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【例】如右图，C，D是以AB为直径的$\odot O$上的两点，且$OD // BC$.求证：$AD=CD$.
【点拨】根据平行线和等腰三角形的性质可得到$∠ AOD$，$∠ COD$两个圆心角相等，由此即可得出结论.
【解】连接OC，如图.
$\because OD // BC$，
$\therefore ∠ AOD=∠ B$，
$∠ COD=∠ BCO$.
又$\because OB=OC$，
$\therefore ∠ B=∠ BCO$，
$\therefore ∠ AOD=∠ COD$，$\therefore AD=CD$.
【点拨】根据平行线和等腰三角形的性质可得到$∠ AOD$，$∠ COD$两个圆心角相等，由此即可得出结论.
【解】连接OC，如图.
$\because OD // BC$，
$\therefore ∠ AOD=∠ B$，
$∠ COD=∠ BCO$.
又$\because OB=OC$，
$\therefore ∠ B=∠ BCO$，
$\therefore ∠ AOD=∠ COD$，$\therefore AD=CD$.
答案
证明：连接OC，如图。
$\because OD// BC$，
$\therefore ∠ AOD=∠ B$，$∠ COD=∠ BCO$。
又$\because OB=OC$，
$\therefore ∠ B=∠ BCO$，
$\therefore ∠ AOD=∠ COD$。
在$\odot O$中，相等的圆心角所对的弦相等，
$\therefore AD=CD$。
$\because OD// BC$，
$\therefore ∠ AOD=∠ B$，$∠ COD=∠ BCO$。
又$\because OB=OC$，
$\therefore ∠ B=∠ BCO$，
$\therefore ∠ AOD=∠ COD$。
在$\odot O$中，相等的圆心角所对的弦相等，
$\therefore AD=CD$。
解析
【分析】
要证明同圆内两条弦AD=CD，可先转化为证明两条弦对应的圆心角∠AOD=∠COD。推导时首先利用平行线的性质，由OD//BC得到两组相等的角：同位角∠AOD=∠B，内错角∠COD=∠BCO；再结合同圆半径相等，可知OB=OC，△OBC为等腰三角形，因此∠B=∠BCO；通过等量代换即可得到∠AOD=∠COD，最后根据同圆中相等的圆心角所对的弦相等，即可证得结论。
【解析】
证明：连接OC，如图。
$\because OD// BC$，
$\therefore ∠ AOD=∠ B$，$∠ COD=∠ BCO$。
又$\because OB=OC$（同圆的半径相等），
$\therefore ∠ B=∠ BCO$（等腰三角形两底角相等），
$\therefore ∠ AOD=∠ COD$（等量代换）。
$\because$在$\odot O$中，相等的圆心角所对的弦相等，
$\therefore AD=CD$。
【答案】
证明：连接OC，如图。
$\because OD// BC$，
$\therefore ∠ AOD=∠ B$，$∠ COD=∠ BCO$。
又$\because OB=OC$，
$\therefore ∠ B=∠ BCO$，
$\therefore ∠ AOD=∠ COD$。
在$\odot O$中，相等的圆心角所对的弦相等，
$\therefore AD=CD$。
【知识点】
平行线的性质；等腰三角形的性质；圆心角与弦的关系
【点评】
本题是圆的基础证明题，核心解题思路是将弦相等的证明转化为对应圆心角相等的证明，综合了几何中常见的角等量代换方法，逻辑清晰，能帮助巩固圆的基本性质及几何证明的常规转化思路。
【难度系数】
0.8
要证明同圆内两条弦AD=CD，可先转化为证明两条弦对应的圆心角∠AOD=∠COD。推导时首先利用平行线的性质，由OD//BC得到两组相等的角：同位角∠AOD=∠B，内错角∠COD=∠BCO；再结合同圆半径相等，可知OB=OC，△OBC为等腰三角形，因此∠B=∠BCO；通过等量代换即可得到∠AOD=∠COD，最后根据同圆中相等的圆心角所对的弦相等，即可证得结论。
【解析】
证明：连接OC，如图。
$\because OD// BC$，
$\therefore ∠ AOD=∠ B$，$∠ COD=∠ BCO$。
又$\because OB=OC$（同圆的半径相等），
$\therefore ∠ B=∠ BCO$（等腰三角形两底角相等），
$\therefore ∠ AOD=∠ COD$（等量代换）。
$\because$在$\odot O$中，相等的圆心角所对的弦相等，
$\therefore AD=CD$。
【答案】
证明：连接OC，如图。
$\because OD// BC$，
$\therefore ∠ AOD=∠ B$，$∠ COD=∠ BCO$。
又$\because OB=OC$，
$\therefore ∠ B=∠ BCO$，
$\therefore ∠ AOD=∠ COD$。
在$\odot O$中，相等的圆心角所对的弦相等，
$\therefore AD=CD$。
【知识点】
平行线的性质；等腰三角形的性质；圆心角与弦的关系
【点评】
本题是圆的基础证明题，核心解题思路是将弦相等的证明转化为对应圆心角相等的证明，综合了几何中常见的角等量代换方法，逻辑清晰，能帮助巩固圆的基本性质及几何证明的常规转化思路。
【难度系数】
0.8
1. 下面四个图中的角，是圆心角的是 （
D
）答案
1.D
解析
【分析】
要判断一个角是不是圆心角，首先要明确圆心角的判定条件：①角的顶点必须是圆的圆心；②角的两条边都是圆的半径（即两边都与圆相交）。解题时我们只要对照这两个条件逐一排查四个选项即可：先看每个角的顶点是否为圆心O，再看两边是否和圆相交，同时满足两个条件的就是正确答案。
【解析】
根据圆心角的定义：顶点在圆心，且两边都与圆相交的角叫做圆心角。
对各选项逐一分析：
选项A、B、C中，角的顶点均为点P，不是圆的圆心O，不满足圆心角的条件，故这三个选项错误；
选项D中，角的顶点是圆心O，两条边OM、ON都是圆的半径，均与圆相交，完全符合圆心角的定义，故该选项正确。
【答案】
D
【知识点】
圆心角的定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题的核心是准确掌握圆心角的两个基本特征，只要牢记定义就能快速做出判断，不容易出错。
【难度系数】
0.9
要判断一个角是不是圆心角，首先要明确圆心角的判定条件：①角的顶点必须是圆的圆心；②角的两条边都是圆的半径（即两边都与圆相交）。解题时我们只要对照这两个条件逐一排查四个选项即可：先看每个角的顶点是否为圆心O，再看两边是否和圆相交，同时满足两个条件的就是正确答案。
【解析】
根据圆心角的定义：顶点在圆心，且两边都与圆相交的角叫做圆心角。
对各选项逐一分析：
选项A、B、C中，角的顶点均为点P，不是圆的圆心O，不满足圆心角的条件，故这三个选项错误；
选项D中，角的顶点是圆心O，两条边OM、ON都是圆的半径，均与圆相交，完全符合圆心角的定义，故该选项正确。
【答案】
D
【知识点】
圆心角的定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题的核心是准确掌握圆心角的两个基本特征，只要牢记定义就能快速做出判断，不容易出错。
【难度系数】
0.9
2.在圆中,与半径相等的弦所对的圆心角的度数为 （
A.$30°$
B.$45°$
C.$60°$
D.$90°$
C
）A.$30°$
B.$45°$
C.$60°$
D.$90°$
答案
2.C
解析
【分析】
解题时可通过构造辅助线结合几何性质推导：首先弦的两端点都在圆上，我们将弦的两端点分别与圆心连接，就能得到一个由两条半径和该弦组成的三角形；已知弦长和半径相等，结合圆的半径处处相等的性质，可判断该三角形的类型，进而求出圆心角的度数。
【解析】
设圆的半径为$r$，由题意得这条弦的长度也为$r$。
连接弦的两个端点与圆心，得到一个三角形，该三角形的三条边长分别为两条半径（长度均为$r$）和这条弦（长度为$r$），因此这个三角形三条边相等，是等边三角形。
等边三角形的三个内角均为$60°$，这条弦所对的圆心角就是等边三角形的一个内角，因此圆心角度数为$60°$。
【答案】
C
【知识点】
圆的基本性质；等边三角形的判定与性质；圆心角的定义
【点评】
本题是基础题，结合圆的性质和三角形知识考查，解题核心是通过连接圆心和弦的端点构造等边三角形，从而快速得到圆心角度数。
【难度系数】
0.8
解题时可通过构造辅助线结合几何性质推导：首先弦的两端点都在圆上，我们将弦的两端点分别与圆心连接，就能得到一个由两条半径和该弦组成的三角形；已知弦长和半径相等，结合圆的半径处处相等的性质，可判断该三角形的类型，进而求出圆心角的度数。
【解析】
设圆的半径为$r$，由题意得这条弦的长度也为$r$。
连接弦的两个端点与圆心，得到一个三角形，该三角形的三条边长分别为两条半径（长度均为$r$）和这条弦（长度为$r$），因此这个三角形三条边相等，是等边三角形。
等边三角形的三个内角均为$60°$，这条弦所对的圆心角就是等边三角形的一个内角，因此圆心角度数为$60°$。
【答案】
C
【知识点】
圆的基本性质；等边三角形的判定与性质；圆心角的定义
【点评】
本题是基础题，结合圆的性质和三角形知识考查，解题核心是通过连接圆心和弦的端点构造等边三角形，从而快速得到圆心角度数。
【难度系数】
0.8
3.如图，已知AB为$\odot O$的直径，D为半圆上的一点，且$\overset{\frown}{AD}$所对圆心角的度数是$\overset{\frown}{BD}$所对圆心角度数的2倍，则圆心角$∠ BOD$的度数为________。
答案
3.$60°$
解析
【分析】
解题时首先明确AB是圆的直径，可得∠AOB为平角，度数是180°；再根据弧的度数等于它所对圆心角的度数，结合题中给出的两个弧对应圆心角的倍数关系，就可以通过角度和为180°列等式计算出∠BOD的度数。
【解析】
∵ AB为$\odot O$的直径，
∴ 圆心角$∠ AOB = 180°$，即$∠ AOD + ∠ BOD = 180°$。
∵ 弧的度数等于它所对圆心角的度数，且$\overset{\frown}{AD}$所对圆心角的度数是$\overset{\frown}{BD}$所对圆心角度数的2倍，
∴ $∠ AOD = 2∠ BOD$。
将$∠ AOD = 2∠ BOD$代入$∠ AOD + ∠ BOD = 180°$，得：
$2∠ BOD + ∠ BOD = 180°$，
即$3∠ BOD = 180°$，
解得$∠ BOD = 60°$。
【答案】
$60°$
【知识点】
1. 弧与圆心角的关系
2. 平角的性质
3. 直径的特征
【点评】
本题属于基础类题目，重点考查圆心角与对应弧的度数关系，只要熟练掌握相关性质，结合角度和的关系即可快速算出结果。
【难度系数】
0.9
解题时首先明确AB是圆的直径，可得∠AOB为平角，度数是180°；再根据弧的度数等于它所对圆心角的度数，结合题中给出的两个弧对应圆心角的倍数关系，就可以通过角度和为180°列等式计算出∠BOD的度数。
【解析】
∵ AB为$\odot O$的直径，
∴ 圆心角$∠ AOB = 180°$，即$∠ AOD + ∠ BOD = 180°$。
∵ 弧的度数等于它所对圆心角的度数，且$\overset{\frown}{AD}$所对圆心角的度数是$\overset{\frown}{BD}$所对圆心角度数的2倍，
∴ $∠ AOD = 2∠ BOD$。
将$∠ AOD = 2∠ BOD$代入$∠ AOD + ∠ BOD = 180°$，得：
$2∠ BOD + ∠ BOD = 180°$，
即$3∠ BOD = 180°$，
解得$∠ BOD = 60°$。
【答案】
$60°$
【知识点】
1. 弧与圆心角的关系
2. 平角的性质
3. 直径的特征
【点评】
本题属于基础类题目，重点考查圆心角与对应弧的度数关系，只要熟练掌握相关性质，结合角度和的关系即可快速算出结果。
【难度系数】
0.9
4.如图，CD是$\odot O$的直径，AB是弦，AB⊥CD，∠ADC=30°，则∠BOC=（
A.$30°$
B.$45°$
C.$60°$
D.$75°$
C
）A.$30°$
B.$45°$
C.$60°$
D.$75°$
答案
4.C
解析
【分析】
解题时先梳理题干条件：CD是⊙O的直径，且AB垂直于弦AB，首先可结合垂径定理得到弧AC与弧BC相等，由此推出二者对应的圆心角相等；再结合已知的圆周角∠ADC=30°，利用圆周角定理求出弧AC对应的圆心角∠AOC的度数，即可得到∠BOC的数值。
【解析】
解：
∵CD是$\odot O$的直径，$AB⊥ CD$，
∴根据垂径定理可得：$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$，
∴两段弧对应的圆心角相等，即$∠ AOC=∠ BOC$。
又
∵$∠ ADC$是$\overset{\frown}{AC}$所对的圆周角，$∠ AOC$是$\overset{\frown}{AC}$所对的圆心角，
根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，
∴$∠ AOC=2∠ ADC$，
已知$∠ ADC=30°$，代入得$∠ AOC=2×30°=60°$，
∴$∠ BOC=∠ AOC=60°$。
【答案】
C
【知识点】
垂径定理、圆周角定理
【点评】
本题属于圆性质的基础应用题，解题核心是熟练掌握垂径定理和圆周角定理，通过弧作为中间量建立角的等量关系即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题时先梳理题干条件：CD是⊙O的直径，且AB垂直于弦AB，首先可结合垂径定理得到弧AC与弧BC相等，由此推出二者对应的圆心角相等；再结合已知的圆周角∠ADC=30°，利用圆周角定理求出弧AC对应的圆心角∠AOC的度数，即可得到∠BOC的数值。
【解析】
解：
∵CD是$\odot O$的直径，$AB⊥ CD$，
∴根据垂径定理可得：$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$，
∴两段弧对应的圆心角相等，即$∠ AOC=∠ BOC$。
又
∵$∠ ADC$是$\overset{\frown}{AC}$所对的圆周角，$∠ AOC$是$\overset{\frown}{AC}$所对的圆心角，
根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，
∴$∠ AOC=2∠ ADC$，
已知$∠ ADC=30°$，代入得$∠ AOC=2×30°=60°$，
∴$∠ BOC=∠ AOC=60°$。
【答案】
C
【知识点】
垂径定理、圆周角定理
【点评】
本题属于圆性质的基础应用题，解题核心是熟练掌握垂径定理和圆周角定理，通过弧作为中间量建立角的等量关系即可快速求解。
【难度系数】
0.8
5. 如图,已知$A,B,C,D$是$\odot O$上的点,$∠1=∠2$,则下列结论正确的有（
①$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$; ②$\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{AC}$; ③$BD=AC$;
④$∠ BOD=∠ AOC$.
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
D
）①$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$; ②$\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{AC}$; ③$BD=AC$;
④$∠ BOD=∠ AOC$.
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
5.D
解析
【分析】
解题时先回忆同圆中圆心角、弧、弦的关系定理：同圆或等圆中，相等的圆心角对应的弧相等、对应的弦也相等。首先根据已知∠1=∠2，利用角的和差性质，给两个等角同时加上公共角∠BOC可得∠AOB=∠COD，同时加上公共角∠DOB可得∠AOC=∠BOD，再结合圆心角、弧、弦的对应关系逐一验证四个结论即可。
【解析】
∵ ∠1=∠2，
∴ ∠1+∠BOC = ∠2+∠BOC，即∠COD=∠AOB；
同时∠1+∠DOB = ∠2+∠DOB，即∠BOD=∠AOC，故结论④正确；
在⊙O中，相等的圆心角所对的弧相等，
∴ 由∠COD=∠AOB可得$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$，结论①正确；
由∠BOD=∠AOC可得$\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{AC}$，结论②正确；
又
∵ 同圆中相等的弧所对的弦相等，
∴ 由$\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{AC}$可得BD=AC，结论③正确。
综上，4个结论均正确。
【答案】
D
【知识点】
圆心角弧弦的关系；角的和差运算；等弧对等弦
【点评】
本题属于圆的基础性质考查题，解题关键是通过角的和差得到相等的圆心角，再结合同圆中圆心角、弧、弦三者的对应关系逐一判断，熟练掌握相关性质即可快速得出答案。
【难度系数】
0.7
解题时先回忆同圆中圆心角、弧、弦的关系定理：同圆或等圆中，相等的圆心角对应的弧相等、对应的弦也相等。首先根据已知∠1=∠2，利用角的和差性质，给两个等角同时加上公共角∠BOC可得∠AOB=∠COD，同时加上公共角∠DOB可得∠AOC=∠BOD，再结合圆心角、弧、弦的对应关系逐一验证四个结论即可。
【解析】
∵ ∠1=∠2，
∴ ∠1+∠BOC = ∠2+∠BOC，即∠COD=∠AOB；
同时∠1+∠DOB = ∠2+∠DOB，即∠BOD=∠AOC，故结论④正确；
在⊙O中，相等的圆心角所对的弧相等，
∴ 由∠COD=∠AOB可得$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$，结论①正确；
由∠BOD=∠AOC可得$\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{AC}$，结论②正确；
又
∵ 同圆中相等的弧所对的弦相等，
∴ 由$\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{AC}$可得BD=AC，结论③正确。
综上，4个结论均正确。
【答案】
D
【知识点】
圆心角弧弦的关系；角的和差运算；等弧对等弦
【点评】
本题属于圆的基础性质考查题，解题关键是通过角的和差得到相等的圆心角，再结合同圆中圆心角、弧、弦三者的对应关系逐一判断，熟练掌握相关性质即可快速得出答案。
【难度系数】
0.7
