17.(本小题满分12分)某大楼门口离地面一定高度的墙上点D处,装有一个由传感器控制的迎宾门铃,人只要移动到该门口2.4 m及2.4 m以内时,门铃就会自动发出“欢迎光临”的语音.如图,一个身高1.6 m的学生刚走到点B处(学生头顶在点A处),门铃恰好自动响起,此时测得迎宾门铃到地面的距离和到该学生头顶的距离相等.
(1)迎宾门铃距离地面多少米?
(2)若该学生继续向前走1.4 m,此时迎宾门铃距离该学生头顶多少米?

17.解:(1)由题意知,$AD=CD$,$BC=2.4\ \mathrm{m}$,$AB=1.6\ \mathrm{m}$,$∠ABC=∠DCB=90°$.
如图①,过点A作$AE⊥CD$于点E，
则$CE=AB=1.6\ \mathrm{m}$,$AE=BC=2.4\ \mathrm{m}$.
设迎宾门铃距离地面$x\ \mathrm{m}$，
则$AD=CD=x\ \mathrm{m}$,$DE=(x-1.6)\mathrm{m}$.
在$Rt△AED$中,根据勾股定理,$AE^2+DE^2=AD^2$，
即$2.4^2+(x-1.6)^2=x^2$,解得$x=2.6$.
∴$CD=2.6\ \mathrm{m}$.
答:迎宾门铃距离地面2.6 m.

(2)如图②,设MN为该学生向前走1.4 m后的位置,则$AN=1.4\ \mathrm{m}$，
∴$NE=AE-AN=2.4-1.4=1(\mathrm{m})$.
由(1)可知,$DE=CD-CE=2.6-1.6=1(\mathrm{m})$.
在$Rt△NED$中,根据勾股定理,$DN=\sqrt{NE^2+DE^2}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}(\mathrm{m})$.
答:此时迎宾门铃距离该学生头顶$\sqrt{2}\ \mathrm{m}$.

【分析】
解题时先从题干给出的条件入手：(1)已知AD=CD，BC=2.4m，AB=1.6m，∠B、∠C均为直角，直接求解CD的长度缺少直角三角形载体，因此考虑过点A作AE⊥CD，将图形拆分为矩形ABCE和Rt△AED，利用矩形性质得到直角三角形的边长关系，设CD为x，将Rt△AED的三边均用含x的式子表示，再根据勾股定理列方程即可求解。(2)学生向前走1.4m后，头顶位置水平向左移动1.4m，可得到新的直角三角形NED，先求出两条直角边的长度，再用勾股定理计算斜边长度即为所求距离。
【解析】
(1)由题意知，$AD=CD$，$BC=2.4\ \mathrm{m}$，$AB=1.6\ \mathrm{m}$，$∠ABC=∠DCB=90°$。
如图①，过点A作$AE⊥CD$于点E，
则四边形ABCE是矩形，因此$CE=AB=1.6\ \mathrm{m}$，$AE=BC=2.4\ \mathrm{m}$。
设迎宾门铃距离地面$x\ \mathrm{m}$，
则$AD=CD=x\ \mathrm{m}$，$DE=(x-1.6)\mathrm{m}$。
在$Rt△AED$中，根据勾股定理，$AE^2+DE^2=AD^2$，
即$2.4^2+(x-1.6)^2=x^2$，
展开计算得$5.76 + x^2 - 3.2x + 2.56 = x^2$，
化简得$3.2x=8.32$，解得$x=2.6$。
∴$CD=2.6\ \mathrm{m}$。
(2)如图②，设MN为该学生向前走1.4 m后的位置，学生头顶对应点为N，则$AN=1.4\ \mathrm{m}$，
∴$NE=AE-AN=2.4-1.4=1(\mathrm{m})$。
由(1)可知，$DE=CD-CE=2.6-1.6=1(\mathrm{m})$。
在$Rt△NED$中，根据勾股定理，$DN=\sqrt{NE^2+DE^2}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}(\mathrm{m})$。
【答案】
(1)迎宾门铃距离地面2.6 m；

(2)此时迎宾门铃距离该学生头顶$\sqrt{2}\ \mathrm{m}$。

【知识点】
勾股定理；矩形的性质；列方程解应用题
【点评】
本题结合生活实际场景命题，考查几何知识的实际应用能力，解题关键是合理作辅助线构造直角三角形，利用勾股定理建立等量关系求解，能有效锻炼学生将实际问题转化为数学几何模型的能力。
【难度系数】
0.7

18.(本小题满分13分)【项目式学习】

18.解:任务一:设每本A种图书原来的售价为a元,每本B种图书原来的售价为b元.
根据题意,得$\begin{cases}5a+6b=300, \\ a+2b=80, \end{cases}$
解得$\begin{cases}a=30, \\ b=25. \end{cases}$
因此,每本A种图书原来的售价为30元,每本B种图书原来的售价为25元.
任务二:当$0≤ x≤100$时,$y=30x$；
当$x＞100$时,$y=30×100+0.8×30(x-100)=24x+600$，
所以顾客购买A种图书的付款金额y与x之间的函数解析式为
$y=\begin{cases}30x(0≤ x≤100), \\ 24x+600(x＞100). \end{cases}$
任务三:设该顾客付款总金额为W元.由题意知该顾客购买B种图书$(200-x)$本.
当$80≤ x≤100$时,$W=30x+25(200-x)=5x+5000$.
因为$5＞0$,所以W随x的增大而增大，
所以当$x=80$时,W的值最小,最小为$5×80+5000=5400$,此时$200-x=120$.
当$100＜x≤120$时,$W=24x+600+25(200-x)=-x+5600$.
因为$-1＜0$，
所以W随x的增大而减小，
所以当$x=120$时,W的值最小,最小为$-120+5600=5480$,此时$200-x=80$.
因为$5400＜5480$，
所以该顾客购买A种图书80本、B种图书120本才能使付款总金额最少,最少的付款总金额为5400元.

【分析】
解题思路如下：
1. 任务一：求A、B两种图书的原价，题目给出两组购买总价，对应两个等量关系，可设未知数列二元一次方程组求解，两个等量关系分别为：5本A图书费用+6本B图书费用=300元，1本A图书费用+2本B图书费用=80元。
2. 任务二：A图书的优惠分两种情况，需按购买数量x的取值分段讨论：购买数量不超过100本时按原价计算付款金额，超过100本时100本按原价、超出部分打八折计算，分别写出对应范围的函数解析式即可。
3. 任务三：已知A、B图书共买200本，且A的数量在80~120之间，结合任务二的分段函数，分$80≤x≤100$和$100＜x≤120$两种情况，分别列出总付款金额W关于x的一次函数，再根据一次函数的增减性求出每个区间的W最小值，比较两个最小值即可得到最优购买方案和最低总金额。
【解析】
任务一：设每本A种图书原来的售价为a元，每本B种图书原来的售价为b元。
根据题意，得$\begin{cases}5a+6b=300, \\ a+2b=80, \end{cases}$
解得$\begin{cases}a=30, \\ b=25. \end{cases}$
因此，每本A种图书原来的售价为30元，每本B种图书原来的售价为25元。
任务二：分两种情况讨论：
①当$0≤ x≤100$时，A种图书按原价销售，故$y=30x$；
②当$x＞100$时，前100本按原价，超出100本的部分打八折，故$y=30×100+0.8×30(x-100)=24x+600$。
综上，付款金额y与x之间的函数解析式为
$y=\begin{cases}30x(0≤ x≤100), \\ 24x+600(x＞100). \end{cases}$
任务三：设该顾客付款总金额为W元，购买A种图书x本，则购买B种图书$(200-x)$本，其中$80≤x≤120$，分两种情况讨论：
①当$80≤ x≤100$时，$W=30x+25(200-x)=5x+5000$。
因为$5＞0$，所以W随x的增大而增大，
所以当$x=80$时，W取得最小值，最小值为$5×80+5000=5400$，此时购买B种图书$200-80=120$本。
②当$100＜x≤120$时，$W=24x+600+25(200-x)=-x+5600$。
因为$-1＜0$，所以W随x的增大而减小，
所以当$x=120$时，W取得最小值，最小值为$-120+5600=5480$，此时购买B种图书$200-120=80$本。
比较两个最小值：$5400＜5480$，因此购买A种图书80本、B种图书120本时付款总金额最少。
【答案】
任务一：A种图书原价30元/本，B种图书原价25元/本；
任务二：$y=\begin{cases}30x&(0≤ x≤100) \\ 24x+600&(x＞100) \end{cases}$；
任务三：购买A种图书80本、B种图书120本时付款总金额最少，最少总金额为5400元。
【知识点】
二元一次方程组应用，分段函数，一次函数最值
【点评】
本题以图书购买的实际场景为载体，循序渐进考查方程、函数的核心知识，需要学生掌握分类讨论思想，能结合一次函数的增减性求解最值，既贴近生活，又能有效考查学生运用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.65