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18. 某商场预测某种衬衫能够畅销，用32 000元购进了一批这种款式的衬衫，面市后很快脱销，该商场又用68 000元购进第二批这种款式的衬衫，所购数量是第一批购进数量的2倍，但每件进价多了10元.
(1)该商场两次一共购进这种款式的衬衫多少件？
(2)若这两批衬衫按相同的标价销售，最后的50件衬衫按标价的八折优惠售出，全部销售完两批衬衫后获利不低于18 000元(不考虑其他因素)，求每件衬衫的标价至少是多少元？
(1)该商场两次一共购进这种款式的衬衫多少件？
(2)若这两批衬衫按相同的标价销售，最后的50件衬衫按标价的八折优惠售出，全部销售完两批衬衫后获利不低于18 000元(不考虑其他因素)，求每件衬衫的标价至少是多少元？
答案
18.[解](1)设第一批购进衬衫$x$件,则第二批购进衬衫$2x$件.
根据题意,得$\frac{32000}{x}+10=\frac{68000}{2x}$,
解得$x=200$.
经检验,$x=200$是分式方程的解,且符合题意.
所以$2x=400$.
所以$200+400=600$(件).
答:该商场两次一共购进这种款式的衬衫600件.
(2)设每件衬衫的标价是$y$元.
根据题意,得$(600-50)y+50×0.8y-32000-68000≥18000$,
解得$y≥200$.
答:每件衬衫的标价至少是200元.
根据题意,得$\frac{32000}{x}+10=\frac{68000}{2x}$,
解得$x=200$.
经检验,$x=200$是分式方程的解,且符合题意.
所以$2x=400$.
所以$200+400=600$(件).
答:该商场两次一共购进这种款式的衬衫600件.
(2)设每件衬衫的标价是$y$元.
根据题意,得$(600-50)y+50×0.8y-32000-68000≥18000$,
解得$y≥200$.
答:每件衬衫的标价至少是200元.
解析
【分析】
(1) 第一问可通过设未知数，利用“第二批每件进价=第一批每件进价+10元”的等量关系列分式方程求解。先设第一批购进衬衫数量为x件，则第二批为2x件，分别用总进价除以数量表示两批衬衫的单价，代入等量关系列方程，解出后检验是否为方程的解且符合实际意义，最后求和得到总购进数量。
(2) 第二问求标价的最小值，属于不等关系应用问题，根据“总销售额-总进货成本≥总利润”列不等式。总销售额分为两部分：(总数量-50)件按原价出售，50件按标价的八折出售，代入不等关系解不等式即可得到标价的最小值。
【解析】
(1) 设第一批购进衬衫$x$件，则第二批购进衬衫$2x$件。
根据题意列方程：
$\frac{32000}{x}+10=\frac{68000}{2x}$
去分母得：$64000+20x=68000$
解得：$x=200$
经检验，$x=200$是原分式方程的解，且符合实际意义。
则第二批购进数量为$2x=2×200=400$件，
两次总购进数量：$200+400=600$件。
(2) 设每件衬衫的标价是$y$元。
根据获利不低于18000元列不等式：
$(600-50)y+50×0.8y-32000-68000≥18000$
化简得：$590y≥118000$
解得：$y≥200$
【答案】
(1) 该商场两次一共购进这种款式的衬衫600件；
(2) 每件衬衫的标价至少是200元。
【知识点】
1. 分式方程的应用
2. 一元一次不等式的应用
3. 销售利润问题
【点评】
本题是实际应用类综合题，解题核心是准确梳理题干中的等量关系与不等关系，注意分式方程求解后必须检验是否符合实际意义，求解不等式时要注意不等号方向，这类题型是考试高频考点，需熟练掌握。
【难度系数】
0.7
(1) 第一问可通过设未知数，利用“第二批每件进价=第一批每件进价+10元”的等量关系列分式方程求解。先设第一批购进衬衫数量为x件，则第二批为2x件，分别用总进价除以数量表示两批衬衫的单价，代入等量关系列方程，解出后检验是否为方程的解且符合实际意义，最后求和得到总购进数量。
(2) 第二问求标价的最小值，属于不等关系应用问题，根据“总销售额-总进货成本≥总利润”列不等式。总销售额分为两部分：(总数量-50)件按原价出售，50件按标价的八折出售，代入不等关系解不等式即可得到标价的最小值。
【解析】
(1) 设第一批购进衬衫$x$件，则第二批购进衬衫$2x$件。
根据题意列方程：
$\frac{32000}{x}+10=\frac{68000}{2x}$
去分母得：$64000+20x=68000$
解得：$x=200$
经检验，$x=200$是原分式方程的解，且符合实际意义。
则第二批购进数量为$2x=2×200=400$件，
两次总购进数量：$200+400=600$件。
(2) 设每件衬衫的标价是$y$元。
根据获利不低于18000元列不等式：
$(600-50)y+50×0.8y-32000-68000≥18000$
化简得：$590y≥118000$
解得：$y≥200$
【答案】
(1) 该商场两次一共购进这种款式的衬衫600件；
(2) 每件衬衫的标价至少是200元。
【知识点】
1. 分式方程的应用
2. 一元一次不等式的应用
3. 销售利润问题
【点评】
本题是实际应用类综合题，解题核心是准确梳理题干中的等量关系与不等关系，注意分式方程求解后必须检验是否符合实际意义，求解不等式时要注意不等号方向，这类题型是考试高频考点，需熟练掌握。
【难度系数】
0.7
19.实践与探究.
【问题提出】如果我们身边没有量角器和三角尺,如何作$15°$大小的角呢?
【实践操作】如图所示.
第一步:对折矩形纸片ABCD,使AD与BC重合,得到折痕EF,把纸片展开,得到$AD// EF// BC$,如图1.
第二步:再一次折叠纸片,使点A落在EF上的点N处,并使折痕经过点B,得到折痕BM.折痕BM与折痕EF相交于点P.连接线段BN,PA,如图2.
第三步:折叠纸片,使点A落在BM上,并使折痕经过点B,得到折痕BH,则可得到$∠ ABH=15°$,如图3.
【问题解决】
(1)在图3中,求$∠ NBC$的度数,并证明$∠ ABH=15°$;
(2)在图2中,判断四边形APNM的形状,并说明理由.
【问题提出】如果我们身边没有量角器和三角尺,如何作$15°$大小的角呢?
【实践操作】如图所示.
第一步:对折矩形纸片ABCD,使AD与BC重合,得到折痕EF,把纸片展开,得到$AD// EF// BC$,如图1.
第二步:再一次折叠纸片,使点A落在EF上的点N处,并使折痕经过点B,得到折痕BM.折痕BM与折痕EF相交于点P.连接线段BN,PA,如图2.
第三步:折叠纸片,使点A落在BM上,并使折痕经过点B,得到折痕BH,则可得到$∠ ABH=15°$,如图3.
【问题解决】
(1)在图3中,求$∠ NBC$的度数,并证明$∠ ABH=15°$;
(2)在图2中,判断四边形APNM的形状,并说明理由.
答案
19.[解](1)由折叠重合可得$AE=BE=\frac{1}{2}AB$,$AB=BN$,且$∠ AEF=∠ BEF=90°$.
在$\mathrm{Rt}△ EBN$中,$BN=AB=2BE$,
所以$∠ ENB=30°$.
又因为$EF// BC$,
所以$∠ NBC=∠ ENB=30°$,
则$∠ ABN=90°-∠ NBC=60°$.
由折叠重合可得$∠ ABM=∠ NBM=\frac{1}{2}∠ ABN=30°$,
则$∠ ABH=∠ HBM=\frac{1}{2}∠ ABM=15°$.
(2)四边形APNM是菱形.
理由:
由折叠重合可得$AP=NP$,$AM=NM$,$∠ MAB=∠ MNB=90°$.
由(1)可知$∠ ABM=∠ NBM=∠ ENB=30°$.
在$\mathrm{Rt}△ BMN$中,$∠ PMN=∠ BMN=90°-∠ NBM=60°$.
又因为$∠ MPN=∠ NBM+∠ ENB=60°$,
所以$∠ MPN=∠ PMN$,
所以$MN=PN$.
又因为$AP=NP$,$AM=NM$,
所以$AP=NP=AM=NM$,
所以四边形APNM是菱形.
在$\mathrm{Rt}△ EBN$中,$BN=AB=2BE$,
所以$∠ ENB=30°$.
又因为$EF// BC$,
所以$∠ NBC=∠ ENB=30°$,
则$∠ ABN=90°-∠ NBC=60°$.
由折叠重合可得$∠ ABM=∠ NBM=\frac{1}{2}∠ ABN=30°$,
则$∠ ABH=∠ HBM=\frac{1}{2}∠ ABM=15°$.
(2)四边形APNM是菱形.
理由:
由折叠重合可得$AP=NP$,$AM=NM$,$∠ MAB=∠ MNB=90°$.
由(1)可知$∠ ABM=∠ NBM=∠ ENB=30°$.
在$\mathrm{Rt}△ BMN$中,$∠ PMN=∠ BMN=90°-∠ NBM=60°$.
又因为$∠ MPN=∠ NBM+∠ ENB=60°$,
所以$∠ MPN=∠ PMN$,
所以$MN=PN$.
又因为$AP=NP$,$AM=NM$,
所以$AP=NP=AM=NM$,
所以四边形APNM是菱形.
解析
【分析】
(1) 求解∠NBC时，先利用两次折叠的性质得到边的数量关系：对折矩形可得E是AB中点，故$BE=\frac{1}{2}AB$，第二次折叠使A落在N处，故$AB=BN$，由此可得$Rt△ EBN$中$BN=2BE$，根据直角三角形中30°角所对直角边等于斜边的一半，可得$∠ENB=30°$，再结合$EF// BC$的内错角相等性质即可求出∠NBC。证明$∠ABH=15°$时，先由矩形内角为90°算出$∠ABN=60°$，再利用折叠的角平分线性质，先由BM平分$∠ABN$得$∠ABM=30°$，再由BH平分$∠ABM$即可得到15°角。
(2) 判断四边形APNM的形状时，首先由折叠性质可得$AP=NP$、$AM=NM$，只需再证明两组邻边相等，即证$MN=PN$，通过角度计算可得$∠PMN=∠MPN=60°$，推出$MN=PN$，得到四条边相等，即可判定四边形的形状。
【解析】
(1) 由折叠重合可得$AE=BE=\frac{1}{2}AB$，$AB=BN$，且$∠ AEF=∠ BEF=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ EBN$中，$BN=AB=2BE$，
所以$∠ ENB=30°$。
又因为$EF// BC$，
所以$∠ NBC=∠ ENB=30°$，
则$∠ ABN=90°-∠ NBC=60°$。
由折叠重合可得$∠ ABM=∠ NBM=\frac{1}{2}∠ ABN=30°$，
则$∠ ABH=∠ HBM=\frac{1}{2}∠ ABM=15°$。
(2) 四边形APNM是菱形。
理由：
由折叠重合可得$AP=NP$，$AM=NM$，$∠ MAB=∠ MNB=90°$。
由(1)可知$∠ ABM=∠ NBM=∠ ENB=30°$。
在$\mathrm{Rt}△ BMN$中，$∠ PMN=∠ BMN=90°-∠ NBM=60°$。
又因为$∠ MPN=∠ NBM+∠ ENB=60°$，
所以$∠ MPN=∠ PMN$，
所以$MN=PN$。
又因为$AP=NP$，$AM=NM$，
所以$AP=NP=AM=NM$，
所以四边形APNM是菱形。
【答案】
(1) $∠ NBC=30°$，$∠ ABH=15°$，证明见解析；
(2) 四边形$APNM$是菱形，理由见解析。
【知识点】
折叠的性质；直角三角形的性质；菱形的判定
【点评】
本题以矩形折叠实践操作为背景，考查几何性质的综合应用，解题核心是抓住折叠前后对应边相等、对应角相等的性质，结合平行线、直角三角形、特殊四边形判定的知识点逐步推导，能够有效考查逻辑推理能力和实践操作转化为几何结论的能力。
【难度系数】
0.6
(1) 求解∠NBC时，先利用两次折叠的性质得到边的数量关系：对折矩形可得E是AB中点，故$BE=\frac{1}{2}AB$，第二次折叠使A落在N处，故$AB=BN$，由此可得$Rt△ EBN$中$BN=2BE$，根据直角三角形中30°角所对直角边等于斜边的一半，可得$∠ENB=30°$，再结合$EF// BC$的内错角相等性质即可求出∠NBC。证明$∠ABH=15°$时，先由矩形内角为90°算出$∠ABN=60°$，再利用折叠的角平分线性质，先由BM平分$∠ABN$得$∠ABM=30°$，再由BH平分$∠ABM$即可得到15°角。
(2) 判断四边形APNM的形状时，首先由折叠性质可得$AP=NP$、$AM=NM$，只需再证明两组邻边相等，即证$MN=PN$，通过角度计算可得$∠PMN=∠MPN=60°$，推出$MN=PN$，得到四条边相等，即可判定四边形的形状。
【解析】
(1) 由折叠重合可得$AE=BE=\frac{1}{2}AB$，$AB=BN$，且$∠ AEF=∠ BEF=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ EBN$中，$BN=AB=2BE$，
所以$∠ ENB=30°$。
又因为$EF// BC$，
所以$∠ NBC=∠ ENB=30°$，
则$∠ ABN=90°-∠ NBC=60°$。
由折叠重合可得$∠ ABM=∠ NBM=\frac{1}{2}∠ ABN=30°$，
则$∠ ABH=∠ HBM=\frac{1}{2}∠ ABM=15°$。
(2) 四边形APNM是菱形。
理由：
由折叠重合可得$AP=NP$，$AM=NM$，$∠ MAB=∠ MNB=90°$。
由(1)可知$∠ ABM=∠ NBM=∠ ENB=30°$。
在$\mathrm{Rt}△ BMN$中，$∠ PMN=∠ BMN=90°-∠ NBM=60°$。
又因为$∠ MPN=∠ NBM+∠ ENB=60°$，
所以$∠ MPN=∠ PMN$，
所以$MN=PN$。
又因为$AP=NP$，$AM=NM$，
所以$AP=NP=AM=NM$，
所以四边形APNM是菱形。
【答案】
(1) $∠ NBC=30°$，$∠ ABH=15°$，证明见解析；
(2) 四边形$APNM$是菱形，理由见解析。
【知识点】
折叠的性质；直角三角形的性质；菱形的判定
【点评】
本题以矩形折叠实践操作为背景，考查几何性质的综合应用，解题核心是抓住折叠前后对应边相等、对应角相等的性质，结合平行线、直角三角形、特殊四边形判定的知识点逐步推导，能够有效考查逻辑推理能力和实践操作转化为几何结论的能力。
【难度系数】
0.6
