5. (2026·广东中考节选)如图,设O为坐标原点,二次函数$y=-x^2+bx+3$的图象经过点$A(-3,0)$,与y轴交于点B,其对称轴与x轴交于点C,连接AB,BC.
(1)求二次函数的表达式;
(2)求$\cos∠ABC$的值;

5. (1)$\because$ 二次函数$y=-x^2+bx+3$的图象经过点$A(-3,0)$,$\therefore$ 将点$A(-3,0)$代入$y=-x^2+bx+3$,则$-9-3b+3=0$,解得$b=-2$, $\therefore$ 二次函数的表达式为$y=-x^2-2x+3$.
(2) 如图,过点$C$作$CT⊥ AB$于点$T$.
对于$y=-x^2-2x+3$,当$x=0$时,$y=3$,$\therefore B(0,3)$,$\therefore OB=3$.
$\because A(-3,0)$,$\therefore OA=3$,$\therefore AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=3\sqrt{2}$.$\because y=-x^2-2x+3=-(x+1)^2+4$,$\therefore$ 对称轴为直线$x=-1$,$\therefore C(-1,0)$, $\therefore OC=1$,$AC=-1-(-3)=2$,$\therefore BC=\sqrt{OC^2+OB^2}=\sqrt{10}$.
$\because CT⊥ AB$,$\therefore \frac{1}{2}AB· CT=\frac{1}{2}AC· OB$,$\therefore CT=\frac{2×3}{3\sqrt{2}}=\sqrt{2}$, $\therefore BT=\sqrt{BC^2-CT^2}=2\sqrt{2}$,$\therefore$ 在$\mathrm{Rt}△ BCT$中,$\cos∠ ABC=\frac{BT}{BC}=\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{10}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$.

6. (无锡中考)已知二次函数$y=-\frac{1}{4}x^2+bx+c$图象的对称轴与$x$轴交于点$A(1,0)$，图象与$y$轴交于点$B(0,3)$，$C,D$为该二次函数图象上的两个动点(点$C$在点$D$的左侧)，且$∠ CAD=90°$.
(1)求该二次函数的表达式.
(2)若点$C$与点$B$重合，求$\tan∠ CDA$的值.
(3)点$C$是否存在其他的位置，使得$\tan∠ CDA$的值与(2)中所求的值相等？若存在，请求出点$C$的坐标；若不存在，请说明理由.

6. (1)$\because$ 二次函数图象的对称轴与$x$轴交于点$A(1,0)$,$\therefore$ 对称轴为直线$x=1$.$\therefore -\frac{b}{2×(-\frac{1}{4})}=1$,解得$b=\frac{1}{2}$.$\therefore y=-\frac{1}{4}x^2+\frac{1}{2}x+c$.把$B(0,3)$代入$y=-\frac{1}{4}x^2+\frac{1}{2}x+c$,得$c=3$, $\therefore$ 该二次函数的表达式为$y=-\frac{1}{4}x^2+\frac{1}{2}x+3$.
(2) 如图①,过点$D$作$DE⊥ x$轴于点$E$,则$∠ ADE+∠ DAE=90°$.$\because ∠ CAD=90°$,$\therefore ∠ CAO+∠ DAE=90°$,$\therefore ∠ ADE=∠ CAO$.又$\because ∠ COA=∠ AED=90°$,$\therefore △ OAC ∽ △ EDA$, $\therefore \frac{OA}{OC}=\frac{ED}{EA}$.$\because A(1,0)$,$C(0,3)$,$\therefore OA=1$,$OC=3$.设$D(t,-\frac{1}{4}t^2+\frac{1}{2}t+3)$,$\therefore OE=t$,$DE=-\frac{1}{4}t^2+\frac{1}{2}t+3$,$\therefore AE=OE-OA=t-1$,$\therefore \frac{1}{3}=\frac{-\frac{1}{4}t^2+\frac{1}{2}t+3}{t-1}$,解得$t_1=4$,$t_2=-\frac{10}{3}$(不符合题意,舍去),$\therefore D(4,1)$,$AE=3$,$DE=1$.在$\mathrm{Rt}△ OAC$中,由勾股定理得$AC=\sqrt{OA^2+OC^2}=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$.在$\mathrm{Rt}△ ADE$中,由勾股定理得$AD=\sqrt{AE^2+DE^2}=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$.在$\mathrm{Rt}△ ACD$中,$\tan∠ CDA=\frac{CA}{AD}=\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}=1$.

(3) 存在.由(2)知$C(0,3)$,$D(4,1)$.如图②,作点$(0,3)$关于直线$x=1$的对称点$D_1(2,3)$,作$D(4,1)$关于直线$x=1$的对称点$C_1(-2,1)$,则$∠ C_1D_1A=∠ CDA$,$\therefore \tan∠ C_1D_1A=\tan∠ CDA$,此时点$C_1(-2,1)$符合题意.

由(2)知,$\tan∠ CDA=1$,$\therefore ∠ CDA=45°$.又$\because ∠ CAD=90°$, $\therefore △ CAD$是等腰直角三角形.如图③,取点$F(0,1)$,作直线$AF$分别交抛物线于点$C_2,D_3$,作线段$C_2D_3$关于直线$x=1$的对称线段$C_3D_2$,则$△ AC_2D_2$,$△ AC_3D_3$都是等腰直角三角形, $\therefore ∠ C_2D_2A=∠ C_3D_3A=45°$,$\therefore \tan∠ C_2D_2A=\tan∠ C_3D_3A=1$, $\therefore$ 点$C_2$,$C_3$都符合题意.设直线$AF$的函数表达式为$y=kx+d(k≠0)$,把$A(1,0)$,$F(0,1)$代入,得$\begin{cases}0=k+d,\\1=d,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=-1,\\d=1,\end{cases}$ $\therefore$ 直线$AF$的函数表达式为$y=-x+1$. 解方程组$\begin{cases}y=-\frac{1}{4}x^2+\frac{1}{2}x+3,\\y=-x+1,\end{cases}$得$\begin{cases}x=3+\sqrt{17},\\y=-2-\sqrt{17}\end{cases}$或$\begin{cases}x=3-\sqrt{17},\\y=-2+\sqrt{17},\end{cases}$ $\therefore C_2(3-\sqrt{17},-2+\sqrt{17})$,$D_3(3+\sqrt{17},-2-\sqrt{17})$.$\because C_3$,$D_3$关于直线$x=1$对称,$\therefore C_3(-1-\sqrt{17},-2-\sqrt{17})$.综上所述,其他点$C$的坐标为$(-2,1)$或$(3-\sqrt{17},-2+\sqrt{17})$或$(-1-\sqrt{17},-2-\sqrt{17})$.