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11. (2024·福建)已知A,B两地都只有甲、乙两类普通高中学校.在一次普通高中学业水平考试中,A地甲类学校有考生3000人,数学平均分为90分;乙类学校有考生2000人,数学平均分为80分.
(1) 求A地考生的数学平均分;
(2) 若B地甲类学校数学平均分为94分,乙类学校数学平均分为82分,据此,能否判断B地考生数学平均分一定比A地考生数学平均分高?若能,请给予证明;若不能,请举例说明.
(1) 求A地考生的数学平均分;
(2) 若B地甲类学校数学平均分为94分,乙类学校数学平均分为82分,据此,能否判断B地考生数学平均分一定比A地考生数学平均分高?若能,请给予证明;若不能,请举例说明.
答案
11. (1) 由题意,得A地考生的数学平均分为$\dfrac{1}{5\ 000}(90×3\ 000+80×2\ 000)=86$(分).
(2) 不能.举例如下:如B地甲类学校有考生1 000人,乙类学校有考生3 000人,则B地考生的数学平均分为$\dfrac{1}{4\ 000}(94×1\ 000+82×3\ 000)=85$(分),因为85＜86,所以不能判断B地考生数学平均分一定比A地考生数学平均分高(答案不唯一,只要学生能作出正确判断,并且所举的例子能说明其判断即可).
(2) 不能.举例如下:如B地甲类学校有考生1 000人,乙类学校有考生3 000人,则B地考生的数学平均分为$\dfrac{1}{4\ 000}(94×1\ 000+82×3\ 000)=85$(分),因为85＜86,所以不能判断B地考生数学平均分一定比A地考生数学平均分高(答案不唯一,只要学生能作出正确判断,并且所举的例子能说明其判断即可).
解析
【分析】
（1）计算地区考生的数学平均分本质是加权平均数的应用，需用该地区所有考生的数学总分数除以总考生人数，其中两类学校的考生人数就是对应平均分的权重。解题时先分别算出A地甲、乙两类学校考生的数学总得分，求和得到A地考生总得分，再除以A地总考生数即可求出结果。
（2）B地的考生数学平均分同样由两类学校的平均分和对应考生人数（权重）共同决定，题目未给出B地两类学校的考生人数，因此无法确定B地的平均分，不能直接判断B地平均分更高。举反例时可设置B地甲类学校考生占比远低于乙类学校的情况，只要算出的B地平均分低于A地的86分即可验证结论。
【解析】
（1）A地总考生人数为：$3000+2000=5000$（人）
A地考生数学总分数为：$90×3000 + 80×2000=270000+160000=430000$（分）
因此A地考生的数学平均分为：$\dfrac{430000}{5000}=86$（分）
（2）不能判断，举例如下：
假设B地甲类学校有考生1000人，乙类学校有考生3000人，
B地总考生人数为：$1000+3000=4000$（人）
B地考生数学总分数为：$94×1000 + 82×3000=94000+246000=340000$（分）
此时B地考生的数学平均分为：$\dfrac{340000}{4000}=85$（分）
因为$85＜86$，即存在B地平均分低于A地的情况，所以不能判断B地考生数学平均分一定比A地高。（例子不唯一，合理即可）
【答案】
(1) 86分；
(2) 不能，如B地甲类学校有考生1000人，乙类学校有考生3000人时，B地考生数学平均分为85分，低于A地的86分，因此无法判断（答案不唯一，合理即可）。
【知识点】
加权平均数、平均数计算、统计合理性判断
【点评】
本题聚焦加权平均数的实际应用，既考查了基础的计算能力，又引导学生理解权重对整体平均数的影响，能够培养学生严谨的数据分析思维，避免出现忽略权重、直接比较分组平均分的典型错误。
【难度系数】
0.75
（1）计算地区考生的数学平均分本质是加权平均数的应用，需用该地区所有考生的数学总分数除以总考生人数，其中两类学校的考生人数就是对应平均分的权重。解题时先分别算出A地甲、乙两类学校考生的数学总得分，求和得到A地考生总得分，再除以A地总考生数即可求出结果。
（2）B地的考生数学平均分同样由两类学校的平均分和对应考生人数（权重）共同决定，题目未给出B地两类学校的考生人数，因此无法确定B地的平均分，不能直接判断B地平均分更高。举反例时可设置B地甲类学校考生占比远低于乙类学校的情况，只要算出的B地平均分低于A地的86分即可验证结论。
【解析】
（1）A地总考生人数为：$3000+2000=5000$（人）
A地考生数学总分数为：$90×3000 + 80×2000=270000+160000=430000$（分）
因此A地考生的数学平均分为：$\dfrac{430000}{5000}=86$（分）
（2）不能判断，举例如下：
假设B地甲类学校有考生1000人，乙类学校有考生3000人，
B地总考生人数为：$1000+3000=4000$（人）
B地考生数学总分数为：$94×1000 + 82×3000=94000+246000=340000$（分）
此时B地考生的数学平均分为：$\dfrac{340000}{4000}=85$（分）
因为$85＜86$，即存在B地平均分低于A地的情况，所以不能判断B地考生数学平均分一定比A地高。（例子不唯一，合理即可）
【答案】
(1) 86分；
(2) 不能，如B地甲类学校有考生1000人，乙类学校有考生3000人时，B地考生数学平均分为85分，低于A地的86分，因此无法判断（答案不唯一，合理即可）。
【知识点】
加权平均数、平均数计算、统计合理性判断
【点评】
本题聚焦加权平均数的实际应用，既考查了基础的计算能力，又引导学生理解权重对整体平均数的影响，能够培养学生严谨的数据分析思维，避免出现忽略权重、直接比较分组平均分的典型错误。
【难度系数】
0.75
12. 花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售，如果当天买不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理.
(1) 若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y(单位:元)关于当天需求量n(单位:枝，n是自然数)的函数解析式；
(2) 花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位:枝)，整理如下：
① 花店在这100天每天均购进16枝玫瑰，求这100天的平均日利润；
② 花店依据这100天记录的日需求量，计划后续每天购进17枝玫瑰从盈利的角度分析，你认为花店的决策是否正确？
(1) 若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y(单位:元)关于当天需求量n(单位:枝，n是自然数)的函数解析式；
(2) 花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位:枝)，整理如下：
① 花店在这100天每天均购进16枝玫瑰，求这100天的平均日利润；
② 花店依据这100天记录的日需求量，计划后续每天购进17枝玫瑰从盈利的角度分析，你认为花店的决策是否正确？
答案
12. (1) 当$n≥16$时,$y=16×(10-5)=80$;当$n≤15$时,$y=5n-5(16-n)=10n-80$,$\therefore\ y=\begin{cases}10n-80(n≤15)\\80(n≥16)\end{cases}$；
(2) ① $n=14$时,$y=10n-80=60$,$n=15$时,$y=10n-80=70$,$n≥16$时,$y=80$,$\therefore$ 这100天的平均日利润为:$\dfrac{60×10+70×20+80×(16+16+15+13+10)}{100}=76$(元)；
② 当购进16枝时,利润为$(14×5-2×5)×0.1+(15×5-5)×0.2+16×5×(1-0.1-0.2)=76$(元),当购进17枝时,利润为$(14×5-3×5)×0.1+(15×5-2×5)×0.2+(16×5-5)×0.16+17×5×(1-0.1-0.2-0.16)=76.4$(元),$\because\ 76＜76.4$,$\therefore$ 后续每天购进17枝玫瑰盈利更多,$\therefore$ 花店的决策是正确的.
(2) ① $n=14$时,$y=10n-80=60$,$n=15$时,$y=10n-80=70$,$n≥16$时,$y=80$,$\therefore$ 这100天的平均日利润为:$\dfrac{60×10+70×20+80×(16+16+15+13+10)}{100}=76$(元)；
② 当购进16枝时,利润为$(14×5-2×5)×0.1+(15×5-5)×0.2+16×5×(1-0.1-0.2)=76$(元),当购进17枝时,利润为$(14×5-3×5)×0.1+(15×5-2×5)×0.2+(16×5-5)×0.16+17×5×(1-0.1-0.2-0.16)=76.4$(元),$\because\ 76＜76.4$,$\therefore$ 后续每天购进17枝玫瑰盈利更多,$\therefore$ 花店的决策是正确的.
解析
【分析】
(1) 求利润函数需分两种情况讨论：①当日需求量$n≥16$时，购进的16枝玫瑰花全部售完，利润固定；②当日需求量$n≤15$时，仅售出$n$枝，剩余的玫瑰花报废亏损，根据“利润=总收入-总成本”即可列出对应解析式。
(2) ①计算100天平均日利润，先根据(1)的函数求出不同日需求量对应的利润，再用加权平均法，将各利润乘对应频数求和后除以总天数100即可。
②判断决策是否正确，需分别计算购进16枝和购进17枝的日平均利润，比较两者大小，若购进17枝的平均利润更高，则决策正确。
【解析】
(1) 分情况讨论：
① 当日需求量$n≥16$时，16枝全部售出，利润$y=16×(10-5)=80$元；
② 当日需求量$n≤15$时，售出$n$枝，剩余$16-n$枝报废，利润$y=10n-5×16=10n-80$元。
综上得到函数解析式。
(2) ① 根据(1)的解析式：
$n=14$时，$y=10×14-80=60$元；$n=15$时，$y=10×15-80=70$元；$n≥16$时，$y=80$元。
100天总利润为$60×10+70×20+80×(16+16+15+13+10)=7600$元，
平均日利润为$\frac{7600}{100}=76$元。
② 计算购进17枝的日平均利润：
$n=14$时，利润$=14×10-17×5=55$元；$n=15$时，利润$=15×10-17×5=65$元；$n=16$时，利润$=16×10-17×5=75$元；$n≥17$时，17枝全部售出，利润$=17×(10-5)=85$元。
对应频率分别为0.1、0.2、0.16、$1-0.1-0.2-0.16=0.54$，
平均日利润为$55×0.1+65×0.2+75×0.16+85×0.54=76.4$元。
因为$76＜76.4$，即购进17枝的平均盈利更高，所以花店决策正确。
【答案】
(1) $\boldsymbol{y=\begin{cases}10n-80&(n≤15,n为自然数)\\80&(n≥16,n为自然数)\end{cases}}$
(2) ① 76元；② 花店的决策正确。
【知识点】
分段函数、加权平均数、统计决策
【点评】
本题结合生活经营场景，既考查了分段函数的列式应用，又考查了加权平均数的计算和利用统计数据做决策的能力，解题时要注意分情况讨论避免漏解，计算平均利润时需准确对应各组频数。
【难度系数】
0.7
(1) 求利润函数需分两种情况讨论：①当日需求量$n≥16$时，购进的16枝玫瑰花全部售完，利润固定；②当日需求量$n≤15$时，仅售出$n$枝，剩余的玫瑰花报废亏损，根据“利润=总收入-总成本”即可列出对应解析式。
(2) ①计算100天平均日利润，先根据(1)的函数求出不同日需求量对应的利润，再用加权平均法，将各利润乘对应频数求和后除以总天数100即可。
②判断决策是否正确，需分别计算购进16枝和购进17枝的日平均利润，比较两者大小，若购进17枝的平均利润更高，则决策正确。
【解析】
(1) 分情况讨论：
① 当日需求量$n≥16$时，16枝全部售出，利润$y=16×(10-5)=80$元；
② 当日需求量$n≤15$时，售出$n$枝，剩余$16-n$枝报废，利润$y=10n-5×16=10n-80$元。
综上得到函数解析式。
(2) ① 根据(1)的解析式：
$n=14$时，$y=10×14-80=60$元；$n=15$时，$y=10×15-80=70$元；$n≥16$时，$y=80$元。
100天总利润为$60×10+70×20+80×(16+16+15+13+10)=7600$元，
平均日利润为$\frac{7600}{100}=76$元。
② 计算购进17枝的日平均利润：
$n=14$时，利润$=14×10-17×5=55$元；$n=15$时，利润$=15×10-17×5=65$元；$n=16$时，利润$=16×10-17×5=75$元；$n≥17$时，17枝全部售出，利润$=17×(10-5)=85$元。
对应频率分别为0.1、0.2、0.16、$1-0.1-0.2-0.16=0.54$，
平均日利润为$55×0.1+65×0.2+75×0.16+85×0.54=76.4$元。
因为$76＜76.4$，即购进17枝的平均盈利更高，所以花店决策正确。
【答案】
(1) $\boldsymbol{y=\begin{cases}10n-80&(n≤15,n为自然数)\\80&(n≥16,n为自然数)\end{cases}}$
(2) ① 76元；② 花店的决策正确。
【知识点】
分段函数、加权平均数、统计决策
【点评】
本题结合生活经营场景，既考查了分段函数的列式应用，又考查了加权平均数的计算和利用统计数据做决策的能力，解题时要注意分情况讨论避免漏解，计算平均利润时需准确对应各组频数。
【难度系数】
0.7
