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8. 如图，若将左图正方形剪成四块，恰能拼成右图的矩形，设$ a=1 $，则这个正方形的面积为（
A.$ \frac{7+3\sqrt{5}}{2} $
B.$ \frac{3+\sqrt{5}}{2} $
C.$ \frac{\sqrt{5}+1}{2} $
D.$ 3+2\sqrt{2} $
A
）A.$ \frac{7+3\sqrt{5}}{2} $
B.$ \frac{3+\sqrt{5}}{2} $
C.$ \frac{\sqrt{5}+1}{2} $
D.$ 3+2\sqrt{2} $
答案
A
解析
【分析】
剪切前后图形总面积相等，即正方形面积等于拼接后矩形的面积。首先观察可得正方形边长为$a+b$，已知$a=1$，我们可以先设$b$为未知数，根据拼接后斜线斜率一致，对应边成比例的关系列一元二次方程，求解$b$的正数根，再计算正方形边长，最终求出正方形面积即可。
【解析】
解：已知$a=1$，设$b=x(x＞0)$。
观察图形可得正方形边长为$a+b=1+x$，拼接后对应边成比例关系：$\frac{a}{b}=\frac{b}{a+b}$。
将$a=1$代入比例式得：$\frac{1}{x}=\frac{x}{1+x}$，
交叉相乘整理得一元二次方程：$x^2-x-1=0$，
由求根公式得$x=\frac{1\pm\sqrt{1+4}}{2}=\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}$，
因为边长为正，所以取正根$x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，即$b=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$。
则正方形边长为$a+b=1+\frac{1+\sqrt{5}}{2}=\frac{3+\sqrt{5}}{2}$，
正方形面积为：$(\frac{3+\sqrt{5}}{2})^2=\frac{9+6\sqrt{5}+5}{4}=\frac{14+6\sqrt{5}}{4}=\frac{7+3\sqrt{5}}{2}$。
【答案】A
【知识点】
一元二次方程的应用，图形的剪拼，相似三角形的性质
【点评】
本题结合图形剪拼考查一元二次方程的实际应用，解题核心是找到拼接前后图形的边长比例关系，列方程求解，注意计算时边长需取正数根，展开完全平方公式时不要出错。
【难度系数】
0.6
剪切前后图形总面积相等，即正方形面积等于拼接后矩形的面积。首先观察可得正方形边长为$a+b$，已知$a=1$，我们可以先设$b$为未知数，根据拼接后斜线斜率一致，对应边成比例的关系列一元二次方程，求解$b$的正数根，再计算正方形边长，最终求出正方形面积即可。
【解析】
解：已知$a=1$，设$b=x(x＞0)$。
观察图形可得正方形边长为$a+b=1+x$，拼接后对应边成比例关系：$\frac{a}{b}=\frac{b}{a+b}$。
将$a=1$代入比例式得：$\frac{1}{x}=\frac{x}{1+x}$，
交叉相乘整理得一元二次方程：$x^2-x-1=0$，
由求根公式得$x=\frac{1\pm\sqrt{1+4}}{2}=\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}$，
因为边长为正，所以取正根$x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，即$b=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$。
则正方形边长为$a+b=1+\frac{1+\sqrt{5}}{2}=\frac{3+\sqrt{5}}{2}$，
正方形面积为：$(\frac{3+\sqrt{5}}{2})^2=\frac{9+6\sqrt{5}+5}{4}=\frac{14+6\sqrt{5}}{4}=\frac{7+3\sqrt{5}}{2}$。
【答案】A
【知识点】
一元二次方程的应用，图形的剪拼，相似三角形的性质
【点评】
本题结合图形剪拼考查一元二次方程的实际应用，解题核心是找到拼接前后图形的边长比例关系，列方程求解，注意计算时边长需取正数根，展开完全平方公式时不要出错。
【难度系数】
0.6
9. 已知三角形的两边长分别是1和2，第三边长是方程$2x^2 -5x +3=0$的根，求这个三角形的周长。
答案
4.5
解析
【分析】
解题思路分为三步：第一步先求解给定的一元二次方程，得到第三边的所有可能取值；第二步结合三角形三边关系（两边之和大于第三边，两边之差小于第三边），对求出的根进行验证，舍去不符合条件的根；第三步用符合要求的第三边长度，加上已知的两条边长，即可算出三角形的周长。
【解析】
1. 解方程$2x^2 -5x +3=0$：
对左边因式分解，十字相乘可得$(2x-3)(x-1)=0$，
则$2x-3=0$或$x-1=0$，
解得$x_1=\frac{3}{2}$，$x_2=1$。
2. 根据三角形三边关系验证根的合理性：
① 若第三边长为1，此时三角形三边长为1、1、2，
$\because 1+1=2$，不满足“两边之和大于第三边”，故舍去该值；
② 若第三边长为$\frac{3}{2}$（即1.5），此时三角形三边长为1、2、1.5，
验证得$1+1.5＞2$，$1+2＞1.5$，$2+1.5＞1$，均满足三边关系。
3. 计算周长：$1+2+1.5=4.5$。
【答案】
4.5
【知识点】
一元二次方程的解法，三角形三边关系
【点评】
本题是方程与几何性质结合的基础综合题，易错点是解出方程的根后，忽略三角形三边关系的隐含约束，直接代入所有根计算周长导致多解错误，解题时要注意对结果的合理性验证。
【难度系数】
0.7
解题思路分为三步：第一步先求解给定的一元二次方程，得到第三边的所有可能取值；第二步结合三角形三边关系（两边之和大于第三边，两边之差小于第三边），对求出的根进行验证，舍去不符合条件的根；第三步用符合要求的第三边长度，加上已知的两条边长，即可算出三角形的周长。
【解析】
1. 解方程$2x^2 -5x +3=0$：
对左边因式分解，十字相乘可得$(2x-3)(x-1)=0$，
则$2x-3=0$或$x-1=0$，
解得$x_1=\frac{3}{2}$，$x_2=1$。
2. 根据三角形三边关系验证根的合理性：
① 若第三边长为1，此时三角形三边长为1、1、2，
$\because 1+1=2$，不满足“两边之和大于第三边”，故舍去该值；
② 若第三边长为$\frac{3}{2}$（即1.5），此时三角形三边长为1、2、1.5，
验证得$1+1.5＞2$，$1+2＞1.5$，$2+1.5＞1$，均满足三边关系。
3. 计算周长：$1+2+1.5=4.5$。
【答案】
4.5
【知识点】
一元二次方程的解法，三角形三边关系
【点评】
本题是方程与几何性质结合的基础综合题，易错点是解出方程的根后，忽略三角形三边关系的隐含约束，直接代入所有根计算周长导致多解错误，解题时要注意对结果的合理性验证。
【难度系数】
0.7
10. 阅读下面一元二次方程求根公式的两种推导方法：
方法一:教材中的方法.
将$ax^2+bx+c=0$配方,可得$a(x+\frac{b}{2a})^2=\frac{b^2-4ac}{4a}$.
$\therefore (x+\frac{b}{2a})^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}$.
当$b^2-4ac≥0$时,$x+\frac{b}{2a}=\pm\sqrt{\frac{b^2-4ac}{4a^2}}$.
$\therefore x=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$.
方法二:$\because ax^2+bx+c=0$,
$\therefore 4a^2x^2+4abx+4ac=0$,
$\therefore (2ax+b)^2=b^2-4ac$,
当$b^2-4ac≥0$时,$2ax+b=\pm\sqrt{b^2-4ac}$,
$\therefore x=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$.
请回答下列问题:
(1) 这两种方法有什么异同?你认为哪个方法好?
(2) 选用上述方法解方程:$(x-1)(2-3x)=x-8$.
方法一:教材中的方法.
将$ax^2+bx+c=0$配方,可得$a(x+\frac{b}{2a})^2=\frac{b^2-4ac}{4a}$.
$\therefore (x+\frac{b}{2a})^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}$.
当$b^2-4ac≥0$时,$x+\frac{b}{2a}=\pm\sqrt{\frac{b^2-4ac}{4a^2}}$.
$\therefore x=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$.
方法二:$\because ax^2+bx+c=0$,
$\therefore 4a^2x^2+4abx+4ac=0$,
$\therefore (2ax+b)^2=b^2-4ac$,
当$b^2-4ac≥0$时,$2ax+b=\pm\sqrt{b^2-4ac}$,
$\therefore x=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$.
请回答下列问题:
(1) 这两种方法有什么异同?你认为哪个方法好?
(2) 选用上述方法解方程:$(x-1)(2-3x)=x-8$.
答案
(1) 两种方法的本质是相同的,都运用了配方法,不同的是:第一种方法配方出现分式比较繁,两边开平方时分子、分母都出现“±”,相除后为何只有分子上有“±”,不好理解;更重要的是易误认为$\sqrt{4a^2}=2a$. 第二种方法运用等式性质后,配方无上述问题,是对教材方法的再创新! 所以第二种方法好. (2) 方程整理,得$3x^2-4x-6=0$,$9x^2-12x-18=0$,$(3x-2)^2=22$,$x_1=\frac{2}{3}+\frac{\sqrt{22}}{3}$,$x_2=\frac{2}{3}-\frac{\sqrt{22}}{3}$.
解析
【分析】
(1) 分析两种推导方法时，先抓核心逻辑：求根公式推导的核心是配方法，首先判断二者本质是否一致，再对比操作步骤的差异：方法一先将二次项系数化为1，配方时会出现分式，开平方时需处理$\sqrt{4a^2}$的符号问题，容易产生误解；方法二利用等式性质给方程两边同乘$4a^2$，直接构造整系数完全平方式，避免了分式运算和根号下含分母的问题，更易理解，据此即可判断方法优劣。
(2) 解方程时，先将给定的乘积形式方程整理为一元二次方程的一般形式，再选用更简便的方法二的配方法思路：给方程两边乘二次项系数，将二次项转化为完全平方的形式，再配方求解即可。
【解析】
(1) 相同点：两种方法本质一致，均采用配方法推导一元二次方程求根公式。
不同点：方法一先将方程两边除以$a$，把二次项系数化为1，配方过程中会出现分式，运算较繁琐；开平方时分母出现$\sqrt{4a^2}$，易误认为$\sqrt{4a^2}=2a$，且分子分母同时带$\pm$，不易理解最终仅分子保留$\pm$的原因。方法二则利用等式性质给方程两边同乘$4a^2$，直接构造整系数完全平方式，无上述问题，推导过程更直观，因此第二种方法更好。
(2) 第一步：整理方程为一般形式
展开左边：$(x-1)(2-3x)=2x-3x^2-2+3x=5x-3x^2-2$
移项合并同类项：$5x-3x^2-2=x-8$，化简得$3x^2-4x-6=0$
第二步：用方法二的配方法求解
给方程两边同乘3得：$9x^2-12x-18=0$
配方：$(3x-2)^2-4-18=0$，整理得$(3x-2)^2=22$
开平方得：$3x-2=\pm\sqrt{22}$
解得：$x=\frac{2\pm\sqrt{22}}{3}$
【答案】
(1) 两种方法的本质是相同的,都运用了配方法,不同的是:第一种方法配方出现分式比较繁,两边开平方时分子、分母都出现“±”,相除后为何只有分子上有“±”,不好理解;更重要的是易误认为$\sqrt{4a^2}=2a$. 第二种方法运用等式性质后,配方无上述问题,是对教材方法的再创新! 所以第二种方法好.
(2) $x_1=\frac{2}{3}+\frac{\sqrt{22}}{3}$,$x_2=\frac{2}{3}-\frac{\sqrt{22}}{3}$
【知识点】
配方法、一元二次方程解法、完全平方公式
【点评】
本题通过对比求根公式的两种推导方法，帮助学生深入理解配方法的核心逻辑，同时考查灵活运用配方法解方程的能力，引导学生主动优化解题思路，降低运算出错概率。
【难度系数】
0.6
(1) 分析两种推导方法时，先抓核心逻辑：求根公式推导的核心是配方法，首先判断二者本质是否一致，再对比操作步骤的差异：方法一先将二次项系数化为1，配方时会出现分式，开平方时需处理$\sqrt{4a^2}$的符号问题，容易产生误解；方法二利用等式性质给方程两边同乘$4a^2$，直接构造整系数完全平方式，避免了分式运算和根号下含分母的问题，更易理解，据此即可判断方法优劣。
(2) 解方程时，先将给定的乘积形式方程整理为一元二次方程的一般形式，再选用更简便的方法二的配方法思路：给方程两边乘二次项系数，将二次项转化为完全平方的形式，再配方求解即可。
【解析】
(1) 相同点：两种方法本质一致，均采用配方法推导一元二次方程求根公式。
不同点：方法一先将方程两边除以$a$，把二次项系数化为1，配方过程中会出现分式，运算较繁琐；开平方时分母出现$\sqrt{4a^2}$，易误认为$\sqrt{4a^2}=2a$，且分子分母同时带$\pm$，不易理解最终仅分子保留$\pm$的原因。方法二则利用等式性质给方程两边同乘$4a^2$，直接构造整系数完全平方式，无上述问题，推导过程更直观，因此第二种方法更好。
(2) 第一步：整理方程为一般形式
展开左边：$(x-1)(2-3x)=2x-3x^2-2+3x=5x-3x^2-2$
移项合并同类项：$5x-3x^2-2=x-8$，化简得$3x^2-4x-6=0$
第二步：用方法二的配方法求解
给方程两边同乘3得：$9x^2-12x-18=0$
配方：$(3x-2)^2-4-18=0$，整理得$(3x-2)^2=22$
开平方得：$3x-2=\pm\sqrt{22}$
解得：$x=\frac{2\pm\sqrt{22}}{3}$
【答案】
(1) 两种方法的本质是相同的,都运用了配方法,不同的是:第一种方法配方出现分式比较繁,两边开平方时分子、分母都出现“±”,相除后为何只有分子上有“±”,不好理解;更重要的是易误认为$\sqrt{4a^2}=2a$. 第二种方法运用等式性质后,配方无上述问题,是对教材方法的再创新! 所以第二种方法好.
(2) $x_1=\frac{2}{3}+\frac{\sqrt{22}}{3}$,$x_2=\frac{2}{3}-\frac{\sqrt{22}}{3}$
【知识点】
配方法、一元二次方程解法、完全平方公式
【点评】
本题通过对比求根公式的两种推导方法，帮助学生深入理解配方法的核心逻辑，同时考查灵活运用配方法解方程的能力，引导学生主动优化解题思路，降低运算出错概率。
【难度系数】
0.6
