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【项目背景】某村有甲、乙两块成龄无核柑橘园.在柑橘收获季节,某班级同学前往该村开展综合与实践活动,其中一个项目是在日照、土质、空气湿度等外部环境基本一致的条件下,对两块柑橘园的优质柑橘情况进行调查统计,为柑橘园的发展规划提供一些参考.
【数据收集与整理】从两块柑橘园采摘的柑橘中各随机选取200个.在技术人员指导下,测量每个柑橘的直径,作为样本数据.柑橘直径用$x$(单位:cm)表示.
将所收集的样本数据进行如下分组:
整理样本数据,并绘制甲、乙两园样本数据的频数分布直方图,部分信息如图所示:
根据所给信息,完成以下所有任务.
任务1:求图①中$a$的值.
【数据分析与运用】
任务2:利用组中值求乙柑橘园样本数据的平均数.
任务3:下列结论一定正确的是
①甲、乙两柑橘园样本数据的中位数均在C组；
②甲、乙两柑橘园样本数据的众数均在C组；
③甲、乙两柑橘园样本数据的最大值与最小值的差相等.
任务4:结合市场情况,将C,D两组的柑橘认定为一级,B组的柑橘认定为二级,其他组的柑橘认定为三级,其中一级柑橘的品质最优,二级次之,三级最次.哪块柑橘园的柑橘品质更优?请说明理由.
【数据收集与整理】从两块柑橘园采摘的柑橘中各随机选取200个.在技术人员指导下,测量每个柑橘的直径,作为样本数据.柑橘直径用$x$(单位:cm)表示.
将所收集的样本数据进行如下分组:
整理样本数据,并绘制甲、乙两园样本数据的频数分布直方图,部分信息如图所示:
根据所给信息,完成以下所有任务.
任务1:求图①中$a$的值.
【数据分析与运用】
任务2:利用组中值求乙柑橘园样本数据的平均数.
任务3:下列结论一定正确的是
①
(填序号).①甲、乙两柑橘园样本数据的中位数均在C组；
②甲、乙两柑橘园样本数据的众数均在C组；
③甲、乙两柑橘园样本数据的最大值与最小值的差相等.
任务4:结合市场情况,将C,D两组的柑橘认定为一级,B组的柑橘认定为二级,其他组的柑橘认定为三级,其中一级柑橘的品质最优,二级次之,三级最次.哪块柑橘园的柑橘品质更优?请说明理由.
答案
任务1:由题意,得$a=200-(15+70+50+25)=40$.
任务2:$\frac{1}{200} × (15 × 4 + 50 × 5 + 70 × 6 + 50 × 7 + 15 × 8)=6$.
故乙柑橘园样本数据的平均数为6.
任务3:①
任务4:乙柑橘园的柑橘品质更优.理由如下:
由样本数据的频数分布直方图可得,乙柑橘园一级柑橘所占比例大于甲柑橘园的,因此乙柑橘园的柑橘品质更优.
任务2:$\frac{1}{200} × (15 × 4 + 50 × 5 + 70 × 6 + 50 × 7 + 15 × 8)=6$.
故乙柑橘园样本数据的平均数为6.
任务3:①
任务4:乙柑橘园的柑橘品质更优.理由如下:
由样本数据的频数分布直方图可得,乙柑橘园一级柑橘所占比例大于甲柑橘园的,因此乙柑橘园的柑橘品质更优.
解析
【分析】
1. 任务1解题思路：频数分布直方图中所有组的频数之和等于抽取的样本总数量，已知甲园样本总数为200，其余四组频数已知，用总数减去其余四组频数和即可求出a的值。
2. 任务2解题思路：用组中值计算平均数时，先求出每组数据的组中值（每组区间上下限的平均值），再用每组组中值乘以该组的频数，将所有乘积相加得到总和，最后除以样本总数量即可得到样本平均数。
3. 任务3解题思路：逐个分析三个结论：①200个数据的中位数是排序后第100、101个数据的平均数，分别计算甲乙两园的累计频数，判断第100、101个数据所在的组即可确定中位数的位置；②众数是一组数据中出现次数最多的数，分组数据仅能得到每组的总频数，无法确定组内具体数据的分布，因此无法确定众数一定在C组；③极差是最大值与最小值的差，题目未给出样本的具体最大、最小值，无法确定两组极差相等。
4. 任务4解题思路：一级柑橘品质最优，因此对比两块柑橘园一级柑橘的占比，占比更高的柑橘园品质更优。
【解析】
任务1：已知从甲柑橘园抽取的样本总数为200，各组频数之和等于样本总数，因此：
$a=200-(15+70+50+25)=40$
任务2：各组的组中值分别为4、5、6、7、8，根据组中值求平均数的公式：
$\bar{x}=\frac{1}{200} × (15 × 4 + 50 × 5 + 70 × 6 + 50 × 7 + 15 × 8)=\frac{1200}{200}=6$
任务3：①判断中位数：200个数据的中位数是第100、101个数据的平均数。甲园前两组累计频数为$15+40=55$，前三组累计频数为$55+70=125$，因此第100、101个数据均在C组，中位数在C组；乙园前两组累计频数为$15+50=65$，前三组累计频数为$65+70=135$，因此第100、101个数据均在C组，中位数在C组，故①正确。
②众数是出现次数最多的数，仅能确定C组频数最高，无法确定组内数据的具体分布，不能判定众数一定在C组，故②错误。
③极差是最大值与最小值的差，题目未给出样本的具体最大、最小值，无法确定两园的极差相等，故③错误。
因此正确结论为①。
任务4：乙柑橘园的柑橘品质更优。理由：由样本数据的频数分布直方图可得，乙柑橘园一级柑橘（C、D两组）所占比例大于甲柑橘园的，因此乙柑橘园的柑橘品质更优。
【答案】
任务1：$\boldsymbol{a=40}$；
任务2：乙柑橘园样本数据的平均数为$\boldsymbol{6}$；
任务3：$\boldsymbol{①}$；
任务4：乙柑橘园的柑橘品质更优，理由见解析。
【知识点】
频数分布直方图，平均数计算，统计量的意义
【点评】
本题结合实际农业调查场景，考查了统计核心知识的应用，要求学生熟练掌握频数、平均数、中位数、众数等统计量的计算方法和实际意义，能通过分析数据解决实际问题，侧重对数据处理与分析能力的考查。
【难度系数】
0.7
1. 任务1解题思路：频数分布直方图中所有组的频数之和等于抽取的样本总数量，已知甲园样本总数为200，其余四组频数已知，用总数减去其余四组频数和即可求出a的值。
2. 任务2解题思路：用组中值计算平均数时，先求出每组数据的组中值（每组区间上下限的平均值），再用每组组中值乘以该组的频数，将所有乘积相加得到总和，最后除以样本总数量即可得到样本平均数。
3. 任务3解题思路：逐个分析三个结论：①200个数据的中位数是排序后第100、101个数据的平均数，分别计算甲乙两园的累计频数，判断第100、101个数据所在的组即可确定中位数的位置；②众数是一组数据中出现次数最多的数，分组数据仅能得到每组的总频数，无法确定组内具体数据的分布，因此无法确定众数一定在C组；③极差是最大值与最小值的差，题目未给出样本的具体最大、最小值，无法确定两组极差相等。
4. 任务4解题思路：一级柑橘品质最优，因此对比两块柑橘园一级柑橘的占比，占比更高的柑橘园品质更优。
【解析】
任务1：已知从甲柑橘园抽取的样本总数为200，各组频数之和等于样本总数，因此：
$a=200-(15+70+50+25)=40$
任务2：各组的组中值分别为4、5、6、7、8，根据组中值求平均数的公式：
$\bar{x}=\frac{1}{200} × (15 × 4 + 50 × 5 + 70 × 6 + 50 × 7 + 15 × 8)=\frac{1200}{200}=6$
任务3：①判断中位数：200个数据的中位数是第100、101个数据的平均数。甲园前两组累计频数为$15+40=55$，前三组累计频数为$55+70=125$，因此第100、101个数据均在C组，中位数在C组；乙园前两组累计频数为$15+50=65$，前三组累计频数为$65+70=135$，因此第100、101个数据均在C组，中位数在C组，故①正确。
②众数是出现次数最多的数，仅能确定C组频数最高，无法确定组内数据的具体分布，不能判定众数一定在C组，故②错误。
③极差是最大值与最小值的差，题目未给出样本的具体最大、最小值，无法确定两园的极差相等，故③错误。
因此正确结论为①。
任务4：乙柑橘园的柑橘品质更优。理由：由样本数据的频数分布直方图可得，乙柑橘园一级柑橘（C、D两组）所占比例大于甲柑橘园的，因此乙柑橘园的柑橘品质更优。
【答案】
任务1：$\boldsymbol{a=40}$；
任务2：乙柑橘园样本数据的平均数为$\boldsymbol{6}$；
任务3：$\boldsymbol{①}$；
任务4：乙柑橘园的柑橘品质更优，理由见解析。
【知识点】
频数分布直方图，平均数计算，统计量的意义
【点评】
本题结合实际农业调查场景，考查了统计核心知识的应用，要求学生熟练掌握频数、平均数、中位数、众数等统计量的计算方法和实际意义，能通过分析数据解决实际问题，侧重对数据处理与分析能力的考查。
【难度系数】
0.7
