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1. (2026·泰州校级月考)如图是由边长为1的小正方形组成的10×6网格,点A,B均在格点上,以AB为直径画半圆O,格点C在半圆O上.请仅用无刻度的直尺画图,画图过程用虚线,画图结果用实线.(保留作图痕迹,不写作法)
(1)在图①中,线段AC长为
(2)在图①中作∠BAC的平分线,交BC于点D;
(3)在图②中的半圆弧上确定点E,使得BC平分∠ABE.
(1)在图①中,线段AC长为
2√5
;(2)在图①中作∠BAC的平分线,交BC于点D;
(3)在图②中的半圆弧上确定点E,使得BC平分∠ABE.
答案
1. (1) 2√5 解析:根据题意,得 AC=√(2²+4²)=2√5.
(2) 如图①所示,点 D 即为所求。
解析:取格点 G,连接 OG 并延长,交⊙O 于 F,连接 AF 交 BC 于 D,由网格的特点可证明 OF//AC,
∴ ∠CAF=∠OFA.
∵ OA=OF,
∴ ∠OAF=∠OFA,
∴ ∠OAF=∠CAF.
(3) 如图②所示,点 E 即为所求。
解析:取格点 H,连接 AH 并延长,交⊙O 于 E.
∵ tan∠ABC=AC/BC=2√5/√(4²+8²)=1/2,tan∠CAH=CH/AC=√(1²+2²)/(2√5)=1/2,
∴ ∠CAE=∠ABC.又∠CBE=∠CAE,
∴ ∠CBE=∠ABC.
2. 如图是由边长为1的小正方形组成的7×7网格，每个小正方形的顶点叫作格点.$△ ABC$的三个顶点都是格点.D是AC与网格线的交点.仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图,画图过程用虚线表示,画图结果用实线表示,按步骤完成下列问题:
(1)在图中,将线段AB绕点A逆时针旋转$90°$得到线段AM;
(2)在AC上画点N,使$\tan∠ABN=\dfrac{3}{4}$.
(1)在图中,将线段AB绕点A逆时针旋转$90°$得到线段AM;
(2)在AC上画点N,使$\tan∠ABN=\dfrac{3}{4}$.
答案
2. (1) 如图,AM 即为所求。
(2) 如图,点 N 即为所求。
解析:取格点 P,Q,连接 PQ 交 AM 于点 O,
∵ AP/MQ=3/1,
∴ AO/OM=3/1,
∴ AO/AM=AO/AB=3/4. 连接 OB 交 AC 于点 N,
∴ tan∠ABN=tan∠ABO=AO/AB=3/4,则点 N 即为所求.
3. 由边长为1的小正方形构成网格,每个小正方形的顶点叫作格点,点A,B,C,D都是格点,仅用无刻度的直尺在给定的14×8网格中画图,画图过程用虚线表示,画图结果用实线表示,
按要求完成下列问题:
(1)平移线段AC得到线段DE,在图①中画出线段DE;
(2)在线段BC上找一点F,使△ABF的面积等于△ACF的面积,在图①中画出线段AF;
(3)点M在线段AD上,使$\tan∠ABM=\frac{1}{2}$,在图②中画出线段BM.
按要求完成下列问题:
(1)平移线段AC得到线段DE,在图①中画出线段DE;
(2)在线段BC上找一点F,使△ABF的面积等于△ACF的面积,在图①中画出线段AF;
(3)点M在线段AD上,使$\tan∠ABM=\frac{1}{2}$,在图②中画出线段BM.
答案
3. (1) 如图①,线段 DE 即为所求. 解析:把点 C 向右平移6个单位长度,再向上平移1个单位长度得到点 E,连接 DE 即可.
(2) 如图①,线段 AF 即为所求. 解析:根据网格特点,BC与水平网格线的交点即为点 F,然后连接 AF 即可.
(3) 如图②,线段 BM 即为所求. 解析:先把线段 AB 绕点 A逆时针旋转 90°得到 AN,再取 AN 的中点 P,然后连接 BP 并延长交 AD 于点 M.
4. 网格中小正方形的顶点称为格点，如图①②，点A,B,C均为格点，请用无刻度的直尺依次完成下列画图，画图过程用虚线，画图结果用实线.
(1)在图①中，先在AB上画点D，使$\tan∠ ACD=\dfrac{1}{2}$，再在BC上画点E，使$\tan∠ CAE=\dfrac{1}{3}$；
(2)在图②中，F为BC与网格线的交点，先画$□ AFMC$，再在AC上画点H，使$∠ ABH=∠ BAF$.
(1)在图①中，先在AB上画点D，使$\tan∠ ACD=\dfrac{1}{2}$，再在BC上画点E，使$\tan∠ CAE=\dfrac{1}{3}$；
(2)在图②中，F为BC与网格线的交点，先画$□ AFMC$，再在AC上画点H，使$∠ ABH=∠ BAF$.
答案
4. (1) 如图①,取格点 G,连接 CG 交 AB 于点 D,点 D 就是所求的点.取格点 H,连接 AH 交 BC 于点 E,点 E 就是所求的点.
解析:设网格中每个小正方形的边长都是 1,设 CG 交网格线于点 I,连接 AI.
∵ ∠AIC=90°,AI=2,CI=4,
∴ tan∠ACD=AI/CI=2/4=1/2,
∴ 点 D 就是所求的点.
由勾股定理得 CH=√(1²+1²)=√2,AH=√(3²+3²)=3√2.
∵ ∠AHC=45°+45°=90°,
∴ tan∠CAE=CH/AH=√2/(3√2)=1/3,
∴ 点 E 就是所求的点.
(2) 如图②,取格点 J,K,连接 JK 交网格线于点 M,连接 FM,作四边形 AFMC,四边形 AFMC 就是所求的平行四边形;取格点 P,Q,连接 PQ,PQ 的中点为 T,AB 的中点为 R,连接 TR 交 AF 于点 O,作射线 BO 交 AC 于点 H,点 H 就是所求的点.
解析:
∵ ∠MKL=∠FBJ, KL=BJ, ∠MLK=∠FJB=90°,
∴ △KML≅△BFJ(ASA),
∴ ML=FJ.
∵ CL=AJ,
∴ CM=AF.
∵ CM//AF,
∴ 四边形 AFMC 就是所求的平行四边形.由作图可知,RT 垂直平分 AB,
∴ OA=OB,
∴ ∠ABH=∠BAF,
∴ 点 H 就是所求的点.
