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1. 对数据进行分组时，若遵循“组内离差平方和最小”原则，其目的是 （
A.使组内数据差异最大
B.使组内数据差异最小
C.使组间数据差异最大
D.使组间数据差异最小
B
）A.使组内数据差异最大
B.使组内数据差异最小
C.使组间数据差异最大
D.使组间数据差异最小
答案
1. B
解析
【分析】
首先明确本题考查数据分组原则和离差平方和的意义，解题思路分为两步：第一步，回忆离差平方和的作用：它是衡量一组数据离散程度（即数据差异大小）的指标，数值越大代表组内数据差异越大，数值越小代表组内数据差异越小；第二步，结合题干“组内离差平方和最小”的要求，推导该原则对应的目的，再匹配选项即可得出答案。
【解析】
离差平方和是反映一组数据离散程度的统计量：一组数据的离差平方和越大，说明这组数据内部的差异越大；离差平方和越小，说明这组数据内部的差异越小。
题干要求遵循“组内离差平方和最小”的原则进行分组，其目的就是让每组内部的数据差异尽可能小。
分析选项：
A选项“使组内数据差异最大”与结论相反，错误；
B选项“使组内数据差异最小”符合推导结论，正确；
C、D选项描述的是组间数据的差异，与题干“组内”的要求不符，错误。
因此本题选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 离差平方和的意义
2. 数据分组原则
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点要求理解离差平方和与数据离散程度的对应关系，只要掌握相关基础概念就能快速选出正确答案。
【难度系数】
0.8
首先明确本题考查数据分组原则和离差平方和的意义，解题思路分为两步：第一步，回忆离差平方和的作用：它是衡量一组数据离散程度（即数据差异大小）的指标，数值越大代表组内数据差异越大，数值越小代表组内数据差异越小；第二步，结合题干“组内离差平方和最小”的要求，推导该原则对应的目的，再匹配选项即可得出答案。
【解析】
离差平方和是反映一组数据离散程度的统计量：一组数据的离差平方和越大，说明这组数据内部的差异越大；离差平方和越小，说明这组数据内部的差异越小。
题干要求遵循“组内离差平方和最小”的原则进行分组，其目的就是让每组内部的数据差异尽可能小。
分析选项：
A选项“使组内数据差异最大”与结论相反，错误；
B选项“使组内数据差异最小”符合推导结论，正确；
C、D选项描述的是组间数据的差异，与题干“组内”的要求不符，错误。
因此本题选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 离差平方和的意义
2. 数据分组原则
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点要求理解离差平方和与数据离散程度的对应关系，只要掌握相关基础概念就能快速选出正确答案。
【难度系数】
0.8
2. 将数据34,23,21,56,61,57,83,25分成两组,以便找到组内离差平方和最小的分组方法,那么分法有 （
A.6种
B.7种
C.8种
D.9种
B
）A.6种
B.7种
C.8种
D.9种
答案
2. B
解析
【分析】
要解决这个问题，首先要明确离差平方和的相关性质：总离差平方和是固定值，等于两组组内离差平方和的和加上组间离差平方和。因此要让组内离差平方和最小，等价于让组间离差平方和最大。此时最优的分组一定是将排序后的数据在相邻两个数之间划分，也就是一组是排序后前面连续的若干个数，另一组是后面连续的若干个数，这样两组数据没有交叉，组间差异最大。接下来只需要先对数据排序，再数相邻间隔的数量，就能得到符合条件的分法数。
【解析】
1. 首先将题干给出的8个数据从小到大排序：21，23，25，34，56，57，61，83。
2. 根据离差平方和的性质：总离差平方和 = 两组组内离差平方和之和 + 组间离差平方和，总离差平方和为定值，因此要使两组组内离差平方和最小，需使组间离差平方和最大。
3. 当两组数据为排序后的连续两段时，两组数据没有重叠，组间差异最大，组间离差平方和最大。8个排序后的数据之间共有7个相邻的间隔，每一个间隔处划分都对应一种唯一的满足条件的分组方法，因此共有7种分法。
【答案】
B
【知识点】
1. 离差平方和性质
2. 数据离散程度
3. 统计分组原理
【点评】
本题不需要计算所有分组的离差平方和，核心是利用离差平方和的性质转化问题，解题的关键是理解组内离差平方和最小等价于组间离差平方和最大，最优分组为排序后的数据相邻划分，很好地考察了对统计概念的理解和灵活运用能力。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，首先要明确离差平方和的相关性质：总离差平方和是固定值，等于两组组内离差平方和的和加上组间离差平方和。因此要让组内离差平方和最小，等价于让组间离差平方和最大。此时最优的分组一定是将排序后的数据在相邻两个数之间划分，也就是一组是排序后前面连续的若干个数，另一组是后面连续的若干个数，这样两组数据没有交叉，组间差异最大。接下来只需要先对数据排序，再数相邻间隔的数量，就能得到符合条件的分法数。
【解析】
1. 首先将题干给出的8个数据从小到大排序：21，23，25，34，56，57，61，83。
2. 根据离差平方和的性质：总离差平方和 = 两组组内离差平方和之和 + 组间离差平方和，总离差平方和为定值，因此要使两组组内离差平方和最小，需使组间离差平方和最大。
3. 当两组数据为排序后的连续两段时，两组数据没有重叠，组间差异最大，组间离差平方和最大。8个排序后的数据之间共有7个相邻的间隔，每一个间隔处划分都对应一种唯一的满足条件的分组方法，因此共有7种分法。
【答案】
B
【知识点】
1. 离差平方和性质
2. 数据离散程度
3. 统计分组原理
【点评】
本题不需要计算所有分组的离差平方和，核心是利用离差平方和的性质转化问题，解题的关键是理解组内离差平方和最小等价于组间离差平方和最大，最优分组为排序后的数据相邻划分，很好地考察了对统计概念的理解和灵活运用能力。
【难度系数】
0.6
3. 某小组8名学生的数学考试成绩(单位:分)分别为88,98,87,92,92,90,91,96,老师决定将这些成绩分为两组,以便更好地分析学生的成绩分布.若按照以下分组方式:第一组{87,88,90,91,92,92},第二组{96,98},则组内离差平方和为
24
.答案
3. 24
解析
【分析】
要计算组内离差平方和，首先明确其含义为各组内部的离差平方和相加，即先分别计算每组内每个数据与本组平均数的差的平方之和，再把两组的结果相加即可。解题步骤为：①分别计算两组各自的平均数；②分别计算两组的离差平方和；③将两组离差平方和求和得到最终结果。
【解析】
1. 计算第一组的离差平方和
第一组数据为{87,88,90,91,92,92}
第一组平均数：$\bar{x}_1=\frac{87+88+90+91+92+92}{6}=\frac{540}{6}=90$
第一组离差平方和：
$\begin{aligned}S_1&=(87-90)^2+(88-90)^2+(90-90)^2+(91-90)^2+(92-90)^2+(92-90)^2\\&=9+4+0+1+4+4\\&=22\end{aligned}$
2. 计算第二组的离差平方和
第二组数据为{96,98}
第二组平均数：$\bar{x}_2=\frac{96+98}{2}=97$
第二组离差平方和：
$\begin{aligned}S_2&=(96-97)^2+(98-97)^2\\&=1+1\\&=2\end{aligned}$
3. 计算总组内离差平方和
总组内离差平方和$S=S_1+S_2=22+2=24$
【答案】
24
【知识点】
平均数计算，离差平方和计算
【点评】
本题考查对离差平方和概念的理解与基础计算，解题关键是明确组内离差平方和的计算规则，计算过程中注意数值运算的准确性即可得分。
【难度系数】
0.75
要计算组内离差平方和，首先明确其含义为各组内部的离差平方和相加，即先分别计算每组内每个数据与本组平均数的差的平方之和，再把两组的结果相加即可。解题步骤为：①分别计算两组各自的平均数；②分别计算两组的离差平方和；③将两组离差平方和求和得到最终结果。
【解析】
1. 计算第一组的离差平方和
第一组数据为{87,88,90,91,92,92}
第一组平均数：$\bar{x}_1=\frac{87+88+90+91+92+92}{6}=\frac{540}{6}=90$
第一组离差平方和：
$\begin{aligned}S_1&=(87-90)^2+(88-90)^2+(90-90)^2+(91-90)^2+(92-90)^2+(92-90)^2\\&=9+4+0+1+4+4\\&=22\end{aligned}$
2. 计算第二组的离差平方和
第二组数据为{96,98}
第二组平均数：$\bar{x}_2=\frac{96+98}{2}=97$
第二组离差平方和：
$\begin{aligned}S_2&=(96-97)^2+(98-97)^2\\&=1+1\\&=2\end{aligned}$
3. 计算总组内离差平方和
总组内离差平方和$S=S_1+S_2=22+2=24$
【答案】
24
【知识点】
平均数计算，离差平方和计算
【点评】
本题考查对离差平方和概念的理解与基础计算，解题关键是明确组内离差平方和的计算规则，计算过程中注意数值运算的准确性即可得分。
【难度系数】
0.75
4. 在引体向上测试中，5名同学完成的个数分别为13，15，7，9，12.要使个数相差较小的同学分在一组，如表是4种分法的组内离差平方和(结果保留小数点后一位).
根据组内离差平方和最小原则，把这5名同学引体向上的个数分为两组，则正确的分组是
根据组内离差平方和最小原则，把这5名同学引体向上的个数分为两组，则正确的分组是
{7,9},{12,13,15}
.答案
4. {7,9},{12,13,15}.
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要明确组内离差平方和的含义：组内离差平方和越小，说明组内数据的差异越小，分组就越符合“个数相差较小的同学分在一组”的要求。解题时第一步先将5名同学的引体向上个数从小到大排序，确定每个间隔对应的分组情况，第二步对比表格中4种分法的组内离差平方和，找到最小值对应的分组即为正确答案。
【解析】
1. 先将5名同学完成引体向上的个数从小到大排序：7，9，12，13，15。
2. 对比表格中4种分法的组内离差平方和：18.8、6.7、14.7、22.8，其中最小值为6.7，对应第2个间隔的分法。
3. 第2个间隔是排序后9和12之间的间隔，对应分组为第一组{7,9}，第二组{12,13,15}。
【答案】
{7,9},{12,13,15}
【知识点】
离差平方和；数据的离散程度；统计分组原则
【点评】
本题考查离差平方和实际意义的应用，解题核心是理解组内离差平方和越小，组内数据的相似程度越高，只需通过表格数据对比即可得到结果，属于基础应用型题目。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先需要明确组内离差平方和的含义：组内离差平方和越小，说明组内数据的差异越小，分组就越符合“个数相差较小的同学分在一组”的要求。解题时第一步先将5名同学的引体向上个数从小到大排序，确定每个间隔对应的分组情况，第二步对比表格中4种分法的组内离差平方和，找到最小值对应的分组即为正确答案。
【解析】
1. 先将5名同学完成引体向上的个数从小到大排序：7，9，12，13，15。
2. 对比表格中4种分法的组内离差平方和：18.8、6.7、14.7、22.8，其中最小值为6.7，对应第2个间隔的分法。
3. 第2个间隔是排序后9和12之间的间隔，对应分组为第一组{7,9}，第二组{12,13,15}。
【答案】
{7,9},{12,13,15}
【知识点】
离差平方和；数据的离散程度；统计分组原则
【点评】
本题考查离差平方和实际意义的应用，解题核心是理解组内离差平方和越小，组内数据的相似程度越高，只需通过表格数据对比即可得到结果，属于基础应用型题目。
【难度系数】
0.8
5. 某书店记录了6款畅销书的日销量(单位:本),分别为8,10,14,16,18,20.请把这组数据分为两组,每组3个.写出使组内离差平方和最小的分组方式,并计算此时的组内离差平方和.
答案
5. 每组3个.使组内离差平方和最小的分组方式为{8,10,14}和{16,18,20},第1组的平均数=$\frac{1}{3}(8+10+14)=\frac{32}{3}$,第1组的组内离差平方和为$(8-\frac{32}{3})^2+(10-\frac{32}{3})^2+(14-\frac{32}{3})^2=\frac{56}{3}$;第2组的平均数=$\frac{1}{3}(16+18+20)=18$,第2组的组内离差平方和为$(16-18)^2+(18-18)^2+(20-18)^2=8$,所以组内离差平方和=$\frac{56}{3}+8=\frac{80}{3}$.
解析
【分析】
要使两组的组内离差平方和最小，首先需明确：离差平方和反映组内数据的波动程度，组内数据越接近、波动越小，离差平方和就越小。因此我们先将已知数据按从小到大排序：8,10,14,16,18,20，把数值接近的相邻数据分为一组，即可得到最优分组；再分别计算每组的平均数，按离差平方和公式（每个数据与组平均数的差的平方之和）算出两组的离差平方和，相加得到总离差平方和即可。
【解析】
1. 确定最优分组：要让组内数据尽可能集中，因此分组为$\{8,10,14\}$和$\{16,18,20\}$。
2. 计算第一组的离差平方和：
第一组的平均数$\bar{x}_1=\frac{8+10+14}{3}=\frac{32}{3}$，
组内离差平方和$S_1^2=(8-\frac{32}{3})^2+(10-\frac{32}{3})^2+(14-\frac{32}{3})^2$
$=(-\frac{8}{3})^2+(-\frac{2}{3})^2+(\frac{10}{3})^2=\frac{64}{9}+\frac{4}{9}+\frac{100}{9}=\frac{168}{9}=\frac{56}{3}$。
3. 计算第二组的离差平方和：
第二组的平均数$\bar{x}_2=\frac{16+18+20}{3}=18$，
组内离差平方和$S_2^2=(16-18)^2+(18-18)^2+(20-18)^2=4+0+4=8$。
4. 计算总组内离差平方和：
$S^2=S_1^2+S_2^2=\frac{56}{3}+8=\frac{56}{3}+\frac{24}{3}=\frac{80}{3}$。
【答案】
分组方式为$\{8,10,14\}$和$\{16,18,20\}$，此时组内离差平方和为$\frac{80}{3}$。
【知识点】
离差平方和计算；数据的离散程度；平均数计算
【点评】
本题考查对数据离散程度的理解，明确“组内数据越集中，离差平方和越小”是找到最优分组的关键，计算过程中要注意分数运算的准确性，避免计算失误。
【难度系数】
0.7
要使两组的组内离差平方和最小，首先需明确：离差平方和反映组内数据的波动程度，组内数据越接近、波动越小，离差平方和就越小。因此我们先将已知数据按从小到大排序：8,10,14,16,18,20，把数值接近的相邻数据分为一组，即可得到最优分组；再分别计算每组的平均数，按离差平方和公式（每个数据与组平均数的差的平方之和）算出两组的离差平方和，相加得到总离差平方和即可。
【解析】
1. 确定最优分组：要让组内数据尽可能集中，因此分组为$\{8,10,14\}$和$\{16,18,20\}$。
2. 计算第一组的离差平方和：
第一组的平均数$\bar{x}_1=\frac{8+10+14}{3}=\frac{32}{3}$，
组内离差平方和$S_1^2=(8-\frac{32}{3})^2+(10-\frac{32}{3})^2+(14-\frac{32}{3})^2$
$=(-\frac{8}{3})^2+(-\frac{2}{3})^2+(\frac{10}{3})^2=\frac{64}{9}+\frac{4}{9}+\frac{100}{9}=\frac{168}{9}=\frac{56}{3}$。
3. 计算第二组的离差平方和：
第二组的平均数$\bar{x}_2=\frac{16+18+20}{3}=18$，
组内离差平方和$S_2^2=(16-18)^2+(18-18)^2+(20-18)^2=4+0+4=8$。
4. 计算总组内离差平方和：
$S^2=S_1^2+S_2^2=\frac{56}{3}+8=\frac{56}{3}+\frac{24}{3}=\frac{80}{3}$。
【答案】
分组方式为$\{8,10,14\}$和$\{16,18,20\}$，此时组内离差平方和为$\frac{80}{3}$。
【知识点】
离差平方和计算；数据的离散程度；平均数计算
【点评】
本题考查对数据离散程度的理解，明确“组内数据越集中，离差平方和越小”是找到最优分组的关键，计算过程中要注意分数运算的准确性，避免计算失误。
【难度系数】
0.7
6. 把数据2,8,10,4,12按大小顺序分成两组,能使“组内离差平方和达到最小”的是 （
A.2为一组,4,8,10,12为一组
B.2,4为一组,8,10,12为一组
C.2,4,8为一组,10,12为一组
D.2,4,8,10为一组,12为一组
B
）A.2为一组,4,8,10,12为一组
B.2,4为一组,8,10,12为一组
C.2,4,8为一组,10,12为一组
D.2,4,8,10为一组,12为一组
答案
6. B
解析
【分析】
要使组内离差平方和最小，本质是让两组数据各自的离散程度尽可能小，也就是同组内的数据越接近越好。解题时可以先将数据从小到大排序，有两种解题思路：一是分别计算每个选项两组的离差平方和之和，比较大小选择最小的即可；二是找排序后相邻数据差值最大的位置，在该位置分组就能保证两组离散程度都最小，方法更简便。
【解析】
首先将原数据按从小到大排序：2，4，8，10，12。
组内离差平方和是组内每个数据与组平均数的差的平方之和，我们计算各选项的总离差平方和：
A选项：第一组{2}，离差平方和为0；第二组平均数=(4+8+10+12)÷4=8.5，离差平方和=(4-8.5)²+(8-8.5)²+(10-8.5)²+(12-8.5)²=35，总和=0+35=35。
B选项：第一组平均数=(2+4)÷2=3，离差平方和=(2-3)²+(4-3)²=2；第二组平均数=(8+10+12)÷3=10，离差平方和=(8-10)²+(10-10)²+(12-10)²=8，总和=2+8=10。
C选项：第一组平均数=(2+4+8)÷3=$\frac{14}{3}$，离差平方和=$(2-\frac{14}{3})²+(4-\frac{14}{3})²+(8-\frac{14}{3})²$≈18.67；第二组平均数=11，离差平方和=2，总和≈20.67。
D选项：第一组平均数=(2+4+8+10)÷4=6，离差平方和=(2-6)²+(4-6)²+(8-6)²+(10-6)²=40；第二组离差平方和为0，总和=40。
比较可知B选项的总离差平方和最小。
（简便方法：排序后相邻数据差值分别为2、4、2、2，最大差值在4和8之间，在此处分组即可，对应2、4为一组，8、10、12为一组。）
【答案】
B
【知识点】
离差平方和，数据的离散程度，平均数计算
【点评】
本题考查对数据离散程度的理解应用，既可以通过计算验证得到结果，也可以通过观察有序数据的间隔快速定位分组点，解题时注意计算平均数和平方运算的准确性即可。
【难度系数】
0.7
要使组内离差平方和最小，本质是让两组数据各自的离散程度尽可能小，也就是同组内的数据越接近越好。解题时可以先将数据从小到大排序，有两种解题思路：一是分别计算每个选项两组的离差平方和之和，比较大小选择最小的即可；二是找排序后相邻数据差值最大的位置，在该位置分组就能保证两组离散程度都最小，方法更简便。
【解析】
首先将原数据按从小到大排序：2，4，8，10，12。
组内离差平方和是组内每个数据与组平均数的差的平方之和，我们计算各选项的总离差平方和：
A选项：第一组{2}，离差平方和为0；第二组平均数=(4+8+10+12)÷4=8.5，离差平方和=(4-8.5)²+(8-8.5)²+(10-8.5)²+(12-8.5)²=35，总和=0+35=35。
B选项：第一组平均数=(2+4)÷2=3，离差平方和=(2-3)²+(4-3)²=2；第二组平均数=(8+10+12)÷3=10，离差平方和=(8-10)²+(10-10)²+(12-10)²=8，总和=2+8=10。
C选项：第一组平均数=(2+4+8)÷3=$\frac{14}{3}$，离差平方和=$(2-\frac{14}{3})²+(4-\frac{14}{3})²+(8-\frac{14}{3})²$≈18.67；第二组平均数=11，离差平方和=2，总和≈20.67。
D选项：第一组平均数=(2+4+8+10)÷4=6，离差平方和=(2-6)²+(4-6)²+(8-6)²+(10-6)²=40；第二组离差平方和为0，总和=40。
比较可知B选项的总离差平方和最小。
（简便方法：排序后相邻数据差值分别为2、4、2、2，最大差值在4和8之间，在此处分组即可，对应2、4为一组，8、10、12为一组。）
【答案】
B
【知识点】
离差平方和，数据的离散程度，平均数计算
【点评】
本题考查对数据离散程度的理解应用，既可以通过计算验证得到结果，也可以通过观察有序数据的间隔快速定位分组点，解题时注意计算平均数和平方运算的准确性即可。
【难度系数】
0.7
7. 已知有8个苹果，它们的直径(单位:mm)分别为:71,72,73,76,78,80,80,81.
(1) 直接写出这8个苹果直径的众数、中位数和第三四分位数；
(2) 现要将这8个苹果按直径大小分成两组，使得每组苹果的“个头”差不多.如表是两种不同的分法，请按照“组内离差平方和最小”原则，判断下表哪种分法更合理.
(1) 直接写出这8个苹果直径的众数、中位数和第三四分位数；
(2) 现要将这8个苹果按直径大小分成两组，使得每组苹果的“个头”差不多.如表是两种不同的分法，请按照“组内离差平方和最小”原则，判断下表哪种分法更合理.
答案
7. (1) 分别按照众数、中位数、第三四分位数的定义可知:71,72,73,76,78,80,80,81,80出现了两次、次数最多,则众数为80;中位数为$\frac{76+78}{2}=77$;第5-8个数据的中间的两个数据为80和80,则第三四分位数为$\frac{80+80}{2}=80$.
(2) 在第二种分法中,第一组的平均数$\overline{x}_1=\frac{71+72+73}{3}=72$,第二组的平均数$\overline{x}_2=\frac{76+78+80+80+81}{5}=79$.这两组的组内离差平方和分别为:第一组的离差平方和=$(71-72)^2+(72-72)^2+(73-72)^2=2$,第二组的离差平方和$(76-79)^2+(78-79)^2+(80-79)^2+(80-79)^2+(81-79)^2=16$. $\therefore$ 第二种分法的组内离差平方和为:$a=2+16=18$. $\therefore$ 按照“组内离差平方和最小”原则,第二种分法更合理.
(2) 在第二种分法中,第一组的平均数$\overline{x}_1=\frac{71+72+73}{3}=72$,第二组的平均数$\overline{x}_2=\frac{76+78+80+80+81}{5}=79$.这两组的组内离差平方和分别为:第一组的离差平方和=$(71-72)^2+(72-72)^2+(73-72)^2=2$,第二组的离差平方和$(76-79)^2+(78-79)^2+(80-79)^2+(80-79)^2+(81-79)^2=16$. $\therefore$ 第二种分法的组内离差平方和为:$a=2+16=18$. $\therefore$ 按照“组内离差平方和最小”原则,第二种分法更合理.
解析
【分析】
(1) 求解第一问时，先将8个苹果的直径按从小到大排序，再分别对应概念计算：众数是一组数据中出现次数最多的数；中位数是排序后位于中间位置的数，数据个数为偶数时取中间两个数的平均数；第三四分位数即75%分位数，计算位置为总个数×75%，若结果为整数则取该位置和后一位置数据的平均数即可。
(2) 求解第二问时，先分别计算第二种分法中两组数据的平均数，再计算每组的离差平方和（组内每个数据与组平均数的差的平方之和），求和得到第二种分法的总组内离差平方和，再和第一种分法的离差平方和比较，数值更小的分法更符合要求。
【解析】
(1) 将8个苹果直径从小到大排序为：$71,72,73,76,78,80,80,81$。
① 众数：数据中80共出现2次，出现次数最多，因此众数为$80$；
② 中位数：共8个数据，中间位置为第4、5个数据，分别是76和78，因此中位数为$\frac{76+78}{2}=77$；
③ 第三四分位数：$8×75\%=6$，即取第6、7个数据的平均数，两个数均为80，因此第三四分位数为$\frac{80+80}{2}=80$。
(2) 计算第二种分法的组内离差平方和：
第一组数据为$71,72,73$，其平均数$\overline{x}_1=\frac{71+72+73}{3}=72$，
第一组离差平方和：$(71-72)^2+(72-72)^2+(73-72)^2=1+0+1=2$；
第二组数据为$76,78,80,80,81$，其平均数$\overline{x}_2=\frac{76+78+80+80+81}{5}=79$，
第二组离差平方和：$(76-79)^2+(78-79)^2+(80-79)^2+(80-79)^2+(81-79)^2=9+1+1+1+4=16$；
因此第二种分法的总组内离差平方和$a=2+16=18$。
因为$18＜18.75$，根据“组内离差平方和最小”原则，第二种分法更合理。
【答案】
(1) 众数为$\boxed{80}$，中位数为$\boxed{77}$，第三四分位数为$\boxed{80}$；
(2) $\boxed{第二种分法}$更合理。
【知识点】
统计特征数计算，离差平方和，数据离散程度应用
【点评】
本题结合生活实际考查统计知识的应用，既需要熟练掌握众数、中位数、四分位数等常见统计量的计算方法，又需要理解离差平方和反映组内数据离散程度的意义，侧重对基础概念的理解和基础计算能力的考查。
【难度系数】
0.7
(1) 求解第一问时，先将8个苹果的直径按从小到大排序，再分别对应概念计算：众数是一组数据中出现次数最多的数；中位数是排序后位于中间位置的数，数据个数为偶数时取中间两个数的平均数；第三四分位数即75%分位数，计算位置为总个数×75%，若结果为整数则取该位置和后一位置数据的平均数即可。
(2) 求解第二问时，先分别计算第二种分法中两组数据的平均数，再计算每组的离差平方和（组内每个数据与组平均数的差的平方之和），求和得到第二种分法的总组内离差平方和，再和第一种分法的离差平方和比较，数值更小的分法更符合要求。
【解析】
(1) 将8个苹果直径从小到大排序为：$71,72,73,76,78,80,80,81$。
① 众数：数据中80共出现2次，出现次数最多，因此众数为$80$；
② 中位数：共8个数据，中间位置为第4、5个数据，分别是76和78，因此中位数为$\frac{76+78}{2}=77$；
③ 第三四分位数：$8×75\%=6$，即取第6、7个数据的平均数，两个数均为80，因此第三四分位数为$\frac{80+80}{2}=80$。
(2) 计算第二种分法的组内离差平方和：
第一组数据为$71,72,73$，其平均数$\overline{x}_1=\frac{71+72+73}{3}=72$，
第一组离差平方和：$(71-72)^2+(72-72)^2+(73-72)^2=1+0+1=2$；
第二组数据为$76,78,80,80,81$，其平均数$\overline{x}_2=\frac{76+78+80+80+81}{5}=79$，
第二组离差平方和：$(76-79)^2+(78-79)^2+(80-79)^2+(80-79)^2+(81-79)^2=9+1+1+1+4=16$；
因此第二种分法的总组内离差平方和$a=2+16=18$。
因为$18＜18.75$，根据“组内离差平方和最小”原则，第二种分法更合理。
【答案】
(1) 众数为$\boxed{80}$，中位数为$\boxed{77}$，第三四分位数为$\boxed{80}$；
(2) $\boxed{第二种分法}$更合理。
【知识点】
统计特征数计算，离差平方和，数据离散程度应用
【点评】
本题结合生活实际考查统计知识的应用，既需要熟练掌握众数、中位数、四分位数等常见统计量的计算方法，又需要理解离差平方和反映组内数据离散程度的意义，侧重对基础概念的理解和基础计算能力的考查。
【难度系数】
0.7
