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9.甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城.在整个行驶过程中,甲、乙两车离开A城的距离y(单位:千米)与甲车行驶的时间t(单位:时)之间的函数关系如图所示,下列结论正确的有(
①两城相距600千米；
②乙车比甲车晚出发2时,却早到2时；
③乙车出发后5时追上甲车；
④甲乙两车相距50千米时,$t=\frac{15}{4}$或$t=\frac{25}{4}$.
A.3个
B.4个
C.2个
D.1个
C
)①两城相距600千米；
②乙车比甲车晚出发2时,却早到2时；
③乙车出发后5时追上甲车；
④甲乙两车相距50千米时,$t=\frac{15}{4}$或$t=\frac{25}{4}$.
A.3个
B.4个
C.2个
D.1个
答案
9.C
解析
【分析】
本题是一次函数的行程应用问题，解题思路如下：1. 先从图像读取基础信息：总路程、甲乙两车的出发和到达时间，计算两者速度，分别写出y与t的函数关系式；2. 逐一验证四个结论的正误：①直接看y的最大值判断两城距离；②对比出发和到达时间判断；③列方程求两车相遇时的时间，计算乙的行驶时长判断；④分不同时间段列方程求解相距50千米时的t值，判断是否只有两个解。最后统计正确结论的个数即可。
【解析】
首先从图像获取信息：
A、B两城距离为600千米，甲车0时出发，10时到达，速度为$v_甲=600÷10=60\,\mathrm{km/h}$，所以甲车的函数解析式为$y_甲=60t\quad(0≤ t≤10)$；
乙车2时出发，8时到达，行驶时长为$8-2=6\,\mathrm{h}$，速度为$v_乙=600÷6=100\,\mathrm{km/h}$，所以乙车的函数解析式为$y_乙=100(t-2)=100t-200\quad(2≤ t≤8)$。
逐一判断结论：
① 图像中y最大值为600千米，即两城相距600千米，结论①正确；
② 乙比甲晚出发2小时，甲10时到达，乙8时到达，乙比甲早到$10-8=2$小时，结论②正确；
③ 两车相遇时$y_甲=y_乙$，即$60t=100t-200$，解得$t=5$，此时乙的行驶时长为$5-2=3$小时，即乙出发3小时追上甲车，结论③错误；
④ 分四种情况讨论相距50千米：
当$0≤ t＜2$时，乙未出发，$60t=50$，解得$t=\frac{5}{6}$；
当$2≤ t＜5$时，甲在乙前，$60t-(100t-200)=50$，解得$t=\frac{15}{4}$；
当$5≤ t＜8$时，乙在甲前，$100t-200-60t=50$，解得$t=\frac{25}{4}$；
当$8≤ t≤10$时，乙已到达，$600-60t=50$，解得$t=\frac{55}{6}$。
共4个t值满足，结论④错误。
综上，正确的结论有①②共2个。
【答案】
C
【知识点】
一次函数的应用,行程问题,分类讨论
【点评】
本题结合行程问题考查一次函数的图像与应用，解题的关键是从图像中提取有效信息，解决相距问题时要注意分情况讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.6
本题是一次函数的行程应用问题，解题思路如下：1. 先从图像读取基础信息：总路程、甲乙两车的出发和到达时间，计算两者速度，分别写出y与t的函数关系式；2. 逐一验证四个结论的正误：①直接看y的最大值判断两城距离；②对比出发和到达时间判断；③列方程求两车相遇时的时间，计算乙的行驶时长判断；④分不同时间段列方程求解相距50千米时的t值，判断是否只有两个解。最后统计正确结论的个数即可。
【解析】
首先从图像获取信息：
A、B两城距离为600千米，甲车0时出发，10时到达，速度为$v_甲=600÷10=60\,\mathrm{km/h}$，所以甲车的函数解析式为$y_甲=60t\quad(0≤ t≤10)$；
乙车2时出发，8时到达，行驶时长为$8-2=6\,\mathrm{h}$，速度为$v_乙=600÷6=100\,\mathrm{km/h}$，所以乙车的函数解析式为$y_乙=100(t-2)=100t-200\quad(2≤ t≤8)$。
逐一判断结论：
① 图像中y最大值为600千米，即两城相距600千米，结论①正确；
② 乙比甲晚出发2小时，甲10时到达，乙8时到达，乙比甲早到$10-8=2$小时，结论②正确；
③ 两车相遇时$y_甲=y_乙$，即$60t=100t-200$，解得$t=5$，此时乙的行驶时长为$5-2=3$小时，即乙出发3小时追上甲车，结论③错误；
④ 分四种情况讨论相距50千米：
当$0≤ t＜2$时，乙未出发，$60t=50$，解得$t=\frac{5}{6}$；
当$2≤ t＜5$时，甲在乙前，$60t-(100t-200)=50$，解得$t=\frac{15}{4}$；
当$5≤ t＜8$时，乙在甲前，$100t-200-60t=50$，解得$t=\frac{25}{4}$；
当$8≤ t≤10$时，乙已到达，$600-60t=50$，解得$t=\frac{55}{6}$。
共4个t值满足，结论④错误。
综上，正确的结论有①②共2个。
【答案】
C
【知识点】
一次函数的应用,行程问题,分类讨论
【点评】
本题结合行程问题考查一次函数的图像与应用，解题的关键是从图像中提取有效信息，解决相距问题时要注意分情况讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.6
10.一次函数$y_1=ax+b$与$y_2=cx+d$的图象如图所示，下列说法：①$ab＜0$；②$M(x_1,y_1),N(x_2,y_2)$是直线$y_1=ax+b$上不重合的两点，则$(x_1-x_2)(y_1-y_2)＞0$；③$a+b＞c+d$；④$3a+b=3c+d$；⑤当$m＞3$时，$am+b＞cm+d$。其中正确的是(
A.①②
B.①③④
C.①④⑤
D.③④⑤
B
)A.①②
B.①③④
C.①④⑤
D.③④⑤
答案
10.B
解析
【分析】
解题时先结合一次函数图象的性质，先确定两个一次函数系数的正负：对于$y_1=ax+b$，图象从左到右下降，故$a＜0$，与y轴交于正半轴，故$b＞0$；对于$y_2=cx+d$，图象从左到右上升，故$c＞0$，与y轴交于负半轴，故$d＜0$。再结合两函数交点横坐标为3（即$x=3$时两函数值相等），逐一分析5个说法的正误，最终筛选出正确选项。
【解析】
逐个分析说法：
1. 分析①：由$y_1$图象得$a＜0$，$b＞0$，故$ab＜0$，①正确；
2. 分析②：$y_1$中$a＜0$，$y$随$x$的增大而减小，故若$x_1＞x_2$则$y_1＜y_2$，即$(x_1-x_2)$与$(y_1-y_2)$异号，乘积小于0，②错误；
3. 分析③：$x=1$时，$y_1=a+b$，$y_2=c+d$，由图象可知$x＜3$时$y_1$图象在$y_2$上方，即$y_1＞y_2$，故$a+b＞c+d$，③正确；
4. 分析④：两函数交点横坐标为3，即$x=3$时两函数值相等，代入得$3a+b=3c+d$，④正确；
5. 分析⑤：由图象可知$x＞3$时，$y_1$图象在$y_2$下方，即$ax+b＜cx+d$，故当$m＞3$时，$am+b＜cm+d$，⑤错误。
综上，正确的是①③④，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
一次函数图象与性质，一次函数与不等式，函数交点的意义
【点评】
本题考查一次函数的综合应用，解题核心是熟练运用数形结合思想，通过图象判断系数符号、函数增减性以及不同$x$取值下的函数值大小关系。
【难度系数】
0.7
解题时先结合一次函数图象的性质，先确定两个一次函数系数的正负：对于$y_1=ax+b$，图象从左到右下降，故$a＜0$，与y轴交于正半轴，故$b＞0$；对于$y_2=cx+d$，图象从左到右上升，故$c＞0$，与y轴交于负半轴，故$d＜0$。再结合两函数交点横坐标为3（即$x=3$时两函数值相等），逐一分析5个说法的正误，最终筛选出正确选项。
【解析】
逐个分析说法：
1. 分析①：由$y_1$图象得$a＜0$，$b＞0$，故$ab＜0$，①正确；
2. 分析②：$y_1$中$a＜0$，$y$随$x$的增大而减小，故若$x_1＞x_2$则$y_1＜y_2$，即$(x_1-x_2)$与$(y_1-y_2)$异号，乘积小于0，②错误；
3. 分析③：$x=1$时，$y_1=a+b$，$y_2=c+d$，由图象可知$x＜3$时$y_1$图象在$y_2$上方，即$y_1＞y_2$，故$a+b＞c+d$，③正确；
4. 分析④：两函数交点横坐标为3，即$x=3$时两函数值相等，代入得$3a+b=3c+d$，④正确；
5. 分析⑤：由图象可知$x＞3$时，$y_1$图象在$y_2$下方，即$ax+b＜cx+d$，故当$m＞3$时，$am+b＜cm+d$，⑤错误。
综上，正确的是①③④，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
一次函数图象与性质，一次函数与不等式，函数交点的意义
【点评】
本题考查一次函数的综合应用，解题核心是熟练运用数形结合思想，通过图象判断系数符号、函数增减性以及不同$x$取值下的函数值大小关系。
【难度系数】
0.7
11.请写出同时满足“①y随x的增大而增大；②函数图象与y轴交于负半轴”两个条件的一次函数解析式：
y=x-3(答案不唯一)
.答案
11.$y=x-3$(答案不唯一)
解析
【分析】
首先明确一次函数的一般形式为$y=kx+b$（$k≠0$，$k$、$b$为常数），再结合题目两个条件分别推导参数的取值范围：条件①“$y$随$x$的增大而增大”，根据一次函数增减性规律，可得一次项系数$k＞0$；条件②“函数图象与$y$轴交于负半轴”，一次函数与$y$轴交点为$(0,b)$，交点在负半轴说明常数项$b＜0$。只要选取任意大于0的$k$值、任意小于0的$b$值代入一般式，即可得到符合要求的解析式。
【解析】
设满足条件的一次函数解析式为$y=kx+b$（$k≠0$）
1. 由“$y$随$x$的增大而增大”可得：$k＞0$，选取$k=1$（也可选取2、3等其他正数）；
2. 由“函数图象与$y$轴交于负半轴”可得：$b＜0$，选取$b=-3$（也可选取-1、-2等其他负数）；
将$k=1$、$b=-3$代入一般式，得到$y=x-3$，符合所有要求（答案不唯一，只要满足$k＞0$、$b＜0$即可）。
【答案】
$y=x-3$（答案不唯一）
【知识点】
一次函数的性质；一次函数图象与系数的关系
【点评】
本题属于开放性基础题，核心考查一次函数的增减性、图象与$y$轴交点和系数的对应关系，熟练掌握参数$k$、$b$对一次函数性质的影响即可快速解题。
【难度系数】
0.8
首先明确一次函数的一般形式为$y=kx+b$（$k≠0$，$k$、$b$为常数），再结合题目两个条件分别推导参数的取值范围：条件①“$y$随$x$的增大而增大”，根据一次函数增减性规律，可得一次项系数$k＞0$；条件②“函数图象与$y$轴交于负半轴”，一次函数与$y$轴交点为$(0,b)$，交点在负半轴说明常数项$b＜0$。只要选取任意大于0的$k$值、任意小于0的$b$值代入一般式，即可得到符合要求的解析式。
【解析】
设满足条件的一次函数解析式为$y=kx+b$（$k≠0$）
1. 由“$y$随$x$的增大而增大”可得：$k＞0$，选取$k=1$（也可选取2、3等其他正数）；
2. 由“函数图象与$y$轴交于负半轴”可得：$b＜0$，选取$b=-3$（也可选取-1、-2等其他负数）；
将$k=1$、$b=-3$代入一般式，得到$y=x-3$，符合所有要求（答案不唯一，只要满足$k＞0$、$b＜0$即可）。
【答案】
$y=x-3$（答案不唯一）
【知识点】
一次函数的性质；一次函数图象与系数的关系
【点评】
本题属于开放性基础题，核心考查一次函数的增减性、图象与$y$轴交点和系数的对应关系，熟练掌握参数$k$、$b$对一次函数性质的影响即可快速解题。
【难度系数】
0.8
12.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为$20°$,则顶角的度数是
$110°或70°$
.答案
12.$110°或70°$
解析
【分析】
本题需要结合等腰三角形的特点分类讨论求解：首先等腰三角形的顶角既可以是锐角也可以是钝角，对应一腰上的高会分别落在三角形内部和外部两种位置，两种位置下夹角对应的几何关系不同，结合直角三角形两锐角互余的性质分别计算即可，注意不要漏解。
【解析】
本题分两种情况讨论：
1. 当等腰三角形的顶角为锐角时，一腰上的高落在三角形内部：
高与另一腰形成的直角三角形中，两个锐角互余，已知高与另一腰的夹角为$20°$，因此顶角度数为$90° - 20° = 70°$；
2. 当等腰三角形的顶角为钝角时，一腰上的高落在三角形外部：
高与腰的延长线形成直角三角形，此时高与另一腰的夹角为$20°$，可得顶角的邻补角为$90° - 20° =70°$，因此顶角度数为$180° -70° =110°$。
综上，顶角的度数为$110°$或$70°$。
【答案】
$110°或70°$
【知识点】
等腰三角形的性质，直角三角形的性质，分类讨论思想
【点评】
本题是等腰三角形相关的典型易错题，解题核心是结合高的位置进行分类讨论，很多学生容易忽略钝角三角形的高在三角形外部的情况导致漏解，做这类几何题时要全面考虑图形的所有可能形态，避免思维定式。
【难度系数】
0.6
本题需要结合等腰三角形的特点分类讨论求解：首先等腰三角形的顶角既可以是锐角也可以是钝角，对应一腰上的高会分别落在三角形内部和外部两种位置，两种位置下夹角对应的几何关系不同，结合直角三角形两锐角互余的性质分别计算即可，注意不要漏解。
【解析】
本题分两种情况讨论：
1. 当等腰三角形的顶角为锐角时，一腰上的高落在三角形内部：
高与另一腰形成的直角三角形中，两个锐角互余，已知高与另一腰的夹角为$20°$，因此顶角度数为$90° - 20° = 70°$；
2. 当等腰三角形的顶角为钝角时，一腰上的高落在三角形外部：
高与腰的延长线形成直角三角形，此时高与另一腰的夹角为$20°$，可得顶角的邻补角为$90° - 20° =70°$，因此顶角度数为$180° -70° =110°$。
综上，顶角的度数为$110°$或$70°$。
【答案】
$110°或70°$
【知识点】
等腰三角形的性质，直角三角形的性质，分类讨论思想
【点评】
本题是等腰三角形相关的典型易错题，解题核心是结合高的位置进行分类讨论，很多学生容易忽略钝角三角形的高在三角形外部的情况导致漏解，做这类几何题时要全面考虑图形的所有可能形态，避免思维定式。
【难度系数】
0.6
13.一次函数$y=2x+1$图象上有两点(2，$y_1$)，($-1$，$y_2$)，则$y_1$
＞
$y_2$(选填“＞”“＜”或“=”).答案
13.＞
解析
【分析】
本题可通过两种思路求解：思路一：利用一次函数的增减性判断，先根据一次函数解析式中k的正负确定函数的增减规律，再比较两点横坐标的大小，即可对应得到y值的大小关系；思路二：直接将两点的横坐标代入函数解析式，分别计算出y₁和y₂的数值，再比较大小即可。
【解析】
方法一：利用一次函数增减性求解
对于一次函数y=kx+b（k≠0），当k＞0时，y随x的增大而增大。
在一次函数y=2x+1中，k=2＞0，因此y随x的增大而增大。
已知两点横坐标分别为2和-1，2＞-1，所以对应的函数值y₁＞y₂。
方法二：代入求值比较
把x=2代入y=2x+1，得y₁=2×2+1=5；
把x=-1代入y=2x+1，得y₂=2×(-1)+1=-1。
因为5＞-1，所以y₁＞y₂。
【答案】
＞
【知识点】
1.一次函数的增减性
2.一次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是一次函数的基础考查题，解题方法灵活，无论是利用函数增减性还是代入计算都能快速得到结果，侧重对基础知识点的应用考察。
【难度系数】
0.9
本题可通过两种思路求解：思路一：利用一次函数的增减性判断，先根据一次函数解析式中k的正负确定函数的增减规律，再比较两点横坐标的大小，即可对应得到y值的大小关系；思路二：直接将两点的横坐标代入函数解析式，分别计算出y₁和y₂的数值，再比较大小即可。
【解析】
方法一：利用一次函数增减性求解
对于一次函数y=kx+b（k≠0），当k＞0时，y随x的增大而增大。
在一次函数y=2x+1中，k=2＞0，因此y随x的增大而增大。
已知两点横坐标分别为2和-1，2＞-1，所以对应的函数值y₁＞y₂。
方法二：代入求值比较
把x=2代入y=2x+1，得y₁=2×2+1=5；
把x=-1代入y=2x+1，得y₂=2×(-1)+1=-1。
因为5＞-1，所以y₁＞y₂。
【答案】
＞
【知识点】
1.一次函数的增减性
2.一次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是一次函数的基础考查题，解题方法灵活，无论是利用函数增减性还是代入计算都能快速得到结果，侧重对基础知识点的应用考察。
【难度系数】
0.9
14.声音在某介质中传播的速度随着温度的变化而变化，若用$v$表示声音在该介质中的传播速度，$t$表示温度，则$v$，$t$满足公式：$v=0.6t + b$（$b$为常数）。当$t=10$时，$v=337$；当$t=-10$时，则$v=$
325
。答案
14.325
解析
【分析】
本题给出了声速v与温度t的一次函数关系式，同时给出了一组t、v的对应值，解题思路分为两步：第一步，先将已知的t=10、v=337代入公式，求出常数b的值，确定完整的函数关系式；第二步，将t=-10代入确定好的关系式，计算得出对应的v值即可。
【解析】
第一步：求常数b的值
将t=10，v=337代入公式$v=0.6t + b$，得：
$337 = 0.6×10 + b$
计算得：$337 = 6 + b$
解得：$b = 337 - 6 = 331$
因此v与t的完整关系式为：$v = 0.6t + 331$
第二步：求t=-10时的v值
将t=-10代入$v = 0.6t + 331$，得：
$v = 0.6×(-10) + 331 = -6 + 331 = 325$
【答案】
325
【知识点】
1. 待定系数法求参数
2. 代数式求值
【点评】
本题属于基础运算类题目，考查一次函数中未知常数的求解和代入求值的能力，运算量小，只要细心计算，掌握代入法的应用就能正确解答。
【难度系数】
0.8
本题给出了声速v与温度t的一次函数关系式，同时给出了一组t、v的对应值，解题思路分为两步：第一步，先将已知的t=10、v=337代入公式，求出常数b的值，确定完整的函数关系式；第二步，将t=-10代入确定好的关系式，计算得出对应的v值即可。
【解析】
第一步：求常数b的值
将t=10，v=337代入公式$v=0.6t + b$，得：
$337 = 0.6×10 + b$
计算得：$337 = 6 + b$
解得：$b = 337 - 6 = 331$
因此v与t的完整关系式为：$v = 0.6t + 331$
第二步：求t=-10时的v值
将t=-10代入$v = 0.6t + 331$，得：
$v = 0.6×(-10) + 331 = -6 + 331 = 325$
【答案】
325
【知识点】
1. 待定系数法求参数
2. 代数式求值
【点评】
本题属于基础运算类题目，考查一次函数中未知常数的求解和代入求值的能力，运算量小，只要细心计算，掌握代入法的应用就能正确解答。
【难度系数】
0.8
15.如图,在平面直角坐标系中,直线$l$: $y=\frac{1}{2}x +1$交$y$轴于点$A_1$,点$A_2,A_3,A_4,A_5,···$都在直线$l$上;点$B_1,B_2,B_3,B_4,···$都在$x$轴上,以$A_1$为直角顶点作等腰直角三角形$A_1B_1B_2$;再以$A_2$为直角顶点作等腰直角三角形$A_2B_2B_3,···$,如此下去,则等腰直角三角形$A_{2025}B_{2025}B_{2026}$的底边$B_{2025}B_{2026}=$
$2×3^{2024}$
.答案
15.$2×3^{2024}$
解析
【分析】
首先先求出直线$l$与$y$轴交点$A_1$的坐标，得到第一个等腰直角三角形直角顶点的纵坐标，结合等腰直角三角形斜边上的高等于斜边一半的性质，求出第一个底边$B_1B_2$的长度；再依次求出第二个、第三个底边的长度，总结出第$n$个等腰直角三角形底边长度的通用规律，最后代入$n=2025$即可得到结果。
【解析】
1. 求$A_1$坐标及$B_1B_2$的长度
对于直线$l:y=\frac{1}{2}x+1$，令$x=0$，得$y=1$，因此$A_1(0,1)$，$OA_1=1$。
$△ A_1B_1B_2$是等腰直角三角形，直角顶点为$A_1$，等腰直角三角形斜边上的高等于斜边的$\frac{1}{2}$，此处斜边上的高等于$A_1$的纵坐标1，因此$B_1B_2=2×1=2=2×3^0$，可得$B_2$坐标为$(1,0)$。
2. 求$B_2B_3$的长度
设$A_2$的纵坐标为$y_2$，因$△ A_2B_2B_3$是等腰直角三角形，直角顶点为$A_2$，故$A_2$的横坐标与$B_2$横坐标的差等于$y_2$，又$A_2$在直线$l$上，联立得$x_2-1=\frac{1}{2}x_2+1$，解得$y_2=3$，因此$B_2B_3=2×3=6=2×3^1$。
3. 归纳规律
同理可推得$B_3B_4=2×3^2$、$B_4B_5=2×3^3$，总结规律：第$n$个等腰直角三角形$A_nB_nB_{n+1}$的底边长为$B_nB_{n+1}=2×3^{n-1}$。
4. 代入计算
当$n=2025$时，$B_{2025}B_{2026}=2×3^{2025-1}=2×3^{2024}$。
【答案】
$2×3^{2024}$
【知识点】
一次函数的性质，等腰直角三角形的性质，规律探究
【点评】
本题属于规律探究类题目，将一次函数图象性质与等腰直角三角形的特征结合，解题核心是先计算前几个底边的长度，归纳出通用规律后代入求解即可。
【难度系数】
0.4
首先先求出直线$l$与$y$轴交点$A_1$的坐标，得到第一个等腰直角三角形直角顶点的纵坐标，结合等腰直角三角形斜边上的高等于斜边一半的性质，求出第一个底边$B_1B_2$的长度；再依次求出第二个、第三个底边的长度，总结出第$n$个等腰直角三角形底边长度的通用规律，最后代入$n=2025$即可得到结果。
【解析】
1. 求$A_1$坐标及$B_1B_2$的长度
对于直线$l:y=\frac{1}{2}x+1$，令$x=0$，得$y=1$，因此$A_1(0,1)$，$OA_1=1$。
$△ A_1B_1B_2$是等腰直角三角形，直角顶点为$A_1$，等腰直角三角形斜边上的高等于斜边的$\frac{1}{2}$，此处斜边上的高等于$A_1$的纵坐标1，因此$B_1B_2=2×1=2=2×3^0$，可得$B_2$坐标为$(1,0)$。
2. 求$B_2B_3$的长度
设$A_2$的纵坐标为$y_2$，因$△ A_2B_2B_3$是等腰直角三角形，直角顶点为$A_2$，故$A_2$的横坐标与$B_2$横坐标的差等于$y_2$，又$A_2$在直线$l$上，联立得$x_2-1=\frac{1}{2}x_2+1$，解得$y_2=3$，因此$B_2B_3=2×3=6=2×3^1$。
3. 归纳规律
同理可推得$B_3B_4=2×3^2$、$B_4B_5=2×3^3$，总结规律：第$n$个等腰直角三角形$A_nB_nB_{n+1}$的底边长为$B_nB_{n+1}=2×3^{n-1}$。
4. 代入计算
当$n=2025$时，$B_{2025}B_{2026}=2×3^{2025-1}=2×3^{2024}$。
【答案】
$2×3^{2024}$
【知识点】
一次函数的性质，等腰直角三角形的性质，规律探究
【点评】
本题属于规律探究类题目，将一次函数图象性质与等腰直角三角形的特征结合，解题核心是先计算前几个底边的长度，归纳出通用规律后代入求解即可。
【难度系数】
0.4
