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15.(本小题满分10分)已知等腰三角形周长为40.
(1)写出底边长y关于腰长x的函数解析式,并写出自变量x的取值范围;
(2)在如图所示的平面直角坐标系中,画出该函数的图象.
(1)写出底边长y关于腰长x的函数解析式,并写出自变量x的取值范围;
(2)在如图所示的平面直角坐标系中,画出该函数的图象.
答案
15.解:(1)由题意,得$2x+y=40$，
所以$y=-2x+40$.
因为$x+x＞-2x+40,-2x+40＞0$，
所以$10＜x＜20$，
所以x的取值范围是$10＜x＜20$.
(2)如图所示。
解析
【分析】
（1）首先根据等腰三角形周长等于2倍腰长加底边长的等量关系，列出等式变形即可得到y关于x的函数解析式；再结合三角形三边关系（两边之和大于第三边）和边长为正的要求，列不等式求解就能得到自变量x的取值范围。
（2）该函数是一次函数，图象为线段，先求出x取范围端点时对应的y值，得到两个端点坐标，由于x无法取到端点值，因此端点用空心圆圈标注，连接两点即可画出对应函数图象。
【解析】
(1) 已知等腰三角形周长为40，根据周长公式可得：$2x + y = 40$，
整理后得到底边长y关于腰长x的函数解析式：$y = -2x + 40$。
接下来求自变量x的取值范围：
① 底边长为正数，因此$y＞0$，即$-2x + 40 ＞ 0$，解得$x ＜ 20$；
② 根据三角形三边关系，两腰之和大于底边，因此$x + x ＞ y$，即$2x ＞ -2x + 40$，解得$x ＞ 10$。
综上，自变量x的取值范围为$10 ＜ x ＜ 20$。
(2) 对于函数$y=-2x+40$（$10＜x＜20$），取端点值计算：当$x=10$时，$y=20$，对应点为$(10,20)$；当$x=20$时，$y=0$，对应点为$(20,0)$。
由于x不能取到10和20，因此两个端点画空心圆圈，连接两点即可得到函数图象。
【答案】
(1) 函数解析式为$y=-2x+40$，自变量x的取值范围是$10＜x＜20$；
(2)
【知识点】
等腰三角形性质，三角形三边关系，一次函数解析式与图象
【点评】
本题是几何与函数结合的基础题型，解题时要注意函数自变量的取值范围不仅要满足代数式本身有意义，还要符合实际的几何约束条件，绘制图象时需根据自变量的取值范围准确区分端点的虚实，避免失分。
【难度系数】
0.7
（1）首先根据等腰三角形周长等于2倍腰长加底边长的等量关系，列出等式变形即可得到y关于x的函数解析式；再结合三角形三边关系（两边之和大于第三边）和边长为正的要求，列不等式求解就能得到自变量x的取值范围。
（2）该函数是一次函数，图象为线段，先求出x取范围端点时对应的y值，得到两个端点坐标，由于x无法取到端点值，因此端点用空心圆圈标注，连接两点即可画出对应函数图象。
【解析】
(1) 已知等腰三角形周长为40，根据周长公式可得：$2x + y = 40$，
整理后得到底边长y关于腰长x的函数解析式：$y = -2x + 40$。
接下来求自变量x的取值范围：
① 底边长为正数，因此$y＞0$，即$-2x + 40 ＞ 0$，解得$x ＜ 20$；
② 根据三角形三边关系，两腰之和大于底边，因此$x + x ＞ y$，即$2x ＞ -2x + 40$，解得$x ＞ 10$。
综上，自变量x的取值范围为$10 ＜ x ＜ 20$。
(2) 对于函数$y=-2x+40$（$10＜x＜20$），取端点值计算：当$x=10$时，$y=20$，对应点为$(10,20)$；当$x=20$时，$y=0$，对应点为$(20,0)$。
由于x不能取到10和20，因此两个端点画空心圆圈，连接两点即可得到函数图象。
【答案】
(1) 函数解析式为$y=-2x+40$，自变量x的取值范围是$10＜x＜20$；
(2)
【知识点】
等腰三角形性质，三角形三边关系，一次函数解析式与图象
【点评】
本题是几何与函数结合的基础题型，解题时要注意函数自变量的取值范围不仅要满足代数式本身有意义，还要符合实际的几何约束条件，绘制图象时需根据自变量的取值范围准确区分端点的虚实，避免失分。
【难度系数】
0.7
16.(本小题满分12分)如图，E,F是正方形ABCD的对角线BD上的两点，BD=10，DE=BF，连接AE,AF,CE,CF.
(1)求证:△ADE≌△CBF；
(2)若四边形AECF的周长为$4\sqrt{34}$，求EF的长.
数学
(1)求证:△ADE≌△CBF；
(2)若四边形AECF的周长为$4\sqrt{34}$，求EF的长.
数学
答案
16.(1)证明:
∵四边形ABCD为正方形，
∴$AD=BC,BC// AD$，
∴$∠ADE=∠CBF$.
在$△ADE$和$△CBF$中，
$\begin{cases} AD=CB, \\ ∠ADE=∠CBF, \\ DE=BF, \end{cases}$
∴$△ADE≌△CBF$(SAS).
(2)解:如图,连接AC交BD于点O.
∵四边形ABCD为正方形,$BD=10$，
∴BD与AC互相垂直平分，$OA=OC=OB=OD=\frac{1}{2}BD=5$，
∴易知$AF=CF=AE=CE$，
∴四边形AECF是菱形，
∴$OF=OE,∴EF=2OF$.
∵四边形AECF的周长为$4\sqrt{34}$，
∴$4AF=4\sqrt{34}$，
∴$AF=\sqrt{34}$.
在$Rt△AOF$中,根据勾股定理,$OF=\sqrt{AF^2-OA^2}=\sqrt{(\sqrt{34})^2-5^2}=3$，
∴$EF=2OF=6$.
解析
【分析】
(1)要证明△ADE≌△CBF，首先利用正方形的性质得到对应边相等、对应角相等，再结合已知的DE=BF的条件，即可通过SAS判定定理完成全等证明。
(2)求EF的长时，先根据正方形对角线互相垂直平分的性质，连接AC交BD于点O，可推出四边形AECF是菱形；再结合菱形周长求出边长，最后在直角三角形中用勾股定理求出OF的长度，即可得到EF的长。
【解析】
(1)证明:
∵四边形ABCD为正方形，
∴$AD=BC,BC// AD$，
∴$∠ADE=∠CBF$。
在$△ADE$和$△CBF$中，
$\begin{cases} AD=CB, \\ ∠ADE=∠CBF, \\ DE=BF, \end{cases}$
∴$△ADE≌△CBF$(SAS)。
(2)解:如图,连接AC交BD于点O。
∵四边形ABCD为正方形,$BD=10$，
∴BD与AC互相垂直平分，$OA=OC=OB=OD=\frac{1}{2}BD=5$，
∴$AF=CF=AE=CE$，
∴四边形AECF是菱形，
∴$OF=OE,∴EF=2OF$。
∵四边形AECF的周长为$4\sqrt{34}$，
∴$4AF=4\sqrt{34}$，
∴$AF=\sqrt{34}$。
在$Rt△AOF$中,根据勾股定理,$OF=\sqrt{AF^2-OA^2}=\sqrt{(\sqrt{34})^2-5^2}=3$，
∴$EF=2OF=6$。
【答案】
(1)△ADE≌△CBF得证；(2)EF的长为6。
【知识点】
正方形的性质、全等三角形的判定、勾股定理
【点评】
本题属于几何综合基础题，第一问直接考查全等三角形的判定，难度较低；第二问需要结合特殊四边形的性质构造辅助线，再用勾股定理计算，整体侧重考察学生对几何性质的理解和综合运用能力。
【难度系数】
0.7
(1)要证明△ADE≌△CBF，首先利用正方形的性质得到对应边相等、对应角相等，再结合已知的DE=BF的条件，即可通过SAS判定定理完成全等证明。
(2)求EF的长时，先根据正方形对角线互相垂直平分的性质，连接AC交BD于点O，可推出四边形AECF是菱形；再结合菱形周长求出边长，最后在直角三角形中用勾股定理求出OF的长度，即可得到EF的长。
【解析】
(1)证明:
∵四边形ABCD为正方形，
∴$AD=BC,BC// AD$，
∴$∠ADE=∠CBF$。
在$△ADE$和$△CBF$中，
$\begin{cases} AD=CB, \\ ∠ADE=∠CBF, \\ DE=BF, \end{cases}$
∴$△ADE≌△CBF$(SAS)。
(2)解:如图,连接AC交BD于点O。
∵四边形ABCD为正方形,$BD=10$，
∴BD与AC互相垂直平分，$OA=OC=OB=OD=\frac{1}{2}BD=5$，
∴$AF=CF=AE=CE$，
∴四边形AECF是菱形，
∴$OF=OE,∴EF=2OF$。
∵四边形AECF的周长为$4\sqrt{34}$，
∴$4AF=4\sqrt{34}$，
∴$AF=\sqrt{34}$。
在$Rt△AOF$中,根据勾股定理,$OF=\sqrt{AF^2-OA^2}=\sqrt{(\sqrt{34})^2-5^2}=3$，
∴$EF=2OF=6$。
【答案】
(1)△ADE≌△CBF得证；(2)EF的长为6。
【知识点】
正方形的性质、全等三角形的判定、勾股定理
【点评】
本题属于几何综合基础题，第一问直接考查全等三角形的判定，难度较低；第二问需要结合特殊四边形的性质构造辅助线，再用勾股定理计算，整体侧重考察学生对几何性质的理解和综合运用能力。
【难度系数】
0.7
