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16.如图，在$□ ABCD$中，点E，F在对角线AC上，且$AE=CF$.求证：四边形BEDF是平行四边形.
答案
16.[证明]如图，连接BD交AC于点O.
因为四边形ABCD是平行四边形，
所以$AO=CO,BO=DO$.
因为$AE=CF$，
所以$AO-AE=CO-CF$,即$EO=FO$，
所以四边形BEDF为平行四边形.
解析
【分析】
要证明四边形BEDF是平行四边形，可结合已知条件选择合适的判定方法，本题中已知条件都集中在平行四边形ABCD的对角线AC上，因此优先选用“对角线互相平分的四边形是平行四边形”这一判定定理。首先作辅助线连接BD交AC于点O，先利用平行四边形ABCD的对角线性质得到AO=CO、BO=DO，再结合已知AE=CF，通过等式变形推导得出EO=FO，此时四边形BEDF的对角线互相平分，即可判定其为平行四边形。
【解析】
证明：如图，连接BD交AC于点O。
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴根据平行四边形对角线互相平分的性质，可得$AO=CO$，$BO=DO$。
又
∵$AE=CF$，
∴$AO-AE=CO-CF$，即$EO=FO$。
此时四边形BEDF的对角线BD、EF互相平分（$BO=DO$，$EO=FO$），
∴四边形BEDF为平行四边形。
【答案】
[证明]如图，连接BD交AC于点O.
因为四边形ABCD是平行四边形，
所以$AO=CO,BO=DO$.
因为$AE=CF$，
所以$AO-AE=CO-CF$,即$EO=FO$，
所以四边形BEDF为平行四边形.
【知识点】
平行四边形的性质；平行四边形的判定
【点评】
本题是平行四边形证明的典型基础题，核心考查平行四边形对角线相关的性质与判定的综合运用，通过作辅助线连接对角线即可快速结合已知条件推导结论，解题时要根据题干条件灵活选择平行四边形的判定方法，简化解题步骤。
【难度系数】
0.8
要证明四边形BEDF是平行四边形，可结合已知条件选择合适的判定方法，本题中已知条件都集中在平行四边形ABCD的对角线AC上，因此优先选用“对角线互相平分的四边形是平行四边形”这一判定定理。首先作辅助线连接BD交AC于点O，先利用平行四边形ABCD的对角线性质得到AO=CO、BO=DO，再结合已知AE=CF，通过等式变形推导得出EO=FO，此时四边形BEDF的对角线互相平分，即可判定其为平行四边形。
【解析】
证明：如图，连接BD交AC于点O。
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴根据平行四边形对角线互相平分的性质，可得$AO=CO$，$BO=DO$。
又
∵$AE=CF$，
∴$AO-AE=CO-CF$，即$EO=FO$。
此时四边形BEDF的对角线BD、EF互相平分（$BO=DO$，$EO=FO$），
∴四边形BEDF为平行四边形。
【答案】
[证明]如图，连接BD交AC于点O.
因为四边形ABCD是平行四边形，
所以$AO=CO,BO=DO$.
因为$AE=CF$，
所以$AO-AE=CO-CF$,即$EO=FO$，
所以四边形BEDF为平行四边形.
【知识点】
平行四边形的性质；平行四边形的判定
【点评】
本题是平行四边形证明的典型基础题，核心考查平行四边形对角线相关的性质与判定的综合运用，通过作辅助线连接对角线即可快速结合已知条件推导结论，解题时要根据题干条件灵活选择平行四边形的判定方法，简化解题步骤。
【难度系数】
0.8
17.如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,AE//BD,BE//AC,AE与BE相交于点E.
(1)求证:四边形AEBO是菱形；
(2)若∠E=60°,AB=6,求矩形ABCD的面积.
(1)求证:四边形AEBO是菱形；
(2)若∠E=60°,AB=6,求矩形ABCD的面积.
答案
17.[解](1)证明:因为$AE// BD$,$BE// AC$,
所以四边形AEBO是平行四边形.
又因为四边形ABCD是矩形，
所以$AC=BD$,$AO=CO$,$BO=DO$,
所以$AO=BO$，
所以四边形AEBO是菱形.
(2)由(1)可知,四边形AEBO是菱形，
所以$AE=BE$，
又因为$∠ E=60°$，
所以$△ AEB$是等边三角形，
所以$AE=BE=AB=6$，
所以$AO=BO=6$，
所以$AC=BD=12$.
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$BC=\sqrt{AC^2-AB^2}=\sqrt{12^2-6^2}=6\sqrt{3}$，
所以矩形ABCD的面积为$AB· BC=6×6\sqrt{3}=36\sqrt{3}$.
所以四边形AEBO是平行四边形.
又因为四边形ABCD是矩形，
所以$AC=BD$,$AO=CO$,$BO=DO$,
所以$AO=BO$，
所以四边形AEBO是菱形.
(2)由(1)可知,四边形AEBO是菱形，
所以$AE=BE$，
又因为$∠ E=60°$，
所以$△ AEB$是等边三角形，
所以$AE=BE=AB=6$，
所以$AO=BO=6$，
所以$AC=BD=12$.
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$BC=\sqrt{AC^2-AB^2}=\sqrt{12^2-6^2}=6\sqrt{3}$，
所以矩形ABCD的面积为$AB· BC=6×6\sqrt{3}=36\sqrt{3}$.
解析
【分析】
(1)要证明四边形AEBO是菱形，首先根据两组对边分别平行可判定它是平行四边形，再结合矩形对角线相等且互相平分的性质，得到邻边AO=BO，根据“一组邻边相等的平行四边形是菱形”即可完成证明。
(2)由菱形的性质可得AE=BE，结合∠E=60°可判定△AEB是等边三角形，从而得到AO=AB=6，进而求出矩形对角线AC的长度，再在Rt△ABC中用勾股定理求出BC的长，最后代入矩形面积公式计算即可。
【解析】
(1)证明：
∵$AE// BD$，$BE// AC$，
∴四边形AEBO是平行四边形。
又
∵四边形ABCD是矩形，
∴$AC=BD$，$AO=CO$，$BO=DO$，
∴$AO=BO$，
∴平行四边形AEBO是菱形。
(2)解：由(1)可知四边形AEBO是菱形，
∴$AE=BE$，
又
∵$∠ E=60°$，
∴$△ AEB$是等边三角形，
∴$AE=BE=AB=6$，
∴$AO=BO=6$，
∴$AC=2AO=12$。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AC^2-AB^2}=\sqrt{12^2-6^2}=\sqrt{108}=6\sqrt{3}$，
∴矩形ABCD的面积为$AB· BC=6×6\sqrt{3}=36\sqrt{3}$。
【答案】
(1)四边形AEBO是菱形，证明成立；
(2)$36\sqrt{3}$
【知识点】
1.矩形的性质
2.菱形的判定与性质
3.勾股定理
【点评】
本题综合考查了特殊平行四边形的性质与判定、等边三角形的判定以及勾股定理的应用，解题时需理清各图形性质之间的关联，逐步推导即可求解。
【难度系数】
0.7
(1)要证明四边形AEBO是菱形，首先根据两组对边分别平行可判定它是平行四边形，再结合矩形对角线相等且互相平分的性质，得到邻边AO=BO，根据“一组邻边相等的平行四边形是菱形”即可完成证明。
(2)由菱形的性质可得AE=BE，结合∠E=60°可判定△AEB是等边三角形，从而得到AO=AB=6，进而求出矩形对角线AC的长度，再在Rt△ABC中用勾股定理求出BC的长，最后代入矩形面积公式计算即可。
【解析】
(1)证明：
∵$AE// BD$，$BE// AC$，
∴四边形AEBO是平行四边形。
又
∵四边形ABCD是矩形，
∴$AC=BD$，$AO=CO$，$BO=DO$，
∴$AO=BO$，
∴平行四边形AEBO是菱形。
(2)解：由(1)可知四边形AEBO是菱形，
∴$AE=BE$，
又
∵$∠ E=60°$，
∴$△ AEB$是等边三角形，
∴$AE=BE=AB=6$，
∴$AO=BO=6$，
∴$AC=2AO=12$。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AC^2-AB^2}=\sqrt{12^2-6^2}=\sqrt{108}=6\sqrt{3}$，
∴矩形ABCD的面积为$AB· BC=6×6\sqrt{3}=36\sqrt{3}$。
【答案】
(1)四边形AEBO是菱形，证明成立；
(2)$36\sqrt{3}$
【知识点】
1.矩形的性质
2.菱形的判定与性质
3.勾股定理
【点评】
本题综合考查了特殊平行四边形的性质与判定、等边三角形的判定以及勾股定理的应用，解题时需理清各图形性质之间的关联，逐步推导即可求解。
【难度系数】
0.7
