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10. 关于$x$的一元二次方程$mx^2 - (3m - 1)x + 2m - 1 = 0$的根的判别式的值为1，求$m$的值及该方程的根。
答案
由题意得$m≠0$,且$b^2-4ac=m^2-2m+1=1$,解得$m_1=0$(舍去),$m_2=2$. $\therefore$ 原方程为$2x^2 - 5x + 3 = 0$,解得 $x_1=\dfrac{3}{2},x_2=1$.
解析
【分析】
本题属于含参数的一元二次方程根的判别式应用问题，解题思路如下：①首先明确一元二次方程的前提是二次项系数不为0，因此先确定m≠0；②根据一元二次方程根的判别式公式Δ=b²-4ac，对应找出方程中a、b、c的表达式，代入Δ=1的条件列出关于m的方程；③求解m的方程后，舍去不符合二次项系数不为0的解；④将符合条件的m代入原方程，求解方程的根即可。
【解析】
解：
∵ 方程是关于x的一元二次方程，
∴ 二次项系数$m≠0$，
由题意知根的判别式$\Delta =b^2-4ac=1$，
其中$a=m$，$b=-(3m-1)$，$c=2m-1$，代入得：
$[-(3m-1)]^2 - 4· m· (2m-1) = 1$
展开计算：
$9m^2 - 6m + 1 - 8m^2 + 4m = 1$
整理得：$m^2 - 2m = 0$
因式分解得：$m(m-2)=0$
解得：$m_1=0$，$m_2=2$，
又
∵ $m≠0$，故舍去$m_1=0$，即$m=2$。
将$m=2$代入原方程得：$2x^2 - 5x + 3 = 0$，
因式分解得：$(2x-3)(x-1)=0$，
解得：$x_1=1$，$x_2=\dfrac{3}{2}$。
【答案】
$m=2$，方程的根为$x_1=1$，$x_2=\dfrac{3}{2}$
【知识点】
一元二次方程的定义；根的判别式；一元二次方程的解法
【点评】
本题是一元二次方程相关知识的基础综合题，易错点是容易忽略一元二次方程二次项系数不为0的前提，错误保留$m=0$的解，求解参数后注意检验是否符合方程定义是得分关键。
【难度系数】
0.7
本题属于含参数的一元二次方程根的判别式应用问题，解题思路如下：①首先明确一元二次方程的前提是二次项系数不为0，因此先确定m≠0；②根据一元二次方程根的判别式公式Δ=b²-4ac，对应找出方程中a、b、c的表达式，代入Δ=1的条件列出关于m的方程；③求解m的方程后，舍去不符合二次项系数不为0的解；④将符合条件的m代入原方程，求解方程的根即可。
【解析】
解：
∵ 方程是关于x的一元二次方程，
∴ 二次项系数$m≠0$，
由题意知根的判别式$\Delta =b^2-4ac=1$，
其中$a=m$，$b=-(3m-1)$，$c=2m-1$，代入得：
$[-(3m-1)]^2 - 4· m· (2m-1) = 1$
展开计算：
$9m^2 - 6m + 1 - 8m^2 + 4m = 1$
整理得：$m^2 - 2m = 0$
因式分解得：$m(m-2)=0$
解得：$m_1=0$，$m_2=2$，
又
∵ $m≠0$，故舍去$m_1=0$，即$m=2$。
将$m=2$代入原方程得：$2x^2 - 5x + 3 = 0$，
因式分解得：$(2x-3)(x-1)=0$，
解得：$x_1=1$，$x_2=\dfrac{3}{2}$。
【答案】
$m=2$，方程的根为$x_1=1$，$x_2=\dfrac{3}{2}$
【知识点】
一元二次方程的定义；根的判别式；一元二次方程的解法
【点评】
本题是一元二次方程相关知识的基础综合题，易错点是容易忽略一元二次方程二次项系数不为0的前提，错误保留$m=0$的解，求解参数后注意检验是否符合方程定义是得分关键。
【难度系数】
0.7
11. 已知关于$x$的一元二次方程:$x^2 -2x -k -2=0$有两个不相等的实数根.
（1）求$k$的取值范围；
（2）给$k$取一个负整数值，解这个方程.
（1）求$k$的取值范围；
（2）给$k$取一个负整数值，解这个方程.
答案
(1) 根据题意得 $\Delta=(-2)^2-4(-k-2)＞0$,解得 $k＞-3$ (2) 取 $k=-2$,则方程变形为 $x^2-2x=0$,解得 $x_1=0,x_2=2$.
解析
【分析】
（1）一元二次方程有两个不相等的实数根时，其判别式$\Delta＞0$，我们先确定方程中$a、b、c$的对应值，代入判别式得到关于$k$的不等式，求解不等式就能得到$k$的取值范围。
（2）结合第一问求出的$k$的范围，选取符合“负整数”要求的$k$值代入原方程，再用因式分解法等合适的方法求解方程即可，$k$的选取不唯一，符合条件即可。
【解析】
（1）对于一元二次方程$x^2 -2x -k -2=0$，二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-2$，常数项$c=-k-2$。
根据方程有两个不相等的实数根可得判别式满足：
$\Delta=(-2)^2-4×1×(-k-2)＞0$
化简得：$4+4k+8＞0$，即$4k+12＞0$
解得：$k＞-3$
（2）取符合条件的负整数$k=-2$，代入原方程得：
$x^2-2x - (-2)-2=0$，化简为$x^2-2x=0$
因式分解得$x(x-2)=0$
因此$x=0$或$x-2=0$，解得$x_1=0，x_2=2$
（若取$k=-1$，求解结果正确也可）
【答案】
(1) $k＞-3$
(2) 取$k=-2$时，方程的解为$x_1=0，x_2=2$（答案不唯一）
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 解一元二次方程
3. 解一元一次不等式
【点评】
本题属于一元二次方程的基础题，第一问核心考察根的判别式的应用，是该章节必须掌握的基础知识点；第二问为开放性问题，灵活考察一元二次方程的解法，整体难度较低。
【难度系数】
0.8
（1）一元二次方程有两个不相等的实数根时，其判别式$\Delta＞0$，我们先确定方程中$a、b、c$的对应值，代入判别式得到关于$k$的不等式，求解不等式就能得到$k$的取值范围。
（2）结合第一问求出的$k$的范围，选取符合“负整数”要求的$k$值代入原方程，再用因式分解法等合适的方法求解方程即可，$k$的选取不唯一，符合条件即可。
【解析】
（1）对于一元二次方程$x^2 -2x -k -2=0$，二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-2$，常数项$c=-k-2$。
根据方程有两个不相等的实数根可得判别式满足：
$\Delta=(-2)^2-4×1×(-k-2)＞0$
化简得：$4+4k+8＞0$，即$4k+12＞0$
解得：$k＞-3$
（2）取符合条件的负整数$k=-2$，代入原方程得：
$x^2-2x - (-2)-2=0$，化简为$x^2-2x=0$
因式分解得$x(x-2)=0$
因此$x=0$或$x-2=0$，解得$x_1=0，x_2=2$
（若取$k=-1$，求解结果正确也可）
【答案】
(1) $k＞-3$
(2) 取$k=-2$时，方程的解为$x_1=0，x_2=2$（答案不唯一）
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 解一元二次方程
3. 解一元一次不等式
【点评】
本题属于一元二次方程的基础题，第一问核心考察根的判别式的应用，是该章节必须掌握的基础知识点；第二问为开放性问题，灵活考察一元二次方程的解法，整体难度较低。
【难度系数】
0.8
12. (2025·雅安)关于$x$的一元二次方程$(m-3)x^2 +6x +3=0$有两个实数根，则$m$的取值范围是（
A.$m＞6$
B.$m≤6$且$m≠3$
C.$m≥6$
D.$m＜6$且$m≠3$
B
）A.$m＞6$
B.$m≤6$且$m≠3$
C.$m≥6$
D.$m＜6$且$m≠3$
答案
B
解析
【分析】
要确定m的取值范围，需结合两个核心条件推导：第一，题目明确是关于x的一元二次方程，因此二次项系数不能为0；第二，方程有两个实数根，说明根的判别式Δ≥0，联立两个条件即可得到最终m的取值范围。
【解析】
1. 由一元二次方程的定义可知，二次项系数不为0，即：
$m-3≠0$，解得$m≠3$。
2. 对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，根的判别式$\Delta = b^2-4ac$，本题中$a=m-3$，$b=6$，$c=3$，代入得：
$\Delta = 6^2 - 4×(m-3)×3 = 36 - 12(m-3) = 72 -12m$
因为方程有两个实数根，所以$\Delta ≥0$，即：
$72-12m≥0$
移项化简得：$12m≤72$，解得$m≤6$。
3. 结合两个条件，m的取值范围为$m≤6$且$m≠3$。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程定义、根的判别式应用
【点评】
本题属于一元二次方程的基础题型，解题时容易遗漏“二次项系数不为0”这个隐含条件，只通过判别式求范围导致错选，做这类题时要先确定二次项系数的限制条件，再结合判别式计算。
【难度系数】
0.7
要确定m的取值范围，需结合两个核心条件推导：第一，题目明确是关于x的一元二次方程，因此二次项系数不能为0；第二，方程有两个实数根，说明根的判别式Δ≥0，联立两个条件即可得到最终m的取值范围。
【解析】
1. 由一元二次方程的定义可知，二次项系数不为0，即：
$m-3≠0$，解得$m≠3$。
2. 对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，根的判别式$\Delta = b^2-4ac$，本题中$a=m-3$，$b=6$，$c=3$，代入得：
$\Delta = 6^2 - 4×(m-3)×3 = 36 - 12(m-3) = 72 -12m$
因为方程有两个实数根，所以$\Delta ≥0$，即：
$72-12m≥0$
移项化简得：$12m≤72$，解得$m≤6$。
3. 结合两个条件，m的取值范围为$m≤6$且$m≠3$。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程定义、根的判别式应用
【点评】
本题属于一元二次方程的基础题型，解题时容易遗漏“二次项系数不为0”这个隐含条件，只通过判别式求范围导致错选，做这类题时要先确定二次项系数的限制条件，再结合判别式计算。
【难度系数】
0.7
13. 关于$x$的一元二次方程$x^2 + bx + c = 0$有两个相等的实数根，则$b^2 - 2(1 + 2c) =$（
A.$-2$
B.$2$
C.$-4$
D.$4$
A
）A.$-2$
B.$2$
C.$-4$
D.$4$
答案
A
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆一元二次方程根的情况与判别式的关系：当一元二次方程有两个相等的实数根时，判别式Δ=0。我们可以先根据这个关系得到b²和c的等量关系，再将这个等量关系代入所求的代数式，通过化简计算就能得到结果。
【解析】
∵ 关于x的一元二次方程$x^2 + bx + c = 0$有两个相等的实数根，
∴ 根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac = b^2 - 4×1× c = 0$，即$b^2 = 4c$。
将$b^2 = 4c$代入$b^2 - 2(1 + 2c)$得：
原式$= 4c - 2×1 - 2×2c$
$= 4c - 2 - 4c$
$= -2$
故选A。
【答案】
A
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式 2. 代数式化简求值
【点评】
本题属于基础题型，核心是利用一元二次方程根的情况对应判别式的取值建立等量关系，再代入代数式化简求解，解题时注意整式去括号的符号规则即可。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先回忆一元二次方程根的情况与判别式的关系：当一元二次方程有两个相等的实数根时，判别式Δ=0。我们可以先根据这个关系得到b²和c的等量关系，再将这个等量关系代入所求的代数式，通过化简计算就能得到结果。
【解析】
∵ 关于x的一元二次方程$x^2 + bx + c = 0$有两个相等的实数根，
∴ 根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac = b^2 - 4×1× c = 0$，即$b^2 = 4c$。
将$b^2 = 4c$代入$b^2 - 2(1 + 2c)$得：
原式$= 4c - 2×1 - 2×2c$
$= 4c - 2 - 4c$
$= -2$
故选A。
【答案】
A
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式 2. 代数式化简求值
【点评】
本题属于基础题型，核心是利用一元二次方程根的情况对应判别式的取值建立等量关系，再代入代数式化简求解，解题时注意整式去括号的符号规则即可。
【难度系数】
0.8
14. 若关于$x$的方程$kx^2 - 2x + 3 = 0$有实数根，则$k$的取值范围是（
A.$k＜\frac{1}{3}$
B.$k≤\frac{1}{3}$
C.$k＜\frac{1}{3}$且$k≠0$
D.$k≤\frac{1}{3}$且$k≠0$
B
）A.$k＜\frac{1}{3}$
B.$k≤\frac{1}{3}$
C.$k＜\frac{1}{3}$且$k≠0$
D.$k≤\frac{1}{3}$且$k≠0$
答案
B
解析
【分析】
题目没有明确说明方程是一元二次方程，因此需要分两种情况讨论：①当二次项系数k=0时，方程为一元一次方程，直接判断是否有实根；②当k≠0时，方程为一元二次方程，根据方程有实根可知判别式Δ≥0，代入对应系数解不等式即可，最后综合两种情况得到k的取值范围。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当$k=0$时，原方程化为$-2x + 3 = 0$，属于一元一次方程，解得$x=\frac{3}{2}$，存在实数根，符合题意；
2. 当$k≠0$时，原方程是一元二次方程，若方程有实数根，则判别式$\Delta = b^2 - 4ac ≥ 0$，其中$a=k$，$b=-2$，$c=3$，代入得：
$\Delta = (-2)^2 - 4× k× 3 = 4 - 12k ≥ 0$
解不等式得：$k ≤ \frac{1}{3}$，此时$k$的取值范围是$k ≤ \frac{1}{3}$且$k≠0$。
综合两种情况，$k$的取值范围是$k ≤ \frac{1}{3}$，故选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 一元一次方程的解
2. 一元二次方程根的判别式
3. 分类讨论思想
【点评】
本题易错点是忽略$k=0$的情况，直接将方程判定为一元二次方程求解，误选D选项。解题时要注意：若题目没有明确说明方程为一元二次方程，一定要对二次项系数是否为0分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.7
题目没有明确说明方程是一元二次方程，因此需要分两种情况讨论：①当二次项系数k=0时，方程为一元一次方程，直接判断是否有实根；②当k≠0时，方程为一元二次方程，根据方程有实根可知判别式Δ≥0，代入对应系数解不等式即可，最后综合两种情况得到k的取值范围。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当$k=0$时，原方程化为$-2x + 3 = 0$，属于一元一次方程，解得$x=\frac{3}{2}$，存在实数根，符合题意；
2. 当$k≠0$时，原方程是一元二次方程，若方程有实数根，则判别式$\Delta = b^2 - 4ac ≥ 0$，其中$a=k$，$b=-2$，$c=3$，代入得：
$\Delta = (-2)^2 - 4× k× 3 = 4 - 12k ≥ 0$
解不等式得：$k ≤ \frac{1}{3}$，此时$k$的取值范围是$k ≤ \frac{1}{3}$且$k≠0$。
综合两种情况，$k$的取值范围是$k ≤ \frac{1}{3}$，故选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 一元一次方程的解
2. 一元二次方程根的判别式
3. 分类讨论思想
【点评】
本题易错点是忽略$k=0$的情况，直接将方程判定为一元二次方程求解，误选D选项。解题时要注意：若题目没有明确说明方程为一元二次方程，一定要对二次项系数是否为0分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.7
15. (2024·南充)已知$x_1,x_2$是关于$x$的方程$x^2 - 2kx + k^2 - k + 1 = 0$的两个不相等的实数根.
(1) 求$k$的取值范围;
(2) 若$k＜5$,且$k,x_1,x_2$都是整数,求$k$的值.
(1) 求$k$的取值范围;
(2) 若$k＜5$,且$k,x_1,x_2$都是整数,求$k$的值.
答案
(1) $\because$ 原方程有两个不相等的实数根,$\therefore \Delta＞0$,$\therefore \Delta=(-2k)^2-4×1×(k^2-k+1)=4k^2-4k^2+4k-4=4k-4＞0$,解得 $k＞1$. (2) $\because 1＜k＜5$,$\therefore$ 整数$k$的值为2,3,4,当$k=2$时,方程为 $x^2-4x+3=0$,解得$x_1=1,x_2=3$,当$k=3$或4时,此时方程解不为整数.综上所述,$k$的值为2.
解析
【分析】
(1) 对于一元二次方程，若存在两个不相等的实数根，根据根的判别式的性质，可知判别式$\Delta＞0$，因此先写出该方程的判别式表达式，再解关于k的不等式即可得到k的取值范围。
(2) 结合第一问得到的$k＞1$和题目给出的$k＜5$，先确定整数k的所有可能取值，再将每个可能的k值代入原方程求解，判断根是否为整数，满足所有条件的k即为所求。
【解析】
(1) $\because$ 原方程有两个不相等的实数根，
$\therefore$ 判别式$\Delta＞0$，
计算判别式得：$\Delta=(-2k)^2-4×1×(k^2-k+1)=4k^2-4k^2+4k-4=4k-4$，
$\therefore 4k-4＞0$，
解得 $k＞1$。
(2) 结合(1)的结论$k＞1$，且题目给出$k＜5$，可得$1＜k＜5$，
$\because k$是整数，
$\therefore k$的可能取值为2、3、4，
① 当$k=2$时，原方程为$x^2-4x+3=0$，因式分解得$(x-1)(x-3)=0$，解得$x_1=1,x_2=3$，两根均为整数，符合条件；
② 当$k=3$时，原方程为$x^2-6x+7=0$，解得$x=3\pm\sqrt{2}$，不是整数，不符合条件；
③ 当$k=4$时，原方程为$x^2-8x+13=0$，解得$x=4\pm\sqrt{3}$，不是整数，不符合条件；
综上所述，$k$的值为2。
【答案】
(1) $k＞1$；(2) $k=2$
【知识点】
一元二次方程根的判别式；一元二次方程的解法；不等式整数解
【点评】
本题核心考查一元二次方程根的情况与判别式的对应关系，同时结合整数限制条件考查分类验证的逻辑，解题时需先确定参数的取值范围，再逐一验证是否符合所有限制条件，侧重基础运算和思维严谨性的考查。
【难度系数】
0.7
(1) 对于一元二次方程，若存在两个不相等的实数根，根据根的判别式的性质，可知判别式$\Delta＞0$，因此先写出该方程的判别式表达式，再解关于k的不等式即可得到k的取值范围。
(2) 结合第一问得到的$k＞1$和题目给出的$k＜5$，先确定整数k的所有可能取值，再将每个可能的k值代入原方程求解，判断根是否为整数，满足所有条件的k即为所求。
【解析】
(1) $\because$ 原方程有两个不相等的实数根，
$\therefore$ 判别式$\Delta＞0$，
计算判别式得：$\Delta=(-2k)^2-4×1×(k^2-k+1)=4k^2-4k^2+4k-4=4k-4$，
$\therefore 4k-4＞0$，
解得 $k＞1$。
(2) 结合(1)的结论$k＞1$，且题目给出$k＜5$，可得$1＜k＜5$，
$\because k$是整数，
$\therefore k$的可能取值为2、3、4，
① 当$k=2$时，原方程为$x^2-4x+3=0$，因式分解得$(x-1)(x-3)=0$，解得$x_1=1,x_2=3$，两根均为整数，符合条件；
② 当$k=3$时，原方程为$x^2-6x+7=0$，解得$x=3\pm\sqrt{2}$，不是整数，不符合条件；
③ 当$k=4$时，原方程为$x^2-8x+13=0$，解得$x=4\pm\sqrt{3}$，不是整数，不符合条件；
综上所述，$k$的值为2。
【答案】
(1) $k＞1$；(2) $k=2$
【知识点】
一元二次方程根的判别式；一元二次方程的解法；不等式整数解
【点评】
本题核心考查一元二次方程根的情况与判别式的对应关系，同时结合整数限制条件考查分类验证的逻辑，解题时需先确定参数的取值范围，再逐一验证是否符合所有限制条件，侧重基础运算和思维严谨性的考查。
【难度系数】
0.7
16. 已知关于$ x $的方程$ x^2 + mx + m - 2 = 0 $。
（1）若此方程的一个根为1，求$ m $的值；
（2）求证：不论$ m $取何实数，此方程都有两个不相等的实数根。
（1）若此方程的一个根为1，求$ m $的值；
（2）求证：不论$ m $取何实数，此方程都有两个不相等的实数根。
答案
(1) 根据题意,将 $x=1$ 代入方程 $x^2+mx+m-2=0$,得:$1+m+m-2=0$,解得:$m=\dfrac{1}{2}$； (2) $\because \Delta=m^2-4×1×(m-2)=m^2-4m+8=(m-2)^2+4＞0$,$\therefore$ 不论$m$取何实数,该方程都有两个不相等的实数根.
解析
【分析】
（1）第一问已知方程的一个根，根据方程根的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值是方程的根，将x=1代入原方程，即可得到关于m的一元一次方程，解该方程就能求出m的值。
（2）第二问要证明不论m取何值方程都有两个不相等的实数根，根据一元二次方程根的判别式的性质，只需证明判别式Δ恒大于0即可。先写出Δ的表达式，再通过配方将其变形为“平方+正数”的形式，即可证明Δ恒正。
【解析】
（1）解：将$x=1$代入方程$x^2 + mx + m - 2 = 0$，得：
$1 + m + m - 2 = 0$
整理得$2m - 1 = 0$，解得$m=\dfrac{1}{2}$。
（2）证明：对于一元二次方程$x^2 + mx + m - 2 = 0$，其判别式：
$\Delta = m^2 - 4×1×(m - 2) = m^2 - 4m + 8$
配方得：$\Delta = (m - 2)^2 + 4$
∵ 无论m取何实数，$(m - 2)^2 ≥ 0$，
∴ $(m - 2)^2 + 4 ≥ 4 ＞ 0$，即$\Delta ＞ 0$，
∴ 不论m取何实数，该方程都有两个不相等的实数根。
【答案】
（1）$m=\dfrac{1}{2}$；（2）证明如上，结论成立。
【知识点】
一元二次方程根的定义，根的判别式，配方法
【点评】
本题是一元二次方程的基础常规考题，既考察了方程根的定义的直接应用，又考察了利用判别式判断方程根的情况的方法，其中用配方法证明判别式恒正为常考考点，掌握相关基础概念和运算技能即可顺利解答。
【难度系数】
0.85
（1）第一问已知方程的一个根，根据方程根的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值是方程的根，将x=1代入原方程，即可得到关于m的一元一次方程，解该方程就能求出m的值。
（2）第二问要证明不论m取何值方程都有两个不相等的实数根，根据一元二次方程根的判别式的性质，只需证明判别式Δ恒大于0即可。先写出Δ的表达式，再通过配方将其变形为“平方+正数”的形式，即可证明Δ恒正。
【解析】
（1）解：将$x=1$代入方程$x^2 + mx + m - 2 = 0$，得：
$1 + m + m - 2 = 0$
整理得$2m - 1 = 0$，解得$m=\dfrac{1}{2}$。
（2）证明：对于一元二次方程$x^2 + mx + m - 2 = 0$，其判别式：
$\Delta = m^2 - 4×1×(m - 2) = m^2 - 4m + 8$
配方得：$\Delta = (m - 2)^2 + 4$
∵ 无论m取何实数，$(m - 2)^2 ≥ 0$，
∴ $(m - 2)^2 + 4 ≥ 4 ＞ 0$，即$\Delta ＞ 0$，
∴ 不论m取何实数，该方程都有两个不相等的实数根。
【答案】
（1）$m=\dfrac{1}{2}$；（2）证明如上，结论成立。
【知识点】
一元二次方程根的定义，根的判别式，配方法
【点评】
本题是一元二次方程的基础常规考题，既考察了方程根的定义的直接应用，又考察了利用判别式判断方程根的情况的方法，其中用配方法证明判别式恒正为常考考点，掌握相关基础概念和运算技能即可顺利解答。
【难度系数】
0.85
