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1 二次函数$y=ax^2+bx+c$，已知$b^2-4ac＞0$，$ac＞0$，$ab＜0$，则这个函数的图像一定经过（
A.第一、二象限
B.第一、三象限
C.第一、四象限
D.第二、四象限
C
）。A.第一、二象限
B.第一、三象限
C.第一、四象限
D.第二、四象限
答案
1.C
解析
【分析】
解题时先根据已知的不等关系推导二次函数系数a、b、c的符号关联，再结合二次函数的图像特征（开口方向、对称轴位置、与坐标轴交点、顶点位置）分情况讨论，最终找到不同情况中图像都经过的象限即可。首先由ac＞0得a与c同号，由ab＜0得a与b异号，可推出对称轴在y轴右侧，再结合判别式大于0可知抛物线与x轴有两个交点，分a＞0和a＜0两种情况分析图像经过的象限，取公共部分就是答案。
【解析】
1. 分析系数与基本性质：
已知$ac＞0$，则$a$和$c$符号相同；$ab＜0$，则$a$和$b$符号相反，因此$b$与$c$符号相反。
对称轴公式为$x=-\frac{b}{2a}$，因$a$、$b$异号，故$-\frac{b}{2a}＞0$，即抛物线对称轴恒在y轴右侧。
又$b^2-4ac＞0$，说明抛物线与x轴有两个不相等的交点。
2. 分情况讨论：
① 当$a＞0$时，抛物线开口向上：
此时$c＞0$（a、c同号），抛物线与y轴交于正半轴$(0,c)$；$b＜0$（a、b异号）。
顶点纵坐标为$\frac{4ac-b^2}{4a}$，因$b^2-4ac＞0$，则$4ac-b^2＜0$，且$a＞0$，故顶点纵坐标为负，顶点在第四象限。
此时抛物线经过第一、二、四象限。
② 当$a＜0$时，抛物线开口向下：
此时$c＜0$（a、c同号），抛物线与y轴交于负半轴$(0,c)$；$b＞0$（a、b异号）。
顶点纵坐标$\frac{4ac-b^2}{4a}$，分子$4ac-b^2＜0$，分母$4a＜0$，故顶点纵坐标为正，顶点在第一象限。
此时抛物线经过第一、三、四象限。
3. 确定公共象限：两种情况中抛物线均经过第一、四象限，因此函数图像一定经过第一、四象限。
【答案】
C
【知识点】
1.二次函数图像性质 2.二次函数系数与图像的关系
【点评】
本题核心考查二次函数系数和图像特征的对应关系，需要学生掌握开口方向、对称轴、顶点坐标、与坐标轴交点等性质和系数的联系，通过分类讨论排除非公共象限即可得到答案，能有效训练分类讨论的思维。
【难度系数】
0.6
解题时先根据已知的不等关系推导二次函数系数a、b、c的符号关联，再结合二次函数的图像特征（开口方向、对称轴位置、与坐标轴交点、顶点位置）分情况讨论，最终找到不同情况中图像都经过的象限即可。首先由ac＞0得a与c同号，由ab＜0得a与b异号，可推出对称轴在y轴右侧，再结合判别式大于0可知抛物线与x轴有两个交点，分a＞0和a＜0两种情况分析图像经过的象限，取公共部分就是答案。
【解析】
1. 分析系数与基本性质：
已知$ac＞0$，则$a$和$c$符号相同；$ab＜0$，则$a$和$b$符号相反，因此$b$与$c$符号相反。
对称轴公式为$x=-\frac{b}{2a}$，因$a$、$b$异号，故$-\frac{b}{2a}＞0$，即抛物线对称轴恒在y轴右侧。
又$b^2-4ac＞0$，说明抛物线与x轴有两个不相等的交点。
2. 分情况讨论：
① 当$a＞0$时，抛物线开口向上：
此时$c＞0$（a、c同号），抛物线与y轴交于正半轴$(0,c)$；$b＜0$（a、b异号）。
顶点纵坐标为$\frac{4ac-b^2}{4a}$，因$b^2-4ac＞0$，则$4ac-b^2＜0$，且$a＞0$，故顶点纵坐标为负，顶点在第四象限。
此时抛物线经过第一、二、四象限。
② 当$a＜0$时，抛物线开口向下：
此时$c＜0$（a、c同号），抛物线与y轴交于负半轴$(0,c)$；$b＞0$（a、b异号）。
顶点纵坐标$\frac{4ac-b^2}{4a}$，分子$4ac-b^2＜0$，分母$4a＜0$，故顶点纵坐标为正，顶点在第一象限。
此时抛物线经过第一、三、四象限。
3. 确定公共象限：两种情况中抛物线均经过第一、四象限，因此函数图像一定经过第一、四象限。
【答案】
C
【知识点】
1.二次函数图像性质 2.二次函数系数与图像的关系
【点评】
本题核心考查二次函数系数和图像特征的对应关系，需要学生掌握开口方向、对称轴、顶点坐标、与坐标轴交点等性质和系数的联系，通过分类讨论排除非公共象限即可得到答案，能有效训练分类讨论的思维。
【难度系数】
0.6
2 已知二次函数的图像与y轴的交点坐标为$(0,a)$，与x轴的交点坐标为$(b,0)$和$(-b,0)$，若$a＞0$，则函数表达式为(
A.$y=\dfrac{a}{b^2}x^2 + a$
B.$y=-\dfrac{a}{b^2}x^2 + a$
C.$y=-\dfrac{a}{b^2}x^2 - a$
D.$y=\dfrac{a}{b^2}x^2 - a$
B
)。A.$y=\dfrac{a}{b^2}x^2 + a$
B.$y=-\dfrac{a}{b^2}x^2 + a$
C.$y=-\dfrac{a}{b^2}x^2 - a$
D.$y=\dfrac{a}{b^2}x^2 - a$
答案
2.B
解析
【分析】
已知二次函数与x轴的两个交点为$(b,0)$和$(-b,0)$，可知函数图像关于y轴对称，解析式不含一次项，我们可以根据交点特征选择合适的解析式形式求解：既可以用交点式设解析式，也可以直接设不含一次项的一般形式，再依次代入已知的y轴交点和x轴交点求出未知系数，最终匹配选项即可。
【解析】
因为二次函数与x轴交于$(b,0)$、$(-b,0)$，所以设函数交点式为$y=k(x-b)(x+b)$（$k≠0$），化简得：
$y=k(x^2 - b^2)$
将y轴交点$(0,a)$代入上式：
$a = k(0 - b^2)$
解得$k=-\frac{a}{b^2}$
将$k$代入解析式展开得：
$y=-\frac{a}{b^2}(x^2 - b^2)=-\frac{a}{b^2}x^2 + a$
对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
1.二次函数解析式求解
2.二次函数交点性质
【点评】
本题是二次函数解析式求解的基础题型，可根据给出的交点特征灵活选择解析式形式降低计算量，熟练掌握二次函数不同形式解析式的适用场景是解题的核心。
【难度系数】
0.8
已知二次函数与x轴的两个交点为$(b,0)$和$(-b,0)$，可知函数图像关于y轴对称，解析式不含一次项，我们可以根据交点特征选择合适的解析式形式求解：既可以用交点式设解析式，也可以直接设不含一次项的一般形式，再依次代入已知的y轴交点和x轴交点求出未知系数，最终匹配选项即可。
【解析】
因为二次函数与x轴交于$(b,0)$、$(-b,0)$，所以设函数交点式为$y=k(x-b)(x+b)$（$k≠0$），化简得：
$y=k(x^2 - b^2)$
将y轴交点$(0,a)$代入上式：
$a = k(0 - b^2)$
解得$k=-\frac{a}{b^2}$
将$k$代入解析式展开得：
$y=-\frac{a}{b^2}(x^2 - b^2)=-\frac{a}{b^2}x^2 + a$
对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
1.二次函数解析式求解
2.二次函数交点性质
【点评】
本题是二次函数解析式求解的基础题型，可根据给出的交点特征灵活选择解析式形式降低计算量，熟练掌握二次函数不同形式解析式的适用场景是解题的核心。
【难度系数】
0.8
3 已知抛物线$y=ax^2+bx+c$与$y=x^2-5x+2$关于点$(3,2)$对称，则$a+b+c$的值为（
A.1
B.$-1$
C.2
D.$-2$
C
）。A.1
B.$-1$
C.2
D.$-2$
答案
3.C
解析
【分析】
首先明确$a+b+c$是抛物线$y=ax^2+bx+c$在$x=1$处的函数值。两条抛物线关于点$(3,2)$中心对称，根据中点坐标公式，若点$(x',y')$在对称后的抛物线上，则其关于$(3,2)$的对称点$(6-x',4-y')$一定在原抛物线上。要求$x'=1$时的$y'$值，只需先求原抛物线上对应对称点的函数值，再通过对称关系计算$y'$即可得到结果，无需推导完整的对称后抛物线解析式，简化计算。
【解析】
1. 由二次函数的性质可知：当$x=1$时，$y=a×1^2 + b×1 + c = a+b+c$，即求$a+b+c$的值等价于求抛物线$y=ax^2+bx+c$在$x=1$时的函数值。
2. 设点$(1, y_0)$在抛物线$y=ax^2+bx+c$上，根据中心对称的坐标变换规则，点$(1,y_0)$关于$(3,2)$的对称点坐标为：
横坐标：$2×3 - 1 = 5$，纵坐标：$2×2 - y_0 = 4 - y_0$，即对称点为$(5, 4-y_0)$。
3. 由于两条抛物线关于$(3,2)$对称，因此点$(5, 4-y_0)$在原抛物线$y=x^2-5x+2$上，代入得：
$4 - y_0 = 5^2 - 5×5 + 2$
右侧计算得$25 - 25 + 2 = 2$，因此：
$4 - y_0 = 2$，解得$y_0 = 2$，即$a+b+c=2$。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的性质，中心对称坐标变换，中点坐标公式
【点评】
本题巧妙利用二次函数$x=1$时的函数值为$a+b+c$的规律，结合中心对称的坐标变换性质求解，避免了求解完整对称解析式，考查了对基础知识的灵活运用能力，解题时要注意观察所求式子的特征寻找简便方法。
【难度系数】
0.7
首先明确$a+b+c$是抛物线$y=ax^2+bx+c$在$x=1$处的函数值。两条抛物线关于点$(3,2)$中心对称，根据中点坐标公式，若点$(x',y')$在对称后的抛物线上，则其关于$(3,2)$的对称点$(6-x',4-y')$一定在原抛物线上。要求$x'=1$时的$y'$值，只需先求原抛物线上对应对称点的函数值，再通过对称关系计算$y'$即可得到结果，无需推导完整的对称后抛物线解析式，简化计算。
【解析】
1. 由二次函数的性质可知：当$x=1$时，$y=a×1^2 + b×1 + c = a+b+c$，即求$a+b+c$的值等价于求抛物线$y=ax^2+bx+c$在$x=1$时的函数值。
2. 设点$(1, y_0)$在抛物线$y=ax^2+bx+c$上，根据中心对称的坐标变换规则，点$(1,y_0)$关于$(3,2)$的对称点坐标为：
横坐标：$2×3 - 1 = 5$，纵坐标：$2×2 - y_0 = 4 - y_0$，即对称点为$(5, 4-y_0)$。
3. 由于两条抛物线关于$(3,2)$对称，因此点$(5, 4-y_0)$在原抛物线$y=x^2-5x+2$上，代入得：
$4 - y_0 = 5^2 - 5×5 + 2$
右侧计算得$25 - 25 + 2 = 2$，因此：
$4 - y_0 = 2$，解得$y_0 = 2$，即$a+b+c=2$。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的性质，中心对称坐标变换，中点坐标公式
【点评】
本题巧妙利用二次函数$x=1$时的函数值为$a+b+c$的规律，结合中心对称的坐标变换性质求解，避免了求解完整对称解析式，考查了对基础知识的灵活运用能力，解题时要注意观察所求式子的特征寻找简便方法。
【难度系数】
0.7
④ 若方程$ax^2+bx+c=0$的两个根是－3和1，那么二次函数$y=ax^2+bx+c$的图像的对称轴是直线
$x=-1$
。答案
4.$x=-1$
解析
【分析】
解题时首先要建立一元二次方程的根与对应二次函数图象的联系：方程的两个根就是二次函数图象与x轴两个交点的横坐标。已知两个根为-3和1，说明二次函数与x轴交于(-3,0)、(1,0)两点，而二次函数图象是轴对称图形，这两个交点关于对称轴对称，因此对称轴为过两点中点且垂直于x轴的直线，只需计算两个根的平均值即可得到对称轴的表达式。也可以结合韦达定理推导：二次函数对称轴为$x=-\frac{b}{2a}$，由韦达定理得两根之和$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，因此对称轴也可直接用$x=\frac{x_1+x_2}{2}$计算。
【解析】
解：
∵ 方程$ax^2+bx+c=0$的两个根是-3和1
∴ 二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象与x轴的交点坐标为$(-3,0)$和$(1,0)$
∵ 抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称
∴ 对称轴为直线$x=\frac{-3+1}{2}=-1$
【答案】
$x=-1$
【知识点】
1. 二次函数与一元二次方程的联系
2. 二次函数的对称性
【点评】
本题是基础题型，核心是理解二次函数图象与x轴交点的横坐标和对应一元二次方程根的对应关系，结合抛物线的对称性即可快速求出对称轴，也可通过韦达定理推导的对称轴公式直接计算，难度较低。
【难度系数】
0.85
解题时首先要建立一元二次方程的根与对应二次函数图象的联系：方程的两个根就是二次函数图象与x轴两个交点的横坐标。已知两个根为-3和1，说明二次函数与x轴交于(-3,0)、(1,0)两点，而二次函数图象是轴对称图形，这两个交点关于对称轴对称，因此对称轴为过两点中点且垂直于x轴的直线，只需计算两个根的平均值即可得到对称轴的表达式。也可以结合韦达定理推导：二次函数对称轴为$x=-\frac{b}{2a}$，由韦达定理得两根之和$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，因此对称轴也可直接用$x=\frac{x_1+x_2}{2}$计算。
【解析】
解：
∵ 方程$ax^2+bx+c=0$的两个根是-3和1
∴ 二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象与x轴的交点坐标为$(-3,0)$和$(1,0)$
∵ 抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称
∴ 对称轴为直线$x=\frac{-3+1}{2}=-1$
【答案】
$x=-1$
【知识点】
1. 二次函数与一元二次方程的联系
2. 二次函数的对称性
【点评】
本题是基础题型，核心是理解二次函数图象与x轴交点的横坐标和对应一元二次方程根的对应关系，结合抛物线的对称性即可快速求出对称轴，也可通过韦达定理推导的对称轴公式直接计算，难度较低。
【难度系数】
0.85
5 抛物线$y=3x^2 + 4x -5$与x轴的交点的个数是
6 二次函数$y=2x^2 + bx + 24$的最小值是$-8$，则$b=$
2
个。6 二次函数$y=2x^2 + bx + 24$的最小值是$-8$，则$b=$
16或－16
。答案
5.2
6.16或－16
6.16或－16
解析
【分析】
第5题：判断抛物线与x轴的交点个数，可令y=0，将问题转化为判断对应一元二次方程的实数根个数，利用根的判别式Δ的符号即可判定：Δ＞0时有2个交点，Δ=0时有1个交点，Δ＜0时无交点。
第6题：二次项系数a＞0时二次函数开口向上，存在最小值，最小值为顶点的纵坐标，直接套用二次函数最值公式$\frac{4ac-b^2}{4a}$，代入已知最小值列方程求解即可，注意开平方时不要遗漏负根。
【解析】
5. 令抛物线$y=3x^2 +4x -5$中$y=0$，得一元二次方程$3x^2 +4x -5=0$，
其中$a=3$，$b=4$，$c=-5$，
判别式$\Delta = b^2 -4ac = 4^2 -4×3×(-5) =16 +60=76＞0$，
因此方程有2个不相等的实数根，即抛物线与x轴的交点个数是2个。
6. 二次函数$y=2x^2 +bx +24$中$a=2＞0$，存在最小值，
由二次函数最值公式得：$\frac{4ac -b^2}{4a}=-8$，
代入$a=2$，$c=24$得：$\frac{4×2×24 -b^2}{4×2}=-8$，
化简得：$\frac{192 -b^2}{8}=-8$，
两边同乘8得：$192 -b^2 = -64$，
移项得：$b^2=256$，
解得$b=\pm16$，即$b=16$或$b=-16$。
【答案】
5. 2；6. 16或－16
【知识点】
1. 二次函数与一元二次方程的关系
2. 根的判别式
3. 二次函数的最值
【点评】
这两道题是二次函数的基础常考题，分别考查交点个数判定和最值计算，解题关键是牢记判别式的意义、二次函数最值公式，计算时注意不要漏解。
【难度系数】
0.8
第5题：判断抛物线与x轴的交点个数，可令y=0，将问题转化为判断对应一元二次方程的实数根个数，利用根的判别式Δ的符号即可判定：Δ＞0时有2个交点，Δ=0时有1个交点，Δ＜0时无交点。
第6题：二次项系数a＞0时二次函数开口向上，存在最小值，最小值为顶点的纵坐标，直接套用二次函数最值公式$\frac{4ac-b^2}{4a}$，代入已知最小值列方程求解即可，注意开平方时不要遗漏负根。
【解析】
5. 令抛物线$y=3x^2 +4x -5$中$y=0$，得一元二次方程$3x^2 +4x -5=0$，
其中$a=3$，$b=4$，$c=-5$，
判别式$\Delta = b^2 -4ac = 4^2 -4×3×(-5) =16 +60=76＞0$，
因此方程有2个不相等的实数根，即抛物线与x轴的交点个数是2个。
6. 二次函数$y=2x^2 +bx +24$中$a=2＞0$，存在最小值，
由二次函数最值公式得：$\frac{4ac -b^2}{4a}=-8$，
代入$a=2$，$c=24$得：$\frac{4×2×24 -b^2}{4×2}=-8$，
化简得：$\frac{192 -b^2}{8}=-8$，
两边同乘8得：$192 -b^2 = -64$，
移项得：$b^2=256$，
解得$b=\pm16$，即$b=16$或$b=-16$。
【答案】
5. 2；6. 16或－16
【知识点】
1. 二次函数与一元二次方程的关系
2. 根的判别式
3. 二次函数的最值
【点评】
这两道题是二次函数的基础常考题，分别考查交点个数判定和最值计算，解题关键是牢记判别式的意义、二次函数最值公式，计算时注意不要漏解。
【难度系数】
0.8
7 已知一次函数$y=-2x+4$的图像与$x$轴、$y$轴分别交于$A$、$C$两点，二次函数$y=2x^2+bx+c$的图像过点$C$且与一次函数图像在第二象限交于另一点$B$，若$AC=CB$，则二次函数的表达式是
$y=2x^2+2x+4$
。答案
7.$y=2x^2+2x+4$
解析
【分析】
解题时首先求出一次函数与坐标轴的交点A、C的坐标，根据AC=CB可知点C是线段AB的中点，利用中点坐标公式求出点B的坐标，再将B、C两点坐标代入二次函数表达式，用待定系数法即可求出b、c的值，得到二次函数解析式。
【解析】
1. 求A、C两点坐标：
对于一次函数$y=-2x+4$，
令$y=0$，得$0=-2x+4$，解得$x=2$，$\therefore A(2,0)$；
令$x=0$，得$y=4$，$\therefore C(0,4)$。
2. 求B点坐标：
$\because AC=CB$，且B在一次函数图像上，$\therefore C$是线段$AB$的中点。
设$B(m,n)$，根据中点坐标公式：
横坐标：$\frac{2+m}{2}=0$，解得$m=-2$；
纵坐标：$\frac{0+n}{2}=4$，解得$n=8$。
$\therefore B(-2,8)$。
3. 求二次函数解析式：
二次函数$y=2x^2+bx+c$过$C(0,4)$，代入得$c=4$；
将$B(-2,8)$、$c=4$代入二次函数表达式：
$8=2×(-2)^2 + b×(-2) + 4$
化简得：$8=8-2b+4$，解得$b=2$。
$\therefore$ 二次函数表达式为$y=2x^2+2x+4$。
【答案】
$y=2x^2+2x+4$
【知识点】
一次函数交点求法；中点坐标公式；待定系数法求二次函数解析式
【点评】
本题属于函数基础综合题，解题关键是通过线段相等关系确定中点，进而求出未知点坐标，熟练掌握函数基础性质和坐标运算即可轻松解答。
【难度系数】
0.7
解题时首先求出一次函数与坐标轴的交点A、C的坐标，根据AC=CB可知点C是线段AB的中点，利用中点坐标公式求出点B的坐标，再将B、C两点坐标代入二次函数表达式，用待定系数法即可求出b、c的值，得到二次函数解析式。
【解析】
1. 求A、C两点坐标：
对于一次函数$y=-2x+4$，
令$y=0$，得$0=-2x+4$，解得$x=2$，$\therefore A(2,0)$；
令$x=0$，得$y=4$，$\therefore C(0,4)$。
2. 求B点坐标：
$\because AC=CB$，且B在一次函数图像上，$\therefore C$是线段$AB$的中点。
设$B(m,n)$，根据中点坐标公式：
横坐标：$\frac{2+m}{2}=0$，解得$m=-2$；
纵坐标：$\frac{0+n}{2}=4$，解得$n=8$。
$\therefore B(-2,8)$。
3. 求二次函数解析式：
二次函数$y=2x^2+bx+c$过$C(0,4)$，代入得$c=4$；
将$B(-2,8)$、$c=4$代入二次函数表达式：
$8=2×(-2)^2 + b×(-2) + 4$
化简得：$8=8-2b+4$，解得$b=2$。
$\therefore$ 二次函数表达式为$y=2x^2+2x+4$。
【答案】
$y=2x^2+2x+4$
【知识点】
一次函数交点求法；中点坐标公式；待定系数法求二次函数解析式
【点评】
本题属于函数基础综合题，解题关键是通过线段相等关系确定中点，进而求出未知点坐标，熟练掌握函数基础性质和坐标运算即可轻松解答。
【难度系数】
0.7
⑧ 已知抛物线过点A(-1，0)和B(3，0)，与y轴交于点C，且BC=3√2，则这条抛物线的表达式为
$y=x^2-2x-3$或$y=-x^2+2x+3$
。答案
8.$y=x^2-2x-3$或$y=-x^2+2x+3$
解析
【分析】
首先，已知抛物线与x轴的两个交点坐标，可优先设二次函数的交点式来简化计算，仅需求出系数a即可；其次，点C在y轴上，横坐标为0，结合BC的长度，利用两点间距离公式可求出点C的纵坐标，注意纵坐标有正负两种可能，避免漏解；最后将点C坐标代入交点式求出a的值，即可得到抛物线的表达式。
【解析】
∵ 抛物线过x轴上的点$A(-1,0)$和$B(3,0)$
∴ 设抛物线的表达式为$y=a(x+1)(x-3)$（$a≠0$）
设点C的坐标为$(0,c)$，已知$BC=3\sqrt{2}$，$B(3,0)$，根据两点间距离公式：
$\sqrt{(3-0)^2 + (0-c)^2} = 3\sqrt{2}$
两边平方得：$9 + c^2 = 18$
解得$c=3$或$c=-3$，即点C坐标为$(0,3)$或$(0,-3)$
① 当$C(0,-3)$时，代入表达式得：
$a(0+1)(0-3) = -3$，即$-3a=-3$，解得$a=1$
此时抛物线表达式为$y=(x+1)(x-3)=x^2-2x-3$
② 当$C(0,3)$时，代入表达式得：
$a(0+1)(0-3) = 3$，即$-3a=3$，解得$a=-1$
此时抛物线表达式为$y=-(x+1)(x-3)=-x^2+2x+3$
【答案】
$y=x^2-2x-3$或$y=-x^2+2x+3$
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；两点间距离公式；二次函数交点式
【点评】
本题解题的关键是根据抛物线与x轴交点的特征选择交点式简化计算，同时要注意点C的位置有两种情况，需分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.7
首先，已知抛物线与x轴的两个交点坐标，可优先设二次函数的交点式来简化计算，仅需求出系数a即可；其次，点C在y轴上，横坐标为0，结合BC的长度，利用两点间距离公式可求出点C的纵坐标，注意纵坐标有正负两种可能，避免漏解；最后将点C坐标代入交点式求出a的值，即可得到抛物线的表达式。
【解析】
∵ 抛物线过x轴上的点$A(-1,0)$和$B(3,0)$
∴ 设抛物线的表达式为$y=a(x+1)(x-3)$（$a≠0$）
设点C的坐标为$(0,c)$，已知$BC=3\sqrt{2}$，$B(3,0)$，根据两点间距离公式：
$\sqrt{(3-0)^2 + (0-c)^2} = 3\sqrt{2}$
两边平方得：$9 + c^2 = 18$
解得$c=3$或$c=-3$，即点C坐标为$(0,3)$或$(0,-3)$
① 当$C(0,-3)$时，代入表达式得：
$a(0+1)(0-3) = -3$，即$-3a=-3$，解得$a=1$
此时抛物线表达式为$y=(x+1)(x-3)=x^2-2x-3$
② 当$C(0,3)$时，代入表达式得：
$a(0+1)(0-3) = 3$，即$-3a=3$，解得$a=-1$
此时抛物线表达式为$y=-(x+1)(x-3)=-x^2+2x+3$
【答案】
$y=x^2-2x-3$或$y=-x^2+2x+3$
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；两点间距离公式；二次函数交点式
【点评】
本题解题的关键是根据抛物线与x轴交点的特征选择交点式简化计算，同时要注意点C的位置有两种情况，需分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.7
9 二次函数$y=x^2+ax+a-2$的图像与x轴两交点间的距离最短是
2
。答案
9.2 [提示:设两交点坐标分别为$(x_1,0)$和$(x_2,0)$。由韦达定理可得$x_1+x_2=-a$，$x_1· x_2=a-2$。因为$(x_1-x_2)^2=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2$，所以$(x_1-x_2)^2=a^2-4(a-2)=a^2-4a+8=(a-2)^2+4$。当$a=2$时，$(x_1-x_2)^2$取得最小值4，此时$|x_1-x_2|$取得最小值2，所以图像与x轴两交点间的距离最短是2。]
解析
【分析】
要解决二次函数图像与x轴两交点间的最短距离问题，可按以下思路思考：首先，二次函数与x轴交点的横坐标就是对应一元二次方程的两个实根，两交点的距离就是两根差的绝对值；直接求绝对值的最小值不方便，可先求其平方的最小值，因为平方最小时，绝对值也最小；接着利用韦达定理（根与系数的关系），不需要解方程就能把两根和、两根积用含参数a的式子表示，代入恒等式$(x_1-x_2)^2=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2$，就能得到关于a的二次函数，最后配方求这个二次函数的最小值，再开方即可得到最短距离。
【解析】
设二次函数$y=x^2+ax+a-2$的图像与x轴两个交点的横坐标为$x_1$、$x_2$，则$x_1$、$x_2$是一元二次方程$x^2+ax+a-2=0$的两个实数根。
先验证判别式：$\Delta=a^2-4×1×(a-2)=a^2-4a+8=(a-2)^2+4$，
$\because (a-2)^2≥0$，$\therefore \Delta≥4＞0$，即无论a取何值，函数与x轴总有两个交点。
由韦达定理可得：$x_1+x_2=-a$，$x_1· x_2=a-2$。
设两交点间距离为$d$，则$d=|x_1-x_2|$，
$\therefore d^2=(x_1-x_2)^2=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2$，
代入韦达定理的结果得：
$d^2=(-a)^2-4(a-2)=a^2-4a+8$，
配方得：$d^2=(a-2)^2+4$。
$\because (a-2)^2≥0$，$\therefore$当$a=2$时，$d^2$取得最小值4，
此时$d$的最小值为$\sqrt{4}=2$。
【答案】
2
【知识点】
二次函数与一元二次方程的关系，根与系数的关系（韦达定理），二次函数的最值
【点评】
本题是二次函数与一元二次方程的综合题，核心是运用转化思想，将交点距离问题转化为二次函数求最值问题，解题的关键是熟练掌握根与系数的关系，以及用配方法求二次函数最值的方法。
【难度系数】
0.7
要解决二次函数图像与x轴两交点间的最短距离问题，可按以下思路思考：首先，二次函数与x轴交点的横坐标就是对应一元二次方程的两个实根，两交点的距离就是两根差的绝对值；直接求绝对值的最小值不方便，可先求其平方的最小值，因为平方最小时，绝对值也最小；接着利用韦达定理（根与系数的关系），不需要解方程就能把两根和、两根积用含参数a的式子表示，代入恒等式$(x_1-x_2)^2=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2$，就能得到关于a的二次函数，最后配方求这个二次函数的最小值，再开方即可得到最短距离。
【解析】
设二次函数$y=x^2+ax+a-2$的图像与x轴两个交点的横坐标为$x_1$、$x_2$，则$x_1$、$x_2$是一元二次方程$x^2+ax+a-2=0$的两个实数根。
先验证判别式：$\Delta=a^2-4×1×(a-2)=a^2-4a+8=(a-2)^2+4$，
$\because (a-2)^2≥0$，$\therefore \Delta≥4＞0$，即无论a取何值，函数与x轴总有两个交点。
由韦达定理可得：$x_1+x_2=-a$，$x_1· x_2=a-2$。
设两交点间距离为$d$，则$d=|x_1-x_2|$，
$\therefore d^2=(x_1-x_2)^2=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2$，
代入韦达定理的结果得：
$d^2=(-a)^2-4(a-2)=a^2-4a+8$，
配方得：$d^2=(a-2)^2+4$。
$\because (a-2)^2≥0$，$\therefore$当$a=2$时，$d^2$取得最小值4，
此时$d$的最小值为$\sqrt{4}=2$。
【答案】
2
【知识点】
二次函数与一元二次方程的关系，根与系数的关系（韦达定理），二次函数的最值
【点评】
本题是二次函数与一元二次方程的综合题，核心是运用转化思想，将交点距离问题转化为二次函数求最值问题，解题的关键是熟练掌握根与系数的关系，以及用配方法求二次函数最值的方法。
【难度系数】
0.7
⑩ 二次函数 $ y = ax^2 + bx + c(a ≠ 0) $ 的图像如图所示，若 $ |ax^2 + bx + c| = k $ 有两个不相等的实数根，则 $ k $ 的取值范围是 ______。
答案
10.$k＞3$或$k=0$ [提示:方程$|ax^2+bx+c|=k$的实数根的个数可转化为函数$y=|ax^2+bx+c|$和函数$y=k$的交点的个数，由图
可知，当$k＞3$时，两函数有两个交点，所以方程有两个不相等的实数根。当$k=3$时，两函数有三个交点，所以方程有三个不相等的实数根;当$0＜k＜3$时，两函数有四个交点，所以方程有四个不相等的实数根;当$k＜0$时，两函数没有交点，所以方程无实数根;当$k=0$，两函数有2个交点，方程有两个不相等的实数根。]解析
【分析】
遇到含绝对值的二次方程根的个数问题，可采用数形结合的思路，将方程问题转化为两个函数图像的交点问题求解：第一步，明确$|ax^2+bx+c|=k$的实数根等价于函数$y=|ax^2+bx+c|$与直线$y=k$的交点横坐标；第二步，根据原二次函数的图像得到$y=|ax^2+bx+c|$的图像：原二次函数开口向上、最小值为-3，加绝对值后x轴下方的图像会沿x轴翻折到上方，翻折后图像的顶点纵坐标变为3，且原二次函数与x轴有2个交点，翻折后交点个数不变；第三步，分情况讨论不同$k$值下两个函数的交点个数，筛选出交点数为2时$k$的取值范围即可。
【解析】
方程$|ax^2+bx+c|=k$的实数根个数，等于函数$y=|ax^2+bx+c|$的图像与直线$y=k$的交点个数，结合原二次函数图像分析：
1. 原二次函数$y=ax^2+bx+c$开口向上，最小值为-3，与x轴有2个交点；将其x轴下方的图像沿x轴翻折，得到$y=|ax^2+bx+c|$的图像，翻折后图像的顶点纵坐标为3，与x轴仍有2个交点。
2. 分情况讨论交点个数：
当$k＜0$时，$y=k$在x轴下方，与图像全在x轴及上方的$y=|ax^2+bx+c|$无交点，方程无实根；
当$k=0$时，两图像有2个交点，对应方程有2个不相等的实数根；
当$0＜k＜3$时，两图像有4个交点，对应方程有4个不相等的实数根；
当$k=3$时，两图像有3个交点，对应方程有3个不相等的实数根；
当$k＞3$时，两图像有2个交点，对应方程有2个不相等的实数根。
综上，若$|ax^2+bx+c|=k$有两个不相等的实数根，$k$的取值范围是$k＞3$或$k=0$。
【答案】
$k＞3$或$k=0$
【知识点】
二次函数图像性质，绝对值函数图像变换，函数与方程的关系
【点评】
本题考查数形结合思想的应用，解题核心是将方程根的个数问题转化为函数图像的交点问题，需要学生掌握二次函数图像的翻折规律，易错点是容易遗漏$k=0$的情况。
【难度系数】
0.6
遇到含绝对值的二次方程根的个数问题，可采用数形结合的思路，将方程问题转化为两个函数图像的交点问题求解：第一步，明确$|ax^2+bx+c|=k$的实数根等价于函数$y=|ax^2+bx+c|$与直线$y=k$的交点横坐标；第二步，根据原二次函数的图像得到$y=|ax^2+bx+c|$的图像：原二次函数开口向上、最小值为-3，加绝对值后x轴下方的图像会沿x轴翻折到上方，翻折后图像的顶点纵坐标变为3，且原二次函数与x轴有2个交点，翻折后交点个数不变；第三步，分情况讨论不同$k$值下两个函数的交点个数，筛选出交点数为2时$k$的取值范围即可。
【解析】
方程$|ax^2+bx+c|=k$的实数根个数，等于函数$y=|ax^2+bx+c|$的图像与直线$y=k$的交点个数，结合原二次函数图像分析：
1. 原二次函数$y=ax^2+bx+c$开口向上，最小值为-3，与x轴有2个交点；将其x轴下方的图像沿x轴翻折，得到$y=|ax^2+bx+c|$的图像，翻折后图像的顶点纵坐标为3，与x轴仍有2个交点。
2. 分情况讨论交点个数：
当$k＜0$时，$y=k$在x轴下方，与图像全在x轴及上方的$y=|ax^2+bx+c|$无交点，方程无实根；
当$k=0$时，两图像有2个交点，对应方程有2个不相等的实数根；
当$0＜k＜3$时，两图像有4个交点，对应方程有4个不相等的实数根；
当$k=3$时，两图像有3个交点，对应方程有3个不相等的实数根；
当$k＞3$时，两图像有2个交点，对应方程有2个不相等的实数根。
综上，若$|ax^2+bx+c|=k$有两个不相等的实数根，$k$的取值范围是$k＞3$或$k=0$。
【答案】
$k＞3$或$k=0$
【知识点】
二次函数图像性质，绝对值函数图像变换，函数与方程的关系
【点评】
本题考查数形结合思想的应用，解题核心是将方程根的个数问题转化为函数图像的交点问题，需要学生掌握二次函数图像的翻折规律，易错点是容易遗漏$k=0$的情况。
【难度系数】
0.6
11 已知点$A(-3,6)$、$B(n,6)$是二次函数$y=ax^2+bx+c$的图像上两点，且它的对称轴是直线$x=2$，求$n$的值。
答案
11. 因为A、B两点的纵坐标相等，所以A、B两点关于对称轴直线$x=2$对称，所以$n-2=2-(-3)$，解得$n=7$。
解析
【分析】
解题时首先观察点A、B的坐标特征，发现两点纵坐标相等，根据二次函数的图像性质，抛物线上纵坐标相同的两点关于抛物线的对称轴对称。已知该二次函数的对称轴为直线x=2，因此两点到对称轴的水平距离相等，我们先计算点A到对称轴的距离，再根据距离相等列等式即可求出n的值。
【解析】
∵ 点$A(-3,6)$、$B(n,6)$的纵坐标相等，
∴ A、B两点是二次函数图像上关于对称轴对称的点，该二次函数对称轴为直线$x=2$。
∵ 对称点到对称轴的距离相等，
∴ 点B到对称轴的距离 = 点A到对称轴的距离，即$n - 2 = 2 - (-3)$，
解得：$n = 7$。
【答案】
$n=7$
【知识点】
1. 二次函数的对称性
2. 轴对称的坐标性质
【点评】
本题考查二次函数的对称性质应用，解题核心是抓住抛物线上纵坐标相同的点关于对称轴对称这一规律，结合对称轴坐标即可快速求解对应点的横坐标，是二次函数性质的基础应用题型。
【难度系数】
0.9
解题时首先观察点A、B的坐标特征，发现两点纵坐标相等，根据二次函数的图像性质，抛物线上纵坐标相同的两点关于抛物线的对称轴对称。已知该二次函数的对称轴为直线x=2，因此两点到对称轴的水平距离相等，我们先计算点A到对称轴的距离，再根据距离相等列等式即可求出n的值。
【解析】
∵ 点$A(-3,6)$、$B(n,6)$的纵坐标相等，
∴ A、B两点是二次函数图像上关于对称轴对称的点，该二次函数对称轴为直线$x=2$。
∵ 对称点到对称轴的距离相等，
∴ 点B到对称轴的距离 = 点A到对称轴的距离，即$n - 2 = 2 - (-3)$，
解得：$n = 7$。
【答案】
$n=7$
【知识点】
1. 二次函数的对称性
2. 轴对称的坐标性质
【点评】
本题考查二次函数的对称性质应用，解题核心是抓住抛物线上纵坐标相同的点关于对称轴对称这一规律，结合对称轴坐标即可快速求解对应点的横坐标，是二次函数性质的基础应用题型。
【难度系数】
0.9
