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9. 为了从甲、乙两名选手中选拔一个参加射击比赛，现对他们进行一次测验，两个人在相同条件下各射靶10次，为了比较两人的成绩，制作了如下统计图表：
甲、乙射击成绩统计表
| | 平均数 | 中位数 | 方差 | 命中10环的次数 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| 甲 | 7 | | | 0 |
| 乙 | | | | 1 |
（1）请补全上述图表（请直接在表中填空和补全折线图）；
（2）如果规定成绩较稳定者胜出，你认为谁应胜出？说明你的理由；
（3）如果希望（2）中的另一名选手胜出，根据图表中的信息，应该制订怎样的评判规则？为什么？
甲、乙射击成绩统计表
| | 平均数 | 中位数 | 方差 | 命中10环的次数 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| 甲 | 7 | | | 0 |
| 乙 | | | | 1 |
（1）请补全上述图表（请直接在表中填空和补全折线图）；
（2）如果规定成绩较稳定者胜出，你认为谁应胜出？说明你的理由；
（3）如果希望（2）中的另一名选手胜出，根据图表中的信息，应该制订怎样的评判规则？为什么？
答案
9. (1) 根据折线统计图得乙的射击成绩为:2,4,6,8,7,7,8,9,9,10,则平均数为$\frac{2+4+6+8+7+7+8+9+9+10}{10}=7$(环),中位数为7.5环,方差为$\frac{1}{10}[(2-7)^2+(4-7)^2+(6-7)^2+(8-7)^2+(7-7)^2+(7-7)^2+(8-7)^2+(9-7)^2+(9-7)^2+(10-7)^2]=5.4$(环);甲的射击成绩为9,6,7,6,2,7,7,8,9,平均数为7,则甲第八环成绩为70-(9+6+7+6+2+7+7+8+9)=9(环),所以中位数为7,方差为$\frac{1}{10}[(2-7)^2+(9-7)^2+(6-7)^2+(6-7)^2+(7-7)^2+(7-7)^2+(7-7)^2+(9-7)^2+(9-7)^2+(8-7)^2]=4$,补全如下:甲、乙射击成绩统计表 甲、乙射击成绩折线图
；（2）由乙的方差大于甲的方差，得到甲胜出；
（3）希望乙胜出，应该制订的评判规则为平均成绩高的胜出；若平均成绩相同，则随着比赛的进行，发挥越来越好者或命中10环次数多者胜出.
解析
【分析】
解题思路如下：
1. 解决第(1)问：首先从折线统计图读取甲、乙的射击成绩，甲已知平均数为7，先计算10次总环数为$7×10=70$，用总环数减去已知9次的成绩得到缺失的成绩，再将甲乙的成绩分别排序，计算中位数，再根据方差公式计算方差，同时补全折线图。
2. 解决第(2)问：成绩稳定性由方差判断，方差越小成绩越稳定，比较甲乙的方差大小即可得出胜出者。
3. 解决第(3)问：要让乙胜出，需要找到乙成绩的优势维度，比如乙命中10环的次数更多、后期成绩呈上升趋势、中位数更高，从这些角度制定评判规则即可。
【解析】
(1) ①先统计乙的10次射击成绩：从折线图得为2,4,6,7,7,8,8,9,9,10
乙的平均数：$\bar{x}_乙=\frac{2+4+6+7+7+8+8+9+9+10}{10}=7$（环）
乙的成绩排序后第5、6位为7和8，中位数为$\frac{7+8}{2}=7.5$（环）
乙的方差：$s^2_乙=\frac{1}{10}[(2-7)^2+(4-7)^2+(6-7)^2+(7-7)^2+(7-7)^2+(8-7)^2+(8-7)^2+(9-7)^2+(9-7)^2+(10-7)^2]=5.4$
②再统计甲的10次射击成绩：已知平均数为7，总环数为70，读取折线图已知9次成绩为9,6,7,6,2,7,7,8,9，缺失的第8次成绩为$70-(9+6+7+6+2+7+7+8+9)=9$，即甲的成绩为2,6,6,7,7,7,8,9,9,9
甲的成绩排序后第5、6位均为7，中位数为$\frac{7+7}{2}=7$（环）
甲的方差：$s^2_甲=\frac{1}{10}[(2-7)^2+(6-7)^2+(6-7)^2+(7-7)^2+(7-7)^2+(7-7)^2+(8-7)^2+(9-7)^2+(9-7)^2+(9-7)^2]=4$
补全统计表和折线图即可。
(2) 方差是衡量数据波动程度的统计量，方差越小数据越稳定。已知$s^2_甲=4＜s^2_乙=5.4$，说明甲的成绩更稳定，因此甲胜出。
(3) 观察数据可知乙的优势为：命中10环的次数更多，且成绩整体呈上升趋势，中位数更高。因此可制定规则：平均成绩相同的情况下，命中10环次数多的胜出（或中位数高的胜出、后期发挥越来越好的胜出），此时乙可胜出。
【答案】
(1) 补全后的统计表：
| | 平均数 | 中位数 | 方差 | 命中10环的次数 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| 甲 | 7 | 7 | 4 | 0 |
| 乙 | 7 | 7.5 | 5.4 | 1 |
补全折线图：；
(2) 甲胜出，理由是甲的方差小于乙的方差，甲的成绩更稳定；
(3) 规则：平均成绩高的胜出；若平均成绩相同，则命中10环次数多者胜出（或发挥越来越好者、中位数更高者胜出）。因为乙命中10环次数更多，且成绩整体呈上升趋势，中位数更高，按该规则乙可胜出。
【知识点】
折线统计图应用，平均数与中位数计算，方差的意义
【点评】
本题结合实际射击比赛的选拔场景，考查了统计图表的读取、常用统计量的计算以及统计量的实际应用，要求学生能够理解不同统计量代表的实际意义，并能根据需求选择合适的统计量做决策。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：
1. 解决第(1)问：首先从折线统计图读取甲、乙的射击成绩，甲已知平均数为7，先计算10次总环数为$7×10=70$，用总环数减去已知9次的成绩得到缺失的成绩，再将甲乙的成绩分别排序，计算中位数，再根据方差公式计算方差，同时补全折线图。
2. 解决第(2)问：成绩稳定性由方差判断，方差越小成绩越稳定，比较甲乙的方差大小即可得出胜出者。
3. 解决第(3)问：要让乙胜出，需要找到乙成绩的优势维度，比如乙命中10环的次数更多、后期成绩呈上升趋势、中位数更高，从这些角度制定评判规则即可。
【解析】
(1) ①先统计乙的10次射击成绩：从折线图得为2,4,6,7,7,8,8,9,9,10
乙的平均数：$\bar{x}_乙=\frac{2+4+6+7+7+8+8+9+9+10}{10}=7$（环）
乙的成绩排序后第5、6位为7和8，中位数为$\frac{7+8}{2}=7.5$（环）
乙的方差：$s^2_乙=\frac{1}{10}[(2-7)^2+(4-7)^2+(6-7)^2+(7-7)^2+(7-7)^2+(8-7)^2+(8-7)^2+(9-7)^2+(9-7)^2+(10-7)^2]=5.4$
②再统计甲的10次射击成绩：已知平均数为7，总环数为70，读取折线图已知9次成绩为9,6,7,6,2,7,7,8,9，缺失的第8次成绩为$70-(9+6+7+6+2+7+7+8+9)=9$，即甲的成绩为2,6,6,7,7,7,8,9,9,9
甲的成绩排序后第5、6位均为7，中位数为$\frac{7+7}{2}=7$（环）
甲的方差：$s^2_甲=\frac{1}{10}[(2-7)^2+(6-7)^2+(6-7)^2+(7-7)^2+(7-7)^2+(7-7)^2+(8-7)^2+(9-7)^2+(9-7)^2+(9-7)^2]=4$
补全统计表和折线图即可。
(2) 方差是衡量数据波动程度的统计量，方差越小数据越稳定。已知$s^2_甲=4＜s^2_乙=5.4$，说明甲的成绩更稳定，因此甲胜出。
(3) 观察数据可知乙的优势为：命中10环的次数更多，且成绩整体呈上升趋势，中位数更高。因此可制定规则：平均成绩相同的情况下，命中10环次数多的胜出（或中位数高的胜出、后期发挥越来越好的胜出），此时乙可胜出。
【答案】
(1) 补全后的统计表：
| | 平均数 | 中位数 | 方差 | 命中10环的次数 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| 甲 | 7 | 7 | 4 | 0 |
| 乙 | 7 | 7.5 | 5.4 | 1 |
补全折线图：
；(2) 甲胜出，理由是甲的方差小于乙的方差，甲的成绩更稳定；
(3) 规则：平均成绩高的胜出；若平均成绩相同，则命中10环次数多者胜出（或发挥越来越好者、中位数更高者胜出）。因为乙命中10环次数更多，且成绩整体呈上升趋势，中位数更高，按该规则乙可胜出。
【知识点】
折线统计图应用，平均数与中位数计算，方差的意义
【点评】
本题结合实际射击比赛的选拔场景，考查了统计图表的读取、常用统计量的计算以及统计量的实际应用，要求学生能够理解不同统计量代表的实际意义，并能根据需求选择合适的统计量做决策。
【难度系数】
0.7
10.（2025·福建）甲、乙两人是新华高级中学数学兴趣小组成员.以下是他们在参加高中数学联赛预备队员集训期间的测试成绩及当地近五年高中数学联赛的相关信息.
信息一:甲、乙两人集训期间的测试成绩(单位:分)
其中,甲、乙成绩的平均数分别是$\bar{x}_甲=85,\bar{x}_乙=85$;方差分别是$s^2_甲=58.4,s^2_乙=a$.
信息二:当地近五年高中数学联赛获奖分数线(单位:分)
试根据以上信息及你所学的统计学知识,解决以下问题:
(1)计算$a$的值,并根据平均数与方差对甲、乙的成绩进行评价;
(2)计算当地近五年高中数学联赛获奖分数线的平均数,并说明:若要从中选择一人参加高中数学联赛,选谁更合适;
(3)若要从中选择一人参加进一步的培养,从发展潜能的角度考虑,你认为选谁更合适?为什么?
信息一:甲、乙两人集训期间的测试成绩(单位:分)
其中,甲、乙成绩的平均数分别是$\bar{x}_甲=85,\bar{x}_乙=85$;方差分别是$s^2_甲=58.4,s^2_乙=a$.
信息二:当地近五年高中数学联赛获奖分数线(单位:分)
试根据以上信息及你所学的统计学知识,解决以下问题:
(1)计算$a$的值,并根据平均数与方差对甲、乙的成绩进行评价;
(2)计算当地近五年高中数学联赛获奖分数线的平均数,并说明:若要从中选择一人参加高中数学联赛,选谁更合适;
(3)若要从中选择一人参加进一步的培养,从发展潜能的角度考虑,你认为选谁更合适?为什么?
答案
10. (1) 由题意得:$a=\frac{1}{10}×[2×(82-85)^2+2×(83-85)^2+(84-85)^2+(85-85)^2+2×(86-85)^2+(87-85)^2+(92-85)^2]=8.2$,两人的平均数相同,但乙的方差比甲小,所以乙的成绩更稳定；
（2）选甲更合适,理由如下:因为当地近五年高中数学联赛获奖分数的平均数为:$\frac{90+89+90+89+90}{5}=89.6$,在两个人的10次成绩中,甲有4次超过89.6,乙只有1次超过89.6,所以甲获奖的概率更高,所以选甲更合适；
（3）选甲更合适,理由如下:因为在两个10次成绩中,甲有4次达到90分或90以上,乙只有1次达到90分或90以上,所以选甲更合适.
（2）选甲更合适,理由如下:因为当地近五年高中数学联赛获奖分数的平均数为:$\frac{90+89+90+89+90}{5}=89.6$,在两个人的10次成绩中,甲有4次超过89.6,乙只有1次超过89.6,所以甲获奖的概率更高,所以选甲更合适；
（3）选甲更合适,理由如下:因为在两个10次成绩中,甲有4次达到90分或90以上,乙只有1次达到90分或90以上,所以选甲更合适.
解析
【分析】
（1）第一小问先回忆方差的计算公式：方差是各数据与平均数差的平方的平均值。先明确乙的10次成绩的分布，代入公式即可算出a的值；两人平均数相同时，方差越小说明成绩波动越小、越稳定，据此评价两人成绩即可。
（2）第二小问先利用平均数公式算出近五年获奖分数线的平均数，再统计甲乙两人成绩超过该平均数的次数，次数越多说明获奖概率越高，更适合参赛。
（3）第三小问发展潜能主要参考高分段表现，统计两人90分及以上的成绩次数，次数越多说明高分潜力越强。
【解析】
(1) 根据方差计算公式，已知$\bar{x}_乙=85$，乙的10次成绩为2次82、2次83、1次84、1次85、2次86、1次87、1次92，代入得：
$a=\frac{1}{10}×[2×(82-85)^2+2×(83-85)^2+(84-85)^2+(85-85)^2+2×(86-85)^2+(87-85)^2+(92-85)^2]=8.2$
两人平均成绩相同，$s^2_乙=8.2＜s^2_甲=58.4$，因此乙的成绩更稳定。
(2) 先计算近五年获奖分数线的平均数：
$\bar{x}_{获奖}=\frac{90+89+90+89+90}{5}=89.6$（分）
统计得甲有4次成绩超过89.6分，乙仅有1次超过89.6分，甲达到获奖分数线的概率更高，因此选甲参加联赛更合适。
(3) 从发展潜能角度选甲更合适，理由：统计得甲有4次成绩达到90分及以上，乙仅有1次达到90分及以上，甲的高分表现更突出，发展潜能更强。
【答案】
(1) $a=8.2$，两人平均数相同，乙的成绩更稳定；
(2) 近五年获奖分数线平均数为89.6分，选甲参加联赛更合适，甲成绩超过获奖分数线的次数更多，获奖概率更高；
(3) 选甲更合适，甲90分及以上的高分次数更多，发展潜能更强。
【知识点】
方差的计算、平均数的计算、统计量的实际应用
【点评】
本题结合竞赛选拔的实际场景，既考查了平均数、方差的基础计算能力，也要求学生能结合实际需求分析不同统计量的意义，做出合理决策，贴合统计知识的应用属性。
【难度系数】
0.7
（1）第一小问先回忆方差的计算公式：方差是各数据与平均数差的平方的平均值。先明确乙的10次成绩的分布，代入公式即可算出a的值；两人平均数相同时，方差越小说明成绩波动越小、越稳定，据此评价两人成绩即可。
（2）第二小问先利用平均数公式算出近五年获奖分数线的平均数，再统计甲乙两人成绩超过该平均数的次数，次数越多说明获奖概率越高，更适合参赛。
（3）第三小问发展潜能主要参考高分段表现，统计两人90分及以上的成绩次数，次数越多说明高分潜力越强。
【解析】
(1) 根据方差计算公式，已知$\bar{x}_乙=85$，乙的10次成绩为2次82、2次83、1次84、1次85、2次86、1次87、1次92，代入得：
$a=\frac{1}{10}×[2×(82-85)^2+2×(83-85)^2+(84-85)^2+(85-85)^2+2×(86-85)^2+(87-85)^2+(92-85)^2]=8.2$
两人平均成绩相同，$s^2_乙=8.2＜s^2_甲=58.4$，因此乙的成绩更稳定。
(2) 先计算近五年获奖分数线的平均数：
$\bar{x}_{获奖}=\frac{90+89+90+89+90}{5}=89.6$（分）
统计得甲有4次成绩超过89.6分，乙仅有1次超过89.6分，甲达到获奖分数线的概率更高，因此选甲参加联赛更合适。
(3) 从发展潜能角度选甲更合适，理由：统计得甲有4次成绩达到90分及以上，乙仅有1次达到90分及以上，甲的高分表现更突出，发展潜能更强。
【答案】
(1) $a=8.2$，两人平均数相同，乙的成绩更稳定；
(2) 近五年获奖分数线平均数为89.6分，选甲参加联赛更合适，甲成绩超过获奖分数线的次数更多，获奖概率更高；
(3) 选甲更合适，甲90分及以上的高分次数更多，发展潜能更强。
【知识点】
方差的计算、平均数的计算、统计量的实际应用
【点评】
本题结合竞赛选拔的实际场景，既考查了平均数、方差的基础计算能力，也要求学生能结合实际需求分析不同统计量的意义，做出合理决策，贴合统计知识的应用属性。
【难度系数】
0.7
