6\ \mathrm{cm}\rightarrow$，水高$x\ \mathrm{cm}$，比大量筒高$5\ \mathrm{cm}$
老乌鸦
小乌鸦,你飞到装有相同水量的小量筒旁,就可以喝到水了！
B
）A.$π×(\dfrac{8}{2})^2 x=π×(\dfrac{6}{2})^2×(x-5)$
B.$π×(\dfrac{8}{2})^2 x=π×(\dfrac{6}{2})^2×(x+5)$
C.$π×8^2 x=π×6^2×(x+5)$
D.$π×8^2 x=π×6^2×5$
小乌鸦
老乌鸦,我喝不到大量筒中的水！
大量筒：$\leftarrow8\ \mathrm{cm}\rightarrow$，水高$x\ \mathrm{cm}$
小量筒：$\leftarrow6\ \mathrm{cm}\rightarrow$，水高$x\ \mathrm{cm}$，比大量筒高$5\ \mathrm{cm}$
老乌鸦
小乌鸦,你飞到装有相同水量的小量筒旁,就可以喝到水了！
答案
2. B
解析
【分析】
解题的核心是抓住两个量筒中水的体积相等这一等量关系。首先回忆圆柱体积的计算公式：圆柱体积=底面积×高，底面积=π×半径²，注意题目给出的是底面直径，需要先转化为半径。先分别表示出大量筒和小量筒中水的体积，再根据体积相等列方程即可。
首先看大量筒：底面直径8cm，半径为$\frac{8}{2}$cm，水高为x cm，可算出其水的体积；再看小量筒：底面直径6cm，半径为$\frac{6}{2}$cm，水的高度比大量筒的水高高出5cm，即高度为$(x+5)$cm，算出其水的体积，两者相等即可列出方程。
【解析】
根据题意，两个量筒内水的体积相同，圆柱体积公式为$V=π r^2 h$（r为底面半径，h为高）：
1. 计算大量筒中水的体积：
大量筒底面直径为8cm，半径$r_1=\frac{8}{2}\mathrm{cm}$，水高$h_1=x\mathrm{cm}$，
因此体积$V_1=π×(\frac{8}{2})^2 x$。
2. 计算小量筒中水的体积：
小量筒底面直径为6cm，半径$r_2=\frac{6}{2}\mathrm{cm}$，水高比大量筒水高高5cm，即$h_2=(x+5)\mathrm{cm}$，
因此体积$V_2=π×(\frac{6}{2})^2 ×(x+5)$。
3. 由$V_1=V_2$，可得方程：
$π×(\frac{8}{2})^2 x=π×(\frac{6}{2})^2 ×(x+5)$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
圆柱体积计算、列一元一次方程、等积变形
【点评】
本题是典型的等积变形类应用题，解题关键是抓住“水的体积不变”这一核心等量关系，计算时要注意区分底面直径和半径，避免直接用直径代入公式计算出错。
【难度系数】
0.7
解题的核心是抓住两个量筒中水的体积相等这一等量关系。首先回忆圆柱体积的计算公式：圆柱体积=底面积×高，底面积=π×半径²，注意题目给出的是底面直径，需要先转化为半径。先分别表示出大量筒和小量筒中水的体积，再根据体积相等列方程即可。
首先看大量筒：底面直径8cm，半径为$\frac{8}{2}$cm，水高为x cm，可算出其水的体积；再看小量筒：底面直径6cm，半径为$\frac{6}{2}$cm，水的高度比大量筒的水高高出5cm，即高度为$(x+5)$cm，算出其水的体积，两者相等即可列出方程。
【解析】
根据题意，两个量筒内水的体积相同，圆柱体积公式为$V=π r^2 h$（r为底面半径，h为高）：
1. 计算大量筒中水的体积：
大量筒底面直径为8cm，半径$r_1=\frac{8}{2}\mathrm{cm}$，水高$h_1=x\mathrm{cm}$，
因此体积$V_1=π×(\frac{8}{2})^2 x$。
2. 计算小量筒中水的体积：
小量筒底面直径为6cm，半径$r_2=\frac{6}{2}\mathrm{cm}$，水高比大量筒水高高5cm，即$h_2=(x+5)\mathrm{cm}$，
因此体积$V_2=π×(\frac{6}{2})^2 ×(x+5)$。
3. 由$V_1=V_2$，可得方程：
$π×(\frac{8}{2})^2 x=π×(\frac{6}{2})^2 ×(x+5)$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
圆柱体积计算、列一元一次方程、等积变形
【点评】
本题是典型的等积变形类应用题，解题关键是抓住“水的体积不变”这一核心等量关系，计算时要注意区分底面直径和半径，避免直接用直径代入公式计算出错。
【难度系数】
0.7
3（1）某长方形的周长是10，长与宽之比为3：2。设该长方形的长为y，那么可列方程为
（2）已知一个梯形的面积为15平方厘米，它的上底长为2厘米，高为5厘米。设这个梯形的下底长为x厘米，则可列方程为
$2(y+\dfrac{2}{3}y)=10$
。（2）已知一个梯形的面积为15平方厘米，它的上底长为2厘米，高为5厘米。设这个梯形的下底长为x厘米，则可列方程为
$\dfrac{1}{2}(2+x)×5=15$
。答案
3. (1) $2(y+\dfrac{2}{3}y)=10$ (2) $\dfrac{1}{2}(2+x)×5=15$
解析
【分析】
（1）解决本题先确定等量关系：长方形周长=2×(长+宽)。已知长与宽之比为3:2，长为y，可推出宽是长的$\frac{2}{3}$，即宽为$\frac{2}{3}y$，再将长、宽、周长代入周长公式即可列出方程。
（2）本题的等量关系是梯形的面积公式：梯形面积=$\frac{1}{2}$×(上底+下底)×高，已知面积、上底、高，将下底x和已知量代入公式即可列出方程。
【解析】
（1）
∵长与宽之比为3:2，长为y
∴宽为$\frac{2}{3}y$
又
∵长方形周长=2×(长+宽)，周长为10
∴可列方程：$2(y+\dfrac{2}{3}y)=10$
（2）已知梯形面积公式为$S=\frac{1}{2}×(上底+下底)×高$，其中$S=15\mathrm{cm}^2$，上底为2cm，高为5cm，下底为x cm
将各值代入公式可得：$\dfrac{1}{2}(2+x)×5=15$
【答案】
(1) $2(y+\dfrac{2}{3}y)=10$ (2) $\dfrac{1}{2}(2+x)×5=15$
【知识点】
长方形周长计算、梯形面积计算、列一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，核心是抓住几何图形的固定公式作为等量关系，将未知量用含未知数的代数式表示后，代入公式即可顺利列出方程，解题的前提是熟练掌握常见几何图形的相关计算公式。
【难度系数】
0.9
（1）解决本题先确定等量关系：长方形周长=2×(长+宽)。已知长与宽之比为3:2，长为y，可推出宽是长的$\frac{2}{3}$，即宽为$\frac{2}{3}y$，再将长、宽、周长代入周长公式即可列出方程。
（2）本题的等量关系是梯形的面积公式：梯形面积=$\frac{1}{2}$×(上底+下底)×高，已知面积、上底、高，将下底x和已知量代入公式即可列出方程。
【解析】
（1）
∵长与宽之比为3:2，长为y
∴宽为$\frac{2}{3}y$
又
∵长方形周长=2×(长+宽)，周长为10
∴可列方程：$2(y+\dfrac{2}{3}y)=10$
（2）已知梯形面积公式为$S=\frac{1}{2}×(上底+下底)×高$，其中$S=15\mathrm{cm}^2$，上底为2cm，高为5cm，下底为x cm
将各值代入公式可得：$\dfrac{1}{2}(2+x)×5=15$
【答案】
(1) $2(y+\dfrac{2}{3}y)=10$ (2) $\dfrac{1}{2}(2+x)×5=15$
【知识点】
长方形周长计算、梯形面积计算、列一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，核心是抓住几何图形的固定公式作为等量关系，将未知量用含未知数的代数式表示后，代入公式即可顺利列出方程，解题的前提是熟练掌握常见几何图形的相关计算公式。
【难度系数】
0.9
4 新情境 数学文化 [2025 宿迁段考]“幻方”是我国古代的一种谜题，又称九宫图，即在正方形网格中填上9个整数，使每行、每列及每条对角线上的数的和都相等。在如图所示的“幻方”中，x=
$-5$
。答案
4. $-5$
解析
【分析】
解题的核心是利用三阶幻方的基本性质：每行、每列、每条对角线上的三个数之和（幻和）相等，且三阶幻方的幻和等于3倍中间数。我们可以先通过第一行与第一列的和相等求出第三行第一个数，再利用对角线的和与幻和的关系求出中间数，最后根据第二行的和等于幻和求出x的值。
【解析】
设幻方的中间数为$ b $，根据幻方性质，幻和（每行/列/对角线的和）为$ 3b $。
1. 设第一行第一个数为$ a $，第一行的和为幻和：$ a + (-1) + 13 = 3b $，化简得$ a = 3b -12 $。
2. 设第三行第一个数为$ m $，第一列的和也为幻和：$ a + 15 + m = 3b $，将$ a=3b-12 $代入得：$ 3b -12 +15 +m = 3b $，化简得$ m = -3 $，即第三行第一个数是$-3$。
3. 观察右上角到左下角的对角线，三个数的和为幻和：$ 13 + b + (-3) = 3b $，化简得$ 10 + b = 3b $，解得$ b=5 $，即中间数为$5$。
4. 第二行的和为幻和：$ 15 + 5 + x = 3×5 $，即$ 20 +x =15 $，解得$ x=-5 $。
【答案】
$-5$
【知识点】
幻方的性质，一元一次方程的应用，等式的性质
【点评】
本题以我国传统数学文化“幻方”为背景，考查规律探究与方程应用，解题关键是抓住幻方中和相等的核心性质，通过设未知数、消元求解，只要掌握幻方的基本规律就能顺利解答。
【难度系数】
0.7
解题的核心是利用三阶幻方的基本性质：每行、每列、每条对角线上的三个数之和（幻和）相等，且三阶幻方的幻和等于3倍中间数。我们可以先通过第一行与第一列的和相等求出第三行第一个数，再利用对角线的和与幻和的关系求出中间数，最后根据第二行的和等于幻和求出x的值。
【解析】
设幻方的中间数为$ b $，根据幻方性质，幻和（每行/列/对角线的和）为$ 3b $。
1. 设第一行第一个数为$ a $，第一行的和为幻和：$ a + (-1) + 13 = 3b $，化简得$ a = 3b -12 $。
2. 设第三行第一个数为$ m $，第一列的和也为幻和：$ a + 15 + m = 3b $，将$ a=3b-12 $代入得：$ 3b -12 +15 +m = 3b $，化简得$ m = -3 $，即第三行第一个数是$-3$。
3. 观察右上角到左下角的对角线，三个数的和为幻和：$ 13 + b + (-3) = 3b $，化简得$ 10 + b = 3b $，解得$ b=5 $，即中间数为$5$。
4. 第二行的和为幻和：$ 15 + 5 + x = 3×5 $，即$ 20 +x =15 $，解得$ x=-5 $。
【答案】
$-5$
【知识点】
幻方的性质，一元一次方程的应用，等式的性质
【点评】
本题以我国传统数学文化“幻方”为背景，考查规律探究与方程应用，解题关键是抓住幻方中和相等的核心性质，通过设未知数、消元求解，只要掌握幻方的基本规律就能顺利解答。
【难度系数】
0.7
5 新情境 生活实际 [2024 江西]书架内部宽 84 cm，在该书架上按如图所示的方式摆放数学书和语文书，已知每本数学书厚 0.8 cm，每本语文书厚 1.2 cm.
（1）数学书和语文书共 90 本恰好摆满该书架，求书架上数学书和语文书各有多少本；
（2）如果书架上已摆放 10 本语文书，那么数学书最多还可以摆
（1）数学书和语文书共 90 本恰好摆满该书架，求书架上数学书和语文书各有多少本；
（2）如果书架上已摆放 10 本语文书，那么数学书最多还可以摆
$90$
本.答案
5. （1）设书架上数学书有 $x$ 本，则语文书有 $(90-x)$ 本. 根据题意, 得 $0.8x+1.2(90-x)=84$. 解这个方程, 得 $x=60$, 此时 $90-x=30$. 答:书架上数学书有 60 本,语文书有 30 本 （2）90
解析
【分析】
（1）本题是一元一次方程的实际应用题，解题核心是找到等量关系：数学书总厚度+语文书总厚度=书架内部宽度84cm。我们可以先设数学书的数量为x本，结合两类书总共有90本，即可表示出语文书的数量，再根据两类书的单本厚度列方程求解即可。
（2）第二问先计算已摆放的10本语文书的总厚度，用书架总宽度减去该厚度得到剩余可使用的空间，再用剩余空间除以单本数学书的厚度，得到的最大整数结果就是最多可摆放的数学书数量，注意结果不能超出剩余空间承载量。
【解析】
（1）设书架上数学书有$x$本，则语文书有$(90-x)$本。
根据总厚度等于书架宽度，列方程得：
$0.8x+1.2(90-x)=84$
展开括号：$0.8x+108-1.2x=84$
移项合并同类项：$-0.4x=-24$
系数化为1：$x=60$
则语文书的数量为$90-60=30$（本）
（2）10本语文书的厚度为：$1.2×10=12\ \mathrm{cm}$
剩余可摆放空间为：$84-12=72\ \mathrm{cm}$
最多可摆放数学书的数量为：$72÷0.8=90$（本）
【答案】
（1）数学书有60本，语文书有30本；（2）90
【知识点】
一元一次方程应用，实际问题取整，有理数混合运算
【点评】
本题结合生活实际情境命题，考查学生提取等量关系、用方程解决实际问题的能力，解题时要注意计算结果需符合实际场景的要求，属于基础应用型习题。
【难度系数】
0.8
（1）本题是一元一次方程的实际应用题，解题核心是找到等量关系：数学书总厚度+语文书总厚度=书架内部宽度84cm。我们可以先设数学书的数量为x本，结合两类书总共有90本，即可表示出语文书的数量，再根据两类书的单本厚度列方程求解即可。
（2）第二问先计算已摆放的10本语文书的总厚度，用书架总宽度减去该厚度得到剩余可使用的空间，再用剩余空间除以单本数学书的厚度，得到的最大整数结果就是最多可摆放的数学书数量，注意结果不能超出剩余空间承载量。
【解析】
（1）设书架上数学书有$x$本，则语文书有$(90-x)$本。
根据总厚度等于书架宽度，列方程得：
$0.8x+1.2(90-x)=84$
展开括号：$0.8x+108-1.2x=84$
移项合并同类项：$-0.4x=-24$
系数化为1：$x=60$
则语文书的数量为$90-60=30$（本）
（2）10本语文书的厚度为：$1.2×10=12\ \mathrm{cm}$
剩余可摆放空间为：$84-12=72\ \mathrm{cm}$
最多可摆放数学书的数量为：$72÷0.8=90$（本）
【答案】
（1）数学书有60本，语文书有30本；（2）90
【知识点】
一元一次方程应用，实际问题取整，有理数混合运算
【点评】
本题结合生活实际情境命题，考查学生提取等量关系、用方程解决实际问题的能力，解题时要注意计算结果需符合实际场景的要求，属于基础应用型习题。
【难度系数】
0.8
6 新情境游戏活动 如图所示为由同样大小的围棋棋子按照一定规律摆成的“山”字，其中，第1个“山”字需要7枚棋子，第2个“山”字需要12枚棋子，第3个“山”字需要17枚棋子，…，按照此规律，52枚棋子可以摆成（
A.第8个“山”字
B.第9个“山”字
C.第10个“山”字
D.第11个“山”字
（第6题） （第7题） （第8题）
C
）A.第8个“山”字
B.第9个“山”字
C.第10个“山”字
D.第11个“山”字
（第6题） （第7题） （第8题）答案
6. C 【解析】根据题意,得第 $n$ ($n$ 为正整数)个“山”字需要$(5n+2)$枚棋子. 由 $5n+2=52$, 得 $n=10$. 所以 52 枚棋子可以摆成第 10 个“山”字.
解析
【分析】
首先观察已知的前3个“山”字的棋子数量：第1个7枚，第2个12枚，第3个17枚，可发现每往后一个“山”字，棋子数就增加5枚，属于公差为5的等差数列。我们可以先推导第n个“山”字的棋子数的代数式，再将总棋子数52代入代数式，列方程求解n的值即可。
【解析】
设第n（n为正整数）个“山”字需要的棋子数为y枚。
根据题意验证：
当n=1时，y=7=5×1+2；
当n=2时，y=12=5×2+2；
当n=3时，y=17=5×3+2；
……
由此总结规律：第n个“山”字需要的棋子数为$y=5n+2$。
当总棋子数为52枚时，列方程：
$5n+2=52$
移项计算得：$5n=50$
解得：$n=10$
即52枚棋子可以摆成第10个“山”字。
【答案】
C
【知识点】
图形规律探究；列代数式；一元一次方程的应用
【点评】
本题是典型的图形规律探究类基础题，解题核心是通过观察已知图形的数量特征，归纳出通用的规律表达式，再结合题意列方程求解，考查了观察归纳能力和方程思想的应用。
【难度系数】
0.7
首先观察已知的前3个“山”字的棋子数量：第1个7枚，第2个12枚，第3个17枚，可发现每往后一个“山”字，棋子数就增加5枚，属于公差为5的等差数列。我们可以先推导第n个“山”字的棋子数的代数式，再将总棋子数52代入代数式，列方程求解n的值即可。
【解析】
设第n（n为正整数）个“山”字需要的棋子数为y枚。
根据题意验证：
当n=1时，y=7=5×1+2；
当n=2时，y=12=5×2+2；
当n=3时，y=17=5×3+2；
……
由此总结规律：第n个“山”字需要的棋子数为$y=5n+2$。
当总棋子数为52枚时，列方程：
$5n+2=52$
移项计算得：$5n=50$
解得：$n=10$
即52枚棋子可以摆成第10个“山”字。
【答案】
C
【知识点】
图形规律探究；列代数式；一元一次方程的应用
【点评】
本题是典型的图形规律探究类基础题，解题核心是通过观察已知图形的数量特征，归纳出通用的规律表达式，再结合题意列方程求解，考查了观察归纳能力和方程思想的应用。
【难度系数】
0.7
