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1. 一元二次方程$x^2 -5x +2=0$根的判别式的值是 （
A.33
B.23
C.17
D.$\sqrt{17}$
C
）A.33
B.23
C.17
D.$\sqrt{17}$
答案
C
解析
【分析】
要解决本题，首先需要回忆一元二次方程根的判别式的相关知识：一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a\ne0$），其根的判别式公式为$\Delta = b^2-4ac$。解题时第一步先从给出的方程中准确对应找到$a$、$b$、$c$的取值，第二步将取值代入判别式公式计算即可得到结果，注意系数的符号不要弄错。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a\ne0$），根的判别式为$\Delta = b^2-4ac$。
在方程$x^2 -5x +2=0$中，$a=1$，$b=-5$，$c=2$，代入公式得：
$\Delta = (-5)^2 - 4×1×2 = 25 - 8 = 17$
因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 一元二次方程系数识别
【点评】
本题属于基础题型，核心考查根的判别式公式的应用，解题的关键是准确提取方程中对应系数的数值，计算时注意负数平方的运算规则即可避免错误。
【难度系数】
0.8
要解决本题，首先需要回忆一元二次方程根的判别式的相关知识：一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a\ne0$），其根的判别式公式为$\Delta = b^2-4ac$。解题时第一步先从给出的方程中准确对应找到$a$、$b$、$c$的取值，第二步将取值代入判别式公式计算即可得到结果，注意系数的符号不要弄错。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a\ne0$），根的判别式为$\Delta = b^2-4ac$。
在方程$x^2 -5x +2=0$中，$a=1$，$b=-5$，$c=2$，代入公式得：
$\Delta = (-5)^2 - 4×1×2 = 25 - 8 = 17$
因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 一元二次方程系数识别
【点评】
本题属于基础题型，核心考查根的判别式公式的应用，解题的关键是准确提取方程中对应系数的数值，计算时注意负数平方的运算规则即可避免错误。
【难度系数】
0.8
2. (2025·扬州)关于一元二次方程$x^2 -3x +1=0$的根的情况，下列结论正确的是（
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.没有实数根
D.无法判断根的情况
A
）A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.没有实数根
D.无法判断根的情况
答案
A
解析
【分析】
要判断一元二次方程根的情况，可使用根的判别式求解，解题思路如下：第一步，先明确一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，从题干方程中准确找出二次项系数a、一次项系数b、常数项c，注意系数的符号；第二步，将a、b、c代入判别式公式$\Delta=b^2-4ac$计算出Δ的值；第三步，根据Δ的取值对应判断根的情况：$\Delta＞0$对应两个不相等的实数根，$\Delta=0$对应两个相等的实数根，$\Delta＜0$对应没有实数根，最终匹配选项即可。
【解析】
解：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，根的判别式为$\Delta = b^2-4ac$。
在方程$x^2 -3x +1=0$中，$a=1$，$b=-3$，$c=1$，
代入判别式得：$\Delta = (-3)^2 - 4×1×1 = 9 - 4 = 5$，
∵$\Delta=5＞0$，
∴该方程有两个不相等的实数根，故选A。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程根的判别式
【点评】
本题是基础考查题，核心考点为利用判别式判断一元二次方程根的情况，解题时要注意一次项系数的符号，避免计算判别式时出错，属于必须掌握的常规题型。
【难度系数】
0.9
要判断一元二次方程根的情况，可使用根的判别式求解，解题思路如下：第一步，先明确一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，从题干方程中准确找出二次项系数a、一次项系数b、常数项c，注意系数的符号；第二步，将a、b、c代入判别式公式$\Delta=b^2-4ac$计算出Δ的值；第三步，根据Δ的取值对应判断根的情况：$\Delta＞0$对应两个不相等的实数根，$\Delta=0$对应两个相等的实数根，$\Delta＜0$对应没有实数根，最终匹配选项即可。
【解析】
解：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，根的判别式为$\Delta = b^2-4ac$。
在方程$x^2 -3x +1=0$中，$a=1$，$b=-3$，$c=1$，
代入判别式得：$\Delta = (-3)^2 - 4×1×1 = 9 - 4 = 5$，
∵$\Delta=5＞0$，
∴该方程有两个不相等的实数根，故选A。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程根的判别式
【点评】
本题是基础考查题，核心考点为利用判别式判断一元二次方程根的情况，解题时要注意一次项系数的符号，避免计算判别式时出错，属于必须掌握的常规题型。
【难度系数】
0.9
3. (2025·广州)关于$x$的方程$x^2 - x + k^2 + 2 = 0$根的情况为 （
A.有两个相等的实数根
B.有两个不相等的实数根
C.无实数根
D.只有一个实数根
C
）A.有两个相等的实数根
B.有两个不相等的实数根
C.无实数根
D.只有一个实数根
答案
C
解析
【分析】
要判断一元二次方程的根的情况，需使用根的判别式$\Delta = b^2-4ac$分析，解题思路如下：第一步先确定方程中二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$的取值；第二步代入判别式公式计算$\Delta$的表达式；第三步结合平方的非负性判断$\Delta$的正负性；第四步根据$\Delta$的符号对应根的情况得出结论：$\Delta＞0$时有两个不相等的实数根，$\Delta=0$时有两个相等的实数根，$\Delta＜0$时无实数根。
【解析】
解：对于一元二次方程$x^2 - x + k^2 + 2 = 0$，其中二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-1$，常数项$c=k^2+2$。
根据根的判别式公式$\Delta = b^2 - 4ac$，代入得：
$\Delta = (-1)^2 - 4×1×(k^2+2)$
$=1 - 4k^2 - 8$
$=-4k^2 -7$
∵ 任意实数的平方都是非负数，即$k^2≥0$
∴ $-4k^2≤0$，则$\Delta = -4k^2 -7 ≤ -7 ＜ 0$
当$\Delta＜0$时，一元二次方程无实数根，因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 平方的非负性
【点评】
本题是一元二次方程根的判别式的常规应用题型，解题核心是准确计算判别式，结合平方的非负性判断判别式的符号即可得出结论。
【难度系数】
0.8
要判断一元二次方程的根的情况，需使用根的判别式$\Delta = b^2-4ac$分析，解题思路如下：第一步先确定方程中二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$的取值；第二步代入判别式公式计算$\Delta$的表达式；第三步结合平方的非负性判断$\Delta$的正负性；第四步根据$\Delta$的符号对应根的情况得出结论：$\Delta＞0$时有两个不相等的实数根，$\Delta=0$时有两个相等的实数根，$\Delta＜0$时无实数根。
【解析】
解：对于一元二次方程$x^2 - x + k^2 + 2 = 0$，其中二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-1$，常数项$c=k^2+2$。
根据根的判别式公式$\Delta = b^2 - 4ac$，代入得：
$\Delta = (-1)^2 - 4×1×(k^2+2)$
$=1 - 4k^2 - 8$
$=-4k^2 -7$
∵ 任意实数的平方都是非负数，即$k^2≥0$
∴ $-4k^2≤0$，则$\Delta = -4k^2 -7 ≤ -7 ＜ 0$
当$\Delta＜0$时，一元二次方程无实数根，因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 平方的非负性
【点评】
本题是一元二次方程根的判别式的常规应用题型，解题核心是准确计算判别式，结合平方的非负性判断判别式的符号即可得出结论。
【难度系数】
0.8
4. (2024·黑龙江)关于x的一元二次方程$(m-2)x^2 +4x +2=0$有两个实数根，则m的取值范围是（
A.$m≤4$
B.$m≥4$
C.$m≥-4$且$m≠2$
D.$m≤4$且$m≠2$
D
）A.$m≤4$
B.$m≥4$
C.$m≥-4$且$m≠2$
D.$m≤4$且$m≠2$
答案
D
解析
【分析】
要确定一元二次方程有两个实数根时m的取值范围，需同时满足两个条件：① 方程为一元二次方程，因此二次项系数不能为0；② 有两个实数根，说明根的判别式Δ≥0。先分别求解两个条件对应的m的范围，再取公共部分即可得到最终结果。
【解析】
解：
∵ 方程$(m-2)x^2 +4x +2=0$是一元二次方程
∴ 二次项系数$m-2 ≠ 0$，解得$m ≠ 2$
又
∵ 方程有两个实数根
∴ 根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac ≥ 0$，其中$a=m-2$，$b=4$，$c=2$
代入得：$\Delta = 4^2 - 4 × (m-2) × 2 ≥ 0$
计算得：$16 - 8(m-2) ≥ 0$
展开：$16 - 8m + 16 ≥ 0$
整理得：$32 - 8m ≥ 0$
解得：$m ≤ 4$
综上，m的取值范围是$m ≤ 4$且$m ≠ 2$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程的定义，根的判别式，解一元一次不等式
【点评】
本题属于一元二次方程根的判别式的常规考题，易错点是容易遗漏二次项系数不为0的限制条件，解题时需注意多个约束条件要同时满足，最后取取值范围的公共部分。
【难度系数】
0.7
要确定一元二次方程有两个实数根时m的取值范围，需同时满足两个条件：① 方程为一元二次方程，因此二次项系数不能为0；② 有两个实数根，说明根的判别式Δ≥0。先分别求解两个条件对应的m的范围，再取公共部分即可得到最终结果。
【解析】
解：
∵ 方程$(m-2)x^2 +4x +2=0$是一元二次方程
∴ 二次项系数$m-2 ≠ 0$，解得$m ≠ 2$
又
∵ 方程有两个实数根
∴ 根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac ≥ 0$，其中$a=m-2$，$b=4$，$c=2$
代入得：$\Delta = 4^2 - 4 × (m-2) × 2 ≥ 0$
计算得：$16 - 8(m-2) ≥ 0$
展开：$16 - 8m + 16 ≥ 0$
整理得：$32 - 8m ≥ 0$
解得：$m ≤ 4$
综上，m的取值范围是$m ≤ 4$且$m ≠ 2$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程的定义，根的判别式，解一元一次不等式
【点评】
本题属于一元二次方程根的判别式的常规考题，易错点是容易遗漏二次项系数不为0的限制条件，解题时需注意多个约束条件要同时满足，最后取取值范围的公共部分。
【难度系数】
0.7
5. (2024·潍坊)已知关于$x$的一元二次方程$x^2 - mx - n^2 + mn + 1 = 0$，其中$m,n$满足$m - 2n = 3$，关于该方程根的情况，下列判断正确的是 （
A.无实数根
B.有两个相等的实数根
C.有两个不相等的实数根
D.无法确定
C
）A.无实数根
B.有两个相等的实数根
C.有两个不相等的实数根
D.无法确定
答案
C
解析
【分析】
要判断一元二次方程的根的情况，核心是计算根的判别式$\Delta=b^2-4ac$的符号。首先先写出该方程对应的$a、b、c$，代入判别式公式化简，再结合已知条件$m-2n=3$，将化简后的判别式整体代入求值，根据$\Delta$的正负即可判断根的情况。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，根的判别式为$\Delta = b^2-4ac$：
1. 确定方程$x^2 - mx - n^2 + mn + 1 = 0$的系数：$a=1$，$b=-m$，$c=-n^2+mn+1$；
2. 代入判别式计算：
$\Delta = (-m)^2 - 4×1×(-n^2 + mn + 1)$
$= m^2 +4n^2 -4mn -4$
3. 利用完全平方公式变形：$m^2-4mn+4n^2=(m-2n)^2$，因此$\Delta=(m-2n)^2 -4$；
4. 结合已知$m-2n=3$，代入得：$\Delta=3^2 -4=9-4=5＞0$。
当$\Delta＞0$时，一元二次方程有两个不相等的实数根。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程根的判别式，完全平方公式
【点评】
本题是根的判别式的常规应用题型，解题关键是将判别式化简为与已知条件相关的完全平方形式，通过整体代入即可快速判断$\Delta$的符号，不需要分别求解$m、n$的值，简化了计算过程。
【难度系数】
0.7
要判断一元二次方程的根的情况，核心是计算根的判别式$\Delta=b^2-4ac$的符号。首先先写出该方程对应的$a、b、c$，代入判别式公式化简，再结合已知条件$m-2n=3$，将化简后的判别式整体代入求值，根据$\Delta$的正负即可判断根的情况。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，根的判别式为$\Delta = b^2-4ac$：
1. 确定方程$x^2 - mx - n^2 + mn + 1 = 0$的系数：$a=1$，$b=-m$，$c=-n^2+mn+1$；
2. 代入判别式计算：
$\Delta = (-m)^2 - 4×1×(-n^2 + mn + 1)$
$= m^2 +4n^2 -4mn -4$
3. 利用完全平方公式变形：$m^2-4mn+4n^2=(m-2n)^2$，因此$\Delta=(m-2n)^2 -4$；
4. 结合已知$m-2n=3$，代入得：$\Delta=3^2 -4=9-4=5＞0$。
当$\Delta＞0$时，一元二次方程有两个不相等的实数根。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程根的判别式，完全平方公式
【点评】
本题是根的判别式的常规应用题型，解题关键是将判别式化简为与已知条件相关的完全平方形式，通过整体代入即可快速判断$\Delta$的符号，不需要分别求解$m、n$的值，简化了计算过程。
【难度系数】
0.7
6. 对于实数$a,b$定义运算“$\otimes$”为$a\otimes b = b^2 - ab$，例如：$3\otimes 2 = 2^2 - 3×2 = -2$，则关于$x$的方程$(k-3)\otimes x = k - 1$的根的情况，下列说法正确的是（
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.没有实数根
D.无法确定
A
）A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.没有实数根
D.无法确定
答案
A
解析
【分析】
解题时首先要准确理解题目给出的新运算“⊗”的规则，把包含新运算的方程转化为常规的代数方程；再将方程整理为一元二次方程的一般形式，最后通过计算根的判别式Δ的取值范围，即可判断方程根的情况：Δ＞0时有两个不相等的实数根，Δ=0时有两个相等的实数根，Δ＜0时没有实数根。
【解析】
解：根据新运算规则$a\otimes b = b^2 - ab$，可得：
$(k-3)\otimes x = x^2 - (k-3)x$
代入原方程得：
$x^2 - (k-3)x = k - 1$
移项整理为一元二次方程的一般形式：
$x^2 - (k-3)x - (k - 1) = 0$
计算根的判别式：
$\begin{aligned}\Delta &= [-(k-3)]^2 - 4×1×[-(k-1)]\\&=(k-3)^2 + 4(k-1)\\&=k^2 - 6k + 9 + 4k - 4\\&=k^2 - 2k + 5\\&=(k-1)^2 + 4\end{aligned}$
$\because (k-1)^2≥0$，$\therefore (k-1)^2 + 4≥4＞0$，即$\Delta＞0$
$\therefore$ 该方程有两个不相等的实数根。
【答案】
A
【知识点】
新定义运算，一元二次方程根的判别式，配方法
【点评】
本题结合新定义运算考查一元二次方程根的判定，解题核心是正确转化新运算得到标准一元二次方程，再通过配方判断判别式的正负，属于常考的基础综合题。
【难度系数】
0.7
解题时首先要准确理解题目给出的新运算“⊗”的规则，把包含新运算的方程转化为常规的代数方程；再将方程整理为一元二次方程的一般形式，最后通过计算根的判别式Δ的取值范围，即可判断方程根的情况：Δ＞0时有两个不相等的实数根，Δ=0时有两个相等的实数根，Δ＜0时没有实数根。
【解析】
解：根据新运算规则$a\otimes b = b^2 - ab$，可得：
$(k-3)\otimes x = x^2 - (k-3)x$
代入原方程得：
$x^2 - (k-3)x = k - 1$
移项整理为一元二次方程的一般形式：
$x^2 - (k-3)x - (k - 1) = 0$
计算根的判别式：
$\begin{aligned}\Delta &= [-(k-3)]^2 - 4×1×[-(k-1)]\\&=(k-3)^2 + 4(k-1)\\&=k^2 - 6k + 9 + 4k - 4\\&=k^2 - 2k + 5\\&=(k-1)^2 + 4\end{aligned}$
$\because (k-1)^2≥0$，$\therefore (k-1)^2 + 4≥4＞0$，即$\Delta＞0$
$\therefore$ 该方程有两个不相等的实数根。
【答案】
A
【知识点】
新定义运算，一元二次方程根的判别式，配方法
【点评】
本题结合新定义运算考查一元二次方程根的判定，解题核心是正确转化新运算得到标准一元二次方程，再通过配方判断判别式的正负，属于常考的基础综合题。
【难度系数】
0.7
7. 关于$x$的一元二次方程$x^2-(k-3)x -k +1=0$的根的情况，下列说法正确的是 （
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.无实数根
D.无法确定
A
）A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.无实数根
D.无法确定
答案
A
解析
【分析】
要判断一元二次方程根的情况，需依据根的判别式$\Delta=b^2-4ac$的符号判断：$\Delta＞0$时方程有两个不相等的实数根，$\Delta=0$时有两个相等的实数根，$\Delta＜0$时无实数根。解题时先确定方程中二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$的取值，代入判别式公式计算，再通过配方结合偶次方的非负性判断$\Delta$的符号，即可得出结论。
【解析】
解：对于一元二次方程$x^2-(k-3)x -k +1=0$，
其中二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-(k-3)$，常数项$c=-k+1$，
则根的判别式：
$\begin{aligned}\Delta &=b^2-4ac \\&=[-(k-3)]^2 - 4×1×(-k+1) \\&=k^2-6k+9 +4k -4 \\&=k^2-2k+5 \\&=(k-1)^2 +4\end{aligned}$
∵ 无论$k$取何值，$(k-1)^2≥0$，
∴ $\Delta=(k-1)^2 +4≥4＞0$，
∴ 该方程有两个不相等的实数根。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程根的判别式；配方法；偶次方的非负性
【点评】
本题是判断一元二次方程根的情况的基础题型，解题核心是正确计算判别式，通过配方将判别式转化为“平方+正数”的形式即可快速判断符号，解题时需注意一次项、常数项的符号，避免计算出错。
【难度系数】
0.8
要判断一元二次方程根的情况，需依据根的判别式$\Delta=b^2-4ac$的符号判断：$\Delta＞0$时方程有两个不相等的实数根，$\Delta=0$时有两个相等的实数根，$\Delta＜0$时无实数根。解题时先确定方程中二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$的取值，代入判别式公式计算，再通过配方结合偶次方的非负性判断$\Delta$的符号，即可得出结论。
【解析】
解：对于一元二次方程$x^2-(k-3)x -k +1=0$，
其中二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-(k-3)$，常数项$c=-k+1$，
则根的判别式：
$\begin{aligned}\Delta &=b^2-4ac \\&=[-(k-3)]^2 - 4×1×(-k+1) \\&=k^2-6k+9 +4k -4 \\&=k^2-2k+5 \\&=(k-1)^2 +4\end{aligned}$
∵ 无论$k$取何值，$(k-1)^2≥0$，
∴ $\Delta=(k-1)^2 +4≥4＞0$，
∴ 该方程有两个不相等的实数根。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程根的判别式；配方法；偶次方的非负性
【点评】
本题是判断一元二次方程根的情况的基础题型，解题核心是正确计算判别式，通过配方将判别式转化为“平方+正数”的形式即可快速判断符号，解题时需注意一次项、常数项的符号，避免计算出错。
【难度系数】
0.8
8. (2025·广元)若关于$x$的一元二次方程$(a-1)x^2+(a-1)x-\dfrac{1}{2}=0$有两个相等的实数根，则$a=$
-1
.答案
-1
解析
【分析】
解题需明确两个核心条件：一是题目指明是一元二次方程，因此二次项系数不能为0，这是前提限制；二是方程有两个相等的实数根，说明根的判别式Δ=0。解题时先根据一元二次方程的定义得到a的取值限制，再代入判别式列方程求解，最后结合限制条件筛选出正确的a值即可。
【解析】
解：
∵ 方程$(a-1)x^2+(a-1)x-\dfrac{1}{2}=0$是一元二次方程
∴ 二次项系数$a-1≠ 0$，即$a≠ 1$
∵ 方程有两个相等的实数根
∴ 判别式$\Delta = b^2-4ac=0$，其中二次项系数为$a-1$，一次项系数为$a-1$，常数项为$-\dfrac{1}{2}$
代入得：$(a-1)^2 - 4×(a-1)×(-\dfrac{1}{2})=0$
化简得：$(a-1)^2 + 2(a-1)=0$
提取公因式得：$(a-1)(a-1+2)=0$
即$(a-1)(a+1)=0$
解得$a=1$或$a=-1$
结合$a≠1$的限制，最终得$a=-1$
【答案】
$-1$
【知识点】
1. 一元二次方程的定义 2. 根的判别式的应用
【点评】
本题是一元二次方程根的判别式的常规应用题型，易错点是容易忽略二次项系数不为0的隐含条件，出现多解错误，解题时要注意先确定方程类型对应的参数限制，再计算求解。
【难度系数】
0.6
解题需明确两个核心条件：一是题目指明是一元二次方程，因此二次项系数不能为0，这是前提限制；二是方程有两个相等的实数根，说明根的判别式Δ=0。解题时先根据一元二次方程的定义得到a的取值限制，再代入判别式列方程求解，最后结合限制条件筛选出正确的a值即可。
【解析】
解：
∵ 方程$(a-1)x^2+(a-1)x-\dfrac{1}{2}=0$是一元二次方程
∴ 二次项系数$a-1≠ 0$，即$a≠ 1$
∵ 方程有两个相等的实数根
∴ 判别式$\Delta = b^2-4ac=0$，其中二次项系数为$a-1$，一次项系数为$a-1$，常数项为$-\dfrac{1}{2}$
代入得：$(a-1)^2 - 4×(a-1)×(-\dfrac{1}{2})=0$
化简得：$(a-1)^2 + 2(a-1)=0$
提取公因式得：$(a-1)(a-1+2)=0$
即$(a-1)(a+1)=0$
解得$a=1$或$a=-1$
结合$a≠1$的限制，最终得$a=-1$
【答案】
$-1$
【知识点】
1. 一元二次方程的定义 2. 根的判别式的应用
【点评】
本题是一元二次方程根的判别式的常规应用题型，易错点是容易忽略二次项系数不为0的隐含条件，出现多解错误，解题时要注意先确定方程类型对应的参数限制，再计算求解。
【难度系数】
0.6
9. 不解方程，判别下列方程的根的情况：
(1) $2x^2 - 3x + 1 = 0$；
(2) $x^2 + 8 = -4\sqrt{2}x$；
(3) $4y(y - 3) + 5 = 0$；
(4) $(x - 4)(x + 3) + 14 = 0$。
(1) $2x^2 - 3x + 1 = 0$；
(2) $x^2 + 8 = -4\sqrt{2}x$；
(3) $4y(y - 3) + 5 = 0$；
(4) $(x - 4)(x + 3) + 14 = 0$。
答案
(1) 有两个不相等的实数根 (2) 有两个相等的实数根 (3) 有两个不相等的实数根 (4) 没有实数根
解析
【分析】
要判别一元二次方程根的情况，核心是利用根的判别式$\Delta = b^2-4ac$判断，解题思路如下：①先将每个方程整理为$ax^2+bx+c=0$（$a\ne0$）的一般形式；②分别确定二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$的值，注意要带上系数本身的符号；③代入判别式公式计算$\Delta$的数值；④根据$\Delta$的符号判断根的情况：$\Delta＞0$时方程有两个不相等的实数根，$\Delta=0$时方程有两个相等的实数根，$\Delta＜0$时方程没有实数根。
【解析】
(1) 方程$2x^2 - 3x + 1 = 0$为一般形式，其中$a=2$，$b=-3$，$c=1$，
计算判别式：$\Delta = (-3)^2 - 4×2×1 = 9-8=1＞0$，
因此方程有两个不相等的实数根。
(2) 移项整理为一般形式：$x^2 + 4\sqrt{2}x + 8 = 0$，
其中$a=1$，$b=4\sqrt{2}$，$c=8$，
计算判别式：$\Delta = (4\sqrt{2})^2 - 4×1×8 = 32-32=0$，
因此方程有两个相等的实数根。
(3) 展开整理为一般形式：$4y^2 -12y +5 = 0$，
其中$a=4$，$b=-12$，$c=5$，
计算判别式：$\Delta = (-12)^2 - 4×4×5 = 144-80=64＞0$，
因此方程有两个不相等的实数根。
(4) 展开、合并同类项整理为一般形式：$x^2 -x +2 = 0$，
其中$a=1$，$b=-1$，$c=2$，
计算判别式：$\Delta = (-1)^2 - 4×1×2 = 1-8=-7＜0$，
因此方程没有实数根。
【答案】
(1) 有两个不相等的实数根 (2) 有两个相等的实数根 (3) 有两个不相等的实数根 (4) 没有实数根
【知识点】
一元二次方程根的判别式；一元二次方程的一般形式
【点评】
本题属于基础题型，重点考查根的判别式的应用，解题时要注意先将方程化为标准的一般形式，确定$a、b、c$时不要漏掉系数的符号，计算判别式时要保证运算准确。
【难度系数】
0.8
要判别一元二次方程根的情况，核心是利用根的判别式$\Delta = b^2-4ac$判断，解题思路如下：①先将每个方程整理为$ax^2+bx+c=0$（$a\ne0$）的一般形式；②分别确定二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$的值，注意要带上系数本身的符号；③代入判别式公式计算$\Delta$的数值；④根据$\Delta$的符号判断根的情况：$\Delta＞0$时方程有两个不相等的实数根，$\Delta=0$时方程有两个相等的实数根，$\Delta＜0$时方程没有实数根。
【解析】
(1) 方程$2x^2 - 3x + 1 = 0$为一般形式，其中$a=2$，$b=-3$，$c=1$，
计算判别式：$\Delta = (-3)^2 - 4×2×1 = 9-8=1＞0$，
因此方程有两个不相等的实数根。
(2) 移项整理为一般形式：$x^2 + 4\sqrt{2}x + 8 = 0$，
其中$a=1$，$b=4\sqrt{2}$，$c=8$，
计算判别式：$\Delta = (4\sqrt{2})^2 - 4×1×8 = 32-32=0$，
因此方程有两个相等的实数根。
(3) 展开整理为一般形式：$4y^2 -12y +5 = 0$，
其中$a=4$，$b=-12$，$c=5$，
计算判别式：$\Delta = (-12)^2 - 4×4×5 = 144-80=64＞0$，
因此方程有两个不相等的实数根。
(4) 展开、合并同类项整理为一般形式：$x^2 -x +2 = 0$，
其中$a=1$，$b=-1$，$c=2$，
计算判别式：$\Delta = (-1)^2 - 4×1×2 = 1-8=-7＜0$，
因此方程没有实数根。
【答案】
(1) 有两个不相等的实数根 (2) 有两个相等的实数根 (3) 有两个不相等的实数根 (4) 没有实数根
【知识点】
一元二次方程根的判别式；一元二次方程的一般形式
【点评】
本题属于基础题型，重点考查根的判别式的应用，解题时要注意先将方程化为标准的一般形式，确定$a、b、c$时不要漏掉系数的符号，计算判别式时要保证运算准确。
【难度系数】
0.8
