【典例】一个玻璃杯竖直放置时的纵向截面如图1所示，其左右轮廓线AD，BC为同一抛物线的一部分，AB，CD都与水平地面平行，当杯子装满水后AB=4 cm，CD=8 cm，液体高度12 cm，将杯子绕C倾斜倒出部分液体，当倾斜角∠ABE=45°时停止转动.如图2所示.
(1)此时液面宽度 BE= cm；
(2)液面 BE 到点 C 所在水平地面的距离是 cm.

(1)以AB的中点为原点,直线AB为x轴,线段AB的中垂线为y轴,建立平面直角坐标系,由题意得：
A(-2,0),B(2,0),C(4,-12),D(-4,-12),
设抛物线的解析式为$y=ax^2+b(a≠0)$,将B(2,0),C(4,-12)
代入得 $\begin{cases}4a+b=0,\\16a+b=-12,\end{cases}$
解得 $\begin{cases}a=-1,\\b=4,\end{cases}$
$\therefore y=-x^2+4$；
根据题意可知,$∠ ABE=45°$,设BE与y轴的交点为P,
则$△ OBP$是等腰直角三角形,$\therefore OB=OP=2$,
$\therefore P(0,-2)$,
$\therefore$ 直线BP的解析式为$y=x-2$,令$-x^2+4=x-2$,
解得$x=2$(舍)或$x=-3$,$\therefore E(-3,-5)$,
$\therefore BE=5\sqrt{2}$；
(2)过C点作$CM⊥ BE$于M点,$CN⊥ x$轴交BE于N点,$\therefore N(4,2),CN=14,CM=7\sqrt{2}$.

变式.(2026·天津)一种玻璃水杯的截面如图1所示,其左右轮廓线AC,BD为某一抛物线的一部分,杯口$AB=8$ cm,杯底$CD=4$ cm,且$AB// CD$,杯深12 cm,如图2若盛有部分水的水杯倾斜$45°$(即$∠ ABP=45°$),水面正好经过点B,则此时点P到杯口AB的距离为()

A.5 cm
B.6 cm
C.$5\sqrt{2}$ cm
D.7 cm

以CD为x轴,CD的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系,
则$B(4,12),D(2,0)$,
$y=ax^2+b$,$\begin{cases}4a+b=0,\\16a+b=12,\end{cases}$$\begin{cases}a=1,\\b=-4,\end{cases}$
$\therefore y=x^2-4$,$\because ∠ PBA=45°$,
$\therefore PB$的解析式为$y=x+8$,
$\begin{cases}y=x+8,\\y=x^2-4,\end{cases}$$\therefore P(-3,5)$,故点P到AB的距离为7 cm.