1. (广安中考改编)如图,在平面直角坐标系中,点$A_1,A_2,A_3,A_4······$在$x$轴的正半轴上,点$B_1,B_2,B_3······$在直线$y=\frac{\sqrt{3}}{3}x(x≥0)$上,若点$A_1$的坐标为$(2,0)$,且$△ A_1B_1A_2$,$△ A_2B_2A_3$,$△ A_3B_3A_4······$均为等边三角形.则点$B_{2026}$的纵坐标为.

1. $2^{2025}\sqrt{3}$ 解析:如图,过点$A_1$作$A_1M⊥x$轴,交直线$y=\frac{\sqrt{3}}{3}x$ $(x≥0)$于点$M$,过点$B_1$作$B_1C⊥x$轴于点$C$.$\because A_1(2,0)$, $\therefore OA_1=2$,当$x=2$时,$y=\frac{2\sqrt{3}}{3}$,即$M(2,\frac{2\sqrt{3}}{3}),A_1M=\frac{2\sqrt{3}}{3}$, $\therefore \tan∠ A_1OM=\frac{A_1M}{A_1O}=\frac{\sqrt{3}}{3}$,$\therefore ∠ A_1OM=30°$.$\because △ A_1B_1A_2$是等边三角形,$\therefore ∠ A_2A_1B_1=60°$,$A_1A_2=A_1B_1$,$\therefore ∠ OB_1A_1=30°=∠ A_1OM$,$\therefore A_1B_1=OA_1=2$,$\therefore B_1C=A_1B_1·\sin60°=2×\frac{\sqrt{3}}{2}$,即点$B_1$的纵坐标为$2×\frac{\sqrt{3}}{2}$,同理可得点$B_2$的纵坐标为$2^2×\frac{\sqrt{3}}{2}$,点$B_3$的纵坐标为$2^3×\frac{\sqrt{3}}{2}$,点$B_4$的纵坐标为$2^4×\frac{\sqrt{3}}{2}$,归纳类推得点$B_n$的纵坐标为$2^n×\frac{\sqrt{3}}{2}=2^{n-1}\sqrt{3}$($n$为正整数),则点$B_{2026}$的纵坐标为$2^{2026-1}\sqrt{3}=2^{2025}\sqrt{3}$.

2. (2026·葫芦岛模拟)如图,在平面直角坐标系中,一次函数$y=\sqrt{3}x+b$的图象与x轴交于点A,与y轴交于点B(0,4),点C在线段OB上,点D在线段AB上,AD=2OC,连接AC,CD.
(1)求点A的坐标;
(2)求△ACD面积的最大值.

2. (1) 把$B(0,4)$代入$y=\sqrt{3}x+b$,得$b=4$,$\therefore y=\sqrt{3}x+4$,当$y=0$时,$\sqrt{3}x+4=0$,解得$x=-\frac{4\sqrt{3}}{3}$,$\therefore A(-\frac{4\sqrt{3}}{3},0)$.
(2) 在$\mathrm{Rt}△ ABO$中,$AO=\frac{4\sqrt{3}}{3}$,$BO=4$,$\therefore \tan∠ ABO=\frac{AO}{BO}=\frac{\sqrt{3}}{3}$,$\therefore ∠ ABO=30°$.如图,过点$C$作$CE⊥ AB$,垂足为点$E$,设$OC=m$,则$BC=4-m$,$AD=2m$,在$\mathrm{Rt}△ BCE$中,$∠ ABO=30°$, $CE=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}(4-m)$,$\therefore △ ACD$的面积为$\frac{1}{2}· AD· CE=\frac{1}{2}· 2m· \frac{1}{2}(4-m)=-\frac{1}{2}m^2+2m=-\frac{1}{2}(m-2)^2+2$.$\because -\frac{1}{2}＜0$,$\therefore$ 当$m=2$时,$△ ACD$的面积最大,最大值为2.

3.（泰州中考）如图，点P在反比例函数$y=\frac{3}{x}$的图象上，且横坐标为1，过点P分别作两条坐标轴的平行线，与反比例函数$y=\frac{k}{x}(k＜0)$的图象相交于点A,B，则直线AB与x轴所夹锐角的正切值为。

3. 3 解析:如图,过点$P$作两条坐标轴的平行线,与反比例函数$y=\frac{k}{x}(k＜0)$的图象相交于点$A,B$,连接$AB$.设直线$AB$与$x$轴所夹锐角为$α$.$\because PA// x$轴,$\therefore ∠ PAB=α$.$\because$ 点$P$在反比例函数$y=\frac{3}{x}$的图象上,且横坐标为1,$\therefore$ 点$P$的坐标为$(1,3)$.又$\because PA// x$轴,$PB// y$轴,$\therefore$ 点$A$的纵坐标为3,点$B$的横坐标为1.当$y=3$时,$x=\frac{k}{3}$,当$x=1$时,$y=k$,$\therefore$ 点$A$的坐标为$(\frac{k}{3},3)$,点$B$的坐标为$(1,k)$.$\because k＜0$,$\therefore AP=1-\frac{k}{3}$, $BP=3-k$.在$\mathrm{Rt}△ APB$中,$∠ APB=90°$,$\therefore \tan∠ PAB=\frac{BP}{AP}=\frac{3-k}{1-\frac{k}{3}}=3$,$\therefore \tanα=\tan∠ PAB=3$.故直线$AB$与$x$轴所夹锐角的正切值为3.

4. (宜宾中考)如图,一次函数$y=ax+b$的图象与x轴交于点$A(4,0)$,与y轴交于点B,与反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象交于点C,D.若$\tan∠BAO=2,BC=3AC$.
(1)求一次函数和反比例函数的表达式；
(2)求$△ OCD$的面积.

4. (1) 在$\mathrm{Rt}△ AOB$中,$\because \tan∠ BAO=2$,$\therefore BO=2OA$.$\because A(4,0)$, $\therefore B(0,8)$.$\because A,B$两点在直线$y=ax+b$上,将$A(4,0)$, $B(0,8)$代入$y=ax+b$,得$\begin{cases}4a+b=0,\\b=8,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=-2,\\b=8,\end{cases}$ $\therefore y=-2x+8$.设$C(x_1,y_1)$,如图,过点$C$作$CE⊥ x$轴,垂足为点$E$,则$CE// BO$,$\therefore △ ACE ∽ △ ABO$,$\therefore \frac{AC}{AB}=\frac{CE}{BO}$.又$\because BC=3AC$, $\therefore \frac{AC}{AB}=\frac{CE}{BO}=\frac{1}{4}$,即$\frac{CE}{8}=\frac{1}{4}$,$\therefore CE=2$,即$y_1=2$,$\therefore -2x_1+8=2$,$\therefore x_1=3$,$\therefore C(3,2)$,$\therefore k=x_1y_1=3×2=6$,$\therefore y=\frac{6}{x}$.
(2) 解方程组$\begin{cases}y=-2x+8,\\y=\frac{6}{x},\end{cases}$得$\begin{cases}x_1=1,\\y_1=6,\end{cases}\begin{cases}x_2=3,\\y_2=2,\end{cases}$ $\therefore C(3,2)$, $D(1,6)$.
如图,过点$D$作$DF⊥ y$轴,垂足为点$F$.$\because S_{△ OCD}=S_{△ AOB}-S_{△ ODB}-S_{△ OAC}$,$\therefore S_{△ OCD}=\frac{1}{2}OA· OB-\frac{1}{2}BO· DF-\frac{1}{2}OA· CE=\frac{1}{2}×(4×8-8×1-4×2)=8$.