【典例】(2026·宜昌)我们常见的炒菜锅和锅盖都是抛物线面(如图1),经过锅心和盖心的纵断面是两段抛物线组合而成的封闭图形,不妨简称为“锅线”,锅口直径为6 dm,锅深3 dm,锅盖高1 dm(锅口直径与锅盖直径视为相同),建立直角坐标系如图2所示,如果把锅纵断面的抛物线记为$C_1$,把锅盖纵断面抛物线记为$C_2$.

(1)求$C_1$和$C_2$的解析式,并直接写出自变量取值范围;
(2)如果炒菜时锅的水位高度是1 dm,求此时水面的直径(结果保留根号);
(3)如果将一个底面直径为2 dm,高度为3.6 dm的圆柱形器皿竖直放入炒菜锅内蒸食物,锅盖能否正常盖上?请说明理由.

(1)锅口直径为6 dm,锅深3 dm,锅盖高1 dm,点A(-3,0),B(3,0),D(0,-3),
设$C_1$的解析式为$y=a_1(x-3)(x+3)$,将D点坐标代入得:
$-3=a_1(0-3)(0+3)$,解得$a_1=\frac{1}{3}$,即抛物线$C_1:y=\frac{1}{3}x^2-3(-3≤ x≤ 3)$,
设$C_2$的解析式为$y=a_2(x-3)(x+3)$,
把点C坐标代入得:$1=a_2(0-3)(0+3)$,解得$a_2=-\frac{1}{9}$.
答:抛物线$C_2:y=-\frac{1}{9}x^2+1(-3≤ x≤ 3)$;
(2)当炒菜锅里的水位高度为1 dm时,$y=-2$,即$\frac{1}{3}x^2-3=-2$,解得$x=\pm\sqrt{3}$.
答:此时水面的直径为$2\sqrt{3}\ \mathrm{dm}$;
(3)锅盖不能正常盖上.理由如下:
当$x=1$时,抛物线$C_1:y=\frac{1}{3}×1^2-3=-\frac{8}{3}$,
抛物线$C_2:y=-\frac{1}{9}×1^2+1=\frac{8}{9}$,
而$\frac{8}{9}-(-\frac{8}{3})=\frac{8}{9}+\frac{24}{9}=\frac{32}{9}\approx3.56＜3.6$.
答:锅盖不能正常盖上.