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12. 用有理数的运算研究下面的问题.规定:水位上升为正,水位下降为负;几天后为正,几天前为负.如果水位每天下降4 cm,那么3天后的水位变化用算式表示正确的是（
A.$(+4)×(+3)$
B.$(+4)×(-3)$
C.$(-4)×(+3)$
D.$(-4)×(-3)$
C
）A.$(+4)×(+3)$
B.$(+4)×(-3)$
C.$(-4)×(+3)$
D.$(-4)×(-3)$
答案
12. C
解析
【分析】
解题时首先要明确题目中对正负的规定，分两步确定两个乘数的符号与数值：第一步确定每天水位的变化量，题目规定水位下降为负，每天下降4cm，所以每天的变化量对应-4；第二步确定时间，题目规定几天后为正，3天后对应+3；总水位变化量等于每天的变化量乘天数，将两个数相乘即可得到对应的算式，再匹配选项即可。
【解析】
解：①确定每天水位变化量：
∵水位下降为负，每天下降4 cm，
∴每天的水位变化量记为$\boldsymbol{-4}$；
②确定时间：
∵几天后为正，所求为3天后的水位变化，
∴时间记为$\boldsymbol{+3}$；
③总水位变化 = 每天水位变化量 × 天数，因此对应的算式为$(-4)×(+3)$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
正负数的意义；有理数乘法的实际应用
【点评】
本题结合水位变化的实际场景考查正负号的应用和有理数乘法的列式，解题核心是准确理解题干中对两类量正负的规定，再结合乘法的意义列出算式即可，属于对基础概念的考查。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确题目中对正负的规定，分两步确定两个乘数的符号与数值：第一步确定每天水位的变化量，题目规定水位下降为负，每天下降4cm，所以每天的变化量对应-4；第二步确定时间，题目规定几天后为正，3天后对应+3；总水位变化量等于每天的变化量乘天数，将两个数相乘即可得到对应的算式，再匹配选项即可。
【解析】
解：①确定每天水位变化量：
∵水位下降为负，每天下降4 cm，
∴每天的水位变化量记为$\boldsymbol{-4}$；
②确定时间：
∵几天后为正，所求为3天后的水位变化，
∴时间记为$\boldsymbol{+3}$；
③总水位变化 = 每天水位变化量 × 天数，因此对应的算式为$(-4)×(+3)$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
正负数的意义；有理数乘法的实际应用
【点评】
本题结合水位变化的实际场景考查正负号的应用和有理数乘法的列式，解题核心是准确理解题干中对两类量正负的规定，再结合乘法的意义列出算式即可，属于对基础概念的考查。
【难度系数】
0.8
13. 商店降价销售某种商品，每件降5元，售出60件后，与按原价销售同样数量的商品相比，销售额有什么变化？
答案
13. 解:$(-5)×60=-300$(元),即销售额减少300元.
解析
【分析】
首先明确相反意义的量的表示规则，我们可以规定价格上涨为正，那么降价就记为负，每件降5元可表示为-5元。要计算销售额的总变化，只需用每件销售额的变化量乘以销售的总件数，最后根据结果的正负判断销售额是增加还是减少即可。
【解析】
解：规定价格上涨为正，价格下降为负，则每件商品降价5元记为-5元。
总销售额的变化量为每件的变化量乘销售数量：
$(-5)×60=-300$（元）
结果为负，说明销售额减少，即与按原价销售同样数量的商品相比，销售额减少300元。
【答案】
销售额减少300元
【知识点】
正负数的实际应用；有理数的乘法运算
【点评】
本题结合生活中的降价销售场景，考查相反意义的量的表示和有理数乘法的计算，解题关键是正确用正负号表示出降价的数值，再根据“总变化量=单量变化×数量”的关系列式求解。
【难度系数】
0.9
首先明确相反意义的量的表示规则，我们可以规定价格上涨为正，那么降价就记为负，每件降5元可表示为-5元。要计算销售额的总变化，只需用每件销售额的变化量乘以销售的总件数，最后根据结果的正负判断销售额是增加还是减少即可。
【解析】
解：规定价格上涨为正，价格下降为负，则每件商品降价5元记为-5元。
总销售额的变化量为每件的变化量乘销售数量：
$(-5)×60=-300$（元）
结果为负，说明销售额减少，即与按原价销售同样数量的商品相比，销售额减少300元。
【答案】
销售额减少300元
【知识点】
正负数的实际应用；有理数的乘法运算
【点评】
本题结合生活中的降价销售场景，考查相反意义的量的表示和有理数乘法的计算，解题关键是正确用正负号表示出降价的数值，再根据“总变化量=单量变化×数量”的关系列式求解。
【难度系数】
0.9
14. 一个有理数和它的相反数相乘，积为（
A.正数
B.负数
C.正数或 0
D.负数或 0
D
）A.正数
B.负数
C.正数或 0
D.负数或 0
答案
14. D
解析
【分析】
解题时需结合相反数的定义与有理数乘法法则，分情况讨论：首先有理数包含正有理数、负有理数和0，不能忽略0这个特殊情况。先设这个有理数为a，其相反数为-a，计算两者乘积后，分别讨论a=0和a≠0两种情况的乘积符号，即可得出结果。
【解析】
设这个有理数为$a$，则它的相反数为$-a$，两者的乘积为：
$a×(-a) = -a^2$
① 当$a≠0$时，$a^2＞0$，因此$-a^2＜0$，此时乘积为负数；
② 当$a=0$时，0的相反数是0，乘积为$0×0=0$。
综上，一个有理数和它的相反数相乘，积为负数或0，故选D。
【答案】
D
【知识点】
相反数的定义；有理数乘法法则；分类讨论思想
【点评】
本题属于基础易错题，解题的易错点是容易遗漏0的特殊情况，直接判定积为负数，做涉及有理数性质的题目时，要注意优先考虑0的特殊情况，避免漏解。
【难度系数】
0.7
解题时需结合相反数的定义与有理数乘法法则，分情况讨论：首先有理数包含正有理数、负有理数和0，不能忽略0这个特殊情况。先设这个有理数为a，其相反数为-a，计算两者乘积后，分别讨论a=0和a≠0两种情况的乘积符号，即可得出结果。
【解析】
设这个有理数为$a$，则它的相反数为$-a$，两者的乘积为：
$a×(-a) = -a^2$
① 当$a≠0$时，$a^2＞0$，因此$-a^2＜0$，此时乘积为负数；
② 当$a=0$时，0的相反数是0，乘积为$0×0=0$。
综上，一个有理数和它的相反数相乘，积为负数或0，故选D。
【答案】
D
【知识点】
相反数的定义；有理数乘法法则；分类讨论思想
【点评】
本题属于基础易错题，解题的易错点是容易遗漏0的特殊情况，直接判定积为负数，做涉及有理数性质的题目时，要注意优先考虑0的特殊情况，避免漏解。
【难度系数】
0.7
15. 若$ab＜0$，$a+b＞0$，则下列判断正确的是 （
A.$a$，$b$都是正数
B.$a$，$b$都是负数
C.$a$，$b$异号且负数的绝对值大
D.$a$，$b$异号且正数的绝对值大
D
）A.$a$，$b$都是正数
B.$a$，$b$都是负数
C.$a$，$b$异号且负数的绝对值大
D.$a$，$b$异号且正数的绝对值大
答案
15. D
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手，结合有理数的运算法则逐步推导：第一步先根据乘法的符号规律判断a、b的符号关系，排除错误选项；第二步再根据加法的符号规律判断两个数绝对值的大小关系，最终确定正确选项。
【解析】
1. 分析条件$ab＜0$：根据有理数乘法法则“两数相乘，同号得正，异号得负”，可得$a$、$b$两数异号，因此同号的A选项（都是正数）、B选项（都是负数）直接排除。
2. 分析条件$a+b＞0$：根据有理数加法法则，异号两数相加时，和的符号与绝对值更大的加数的符号保持一致。现在和为正数，说明$a$、$b$中正数的绝对值大于负数的绝对值，因此C选项错误，D选项正确。
【答案】
D
【知识点】
有理数乘法法则；有理数加法法则
【点评】
本题属于基础类考题，核心考察有理数运算中符号判断规律的综合应用，熟练掌握运算法则就能快速得出结果。
【难度系数】
0.8
解题时先从已知条件入手，结合有理数的运算法则逐步推导：第一步先根据乘法的符号规律判断a、b的符号关系，排除错误选项；第二步再根据加法的符号规律判断两个数绝对值的大小关系，最终确定正确选项。
【解析】
1. 分析条件$ab＜0$：根据有理数乘法法则“两数相乘，同号得正，异号得负”，可得$a$、$b$两数异号，因此同号的A选项（都是正数）、B选项（都是负数）直接排除。
2. 分析条件$a+b＞0$：根据有理数加法法则，异号两数相加时，和的符号与绝对值更大的加数的符号保持一致。现在和为正数，说明$a$、$b$中正数的绝对值大于负数的绝对值，因此C选项错误，D选项正确。
【答案】
D
【知识点】
有理数乘法法则；有理数加法法则
【点评】
本题属于基础类考题，核心考察有理数运算中符号判断规律的综合应用，熟练掌握运算法则就能快速得出结果。
【难度系数】
0.8
16. 在数轴上，有理数$a$，$b$，$c$，$d$的对应点的位置如图14-G-2所示，用“＞”或“＜”填空：
（1）$(a+b)(c+d)$
（2）$(d-a)(b-c)$
（1）$(a+b)(c+d)$
＜
$0$；（2）$(d-a)(b-c)$
＜
$0$。答案
16. (1)＜ (2)＜
解析
【分析】
解题首先需要根据数轴确定a、b、c、d四个数的取值范围，再分别判断每个括号内算式的正负性，最后根据有理数乘法“同号得正，异号得负”的法则判断乘积和0的大小关系。
第一步：先确定各数范围：由数轴可得-3＜a＜-2，-1＜b＜0，1＜c＜2，2＜d＜3；
第二步：分别判断每个小问中两个因式的正负：
（1）先判断a+b的正负：两个负数相加，和为负；再判断c+d的正负：两个正数相加，和为正，最后根据乘法法则判断乘积符号；
（2）先判断d-a的正负：正数减负数，差为正；再判断b-c的正负：负数减正数，差为负，最后根据乘法法则判断乘积符号。
【解析】
首先根据数轴得到各数的取值范围：$\boldsymbol{-3＜a＜-2}$，$\boldsymbol{-1＜b＜0}$，$\boldsymbol{1＜c＜2}$，$\boldsymbol{2＜d＜3}$。
（1）判断$a+b$和$c+d$的符号：
$a$是负数，$b$是负数，两个负数相加和为负，因此$a+b＜0$；
$c$是正数，$d$是正数，两个正数相加和为正，因此$c+d＞0$；
根据有理数乘法法则：异号两数相乘得负，所以$(a+b)(c+d)＜0$。
（2）判断$d-a$和$b-c$的符号：
$d$是正数，$a$是负数，$d-a=d+|a|＞0$，即$d-a＞0$；
$b$是负数，$c$是正数，$b-c=b+(-c)＜0$，即$b-c＜0$；
根据有理数乘法法则：异号两数相乘得负，所以$(d-a)(b-c)＜0$。
【答案】
（1）$\boldsymbol{＜}$；（2）$\boldsymbol{＜}$
【知识点】
数轴的应用、有理数加减法法则、有理数乘法法则
【点评】
本题解题关键是能根据数轴准确判断各数的取值范围，再结合有理数的加减、乘法法则判断式子的符号，属于基础常考题，掌握有理数运算的符号规律是解题的核心。
【难度系数】
0.8
解题首先需要根据数轴确定a、b、c、d四个数的取值范围，再分别判断每个括号内算式的正负性，最后根据有理数乘法“同号得正，异号得负”的法则判断乘积和0的大小关系。
第一步：先确定各数范围：由数轴可得-3＜a＜-2，-1＜b＜0，1＜c＜2，2＜d＜3；
第二步：分别判断每个小问中两个因式的正负：
（1）先判断a+b的正负：两个负数相加，和为负；再判断c+d的正负：两个正数相加，和为正，最后根据乘法法则判断乘积符号；
（2）先判断d-a的正负：正数减负数，差为正；再判断b-c的正负：负数减正数，差为负，最后根据乘法法则判断乘积符号。
【解析】
首先根据数轴得到各数的取值范围：$\boldsymbol{-3＜a＜-2}$，$\boldsymbol{-1＜b＜0}$，$\boldsymbol{1＜c＜2}$，$\boldsymbol{2＜d＜3}$。
（1）判断$a+b$和$c+d$的符号：
$a$是负数，$b$是负数，两个负数相加和为负，因此$a+b＜0$；
$c$是正数，$d$是正数，两个正数相加和为正，因此$c+d＞0$；
根据有理数乘法法则：异号两数相乘得负，所以$(a+b)(c+d)＜0$。
（2）判断$d-a$和$b-c$的符号：
$d$是正数，$a$是负数，$d-a=d+|a|＞0$，即$d-a＞0$；
$b$是负数，$c$是正数，$b-c=b+(-c)＜0$，即$b-c＜0$；
根据有理数乘法法则：异号两数相乘得负，所以$(d-a)(b-c)＜0$。
【答案】
（1）$\boldsymbol{＜}$；（2）$\boldsymbol{＜}$
【知识点】
数轴的应用、有理数加减法法则、有理数乘法法则
【点评】
本题解题关键是能根据数轴准确判断各数的取值范围，再结合有理数的加减、乘法法则判断式子的符号，属于基础常考题，掌握有理数运算的符号规律是解题的核心。
【难度系数】
0.8
17. (2025克州期末)已知$(a+1)^2 + |b - 2| = 0$，则$ab + 1$的值等于
$-1$
。答案
17. -1
解析
【分析】
解题的核心是利用非负数的性质：若几个非负数的和为0，则每个非负数的值都为0。首先根据平方和绝对值的非负性，分别得到关于a、b的等式，求出a、b的取值后，再代入代数式ab+1计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵任意有理数的平方都是非负数，任意有理数的绝对值也是非负数，
∴$(a+1)^2 ≥ 0$，$|b-2| ≥ 0$，
又
∵$(a+1)^2 + |b - 2| = 0$，
∴仅当$(a+1)^2=0$且$|b-2|=0$时，等式成立，
即$a+1=0$，$b-2=0$，
解得$a=-1$，$b=2$，
将$a=-1$、$b=2$代入$ab+1$得：
$ab+1=(-1) × 2 + 1 = -2 + 1 = -1$。
【答案】
-1
【知识点】
非负数的性质，代数式求值，有理数运算
【点评】
本题属于基础题型，重点考查平方、绝对值的非负性应用，解题思路清晰，掌握非负数的性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题的核心是利用非负数的性质：若几个非负数的和为0，则每个非负数的值都为0。首先根据平方和绝对值的非负性，分别得到关于a、b的等式，求出a、b的取值后，再代入代数式ab+1计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵任意有理数的平方都是非负数，任意有理数的绝对值也是非负数，
∴$(a+1)^2 ≥ 0$，$|b-2| ≥ 0$，
又
∵$(a+1)^2 + |b - 2| = 0$，
∴仅当$(a+1)^2=0$且$|b-2|=0$时，等式成立，
即$a+1=0$，$b-2=0$，
解得$a=-1$，$b=2$，
将$a=-1$、$b=2$代入$ab+1$得：
$ab+1=(-1) × 2 + 1 = -2 + 1 = -1$。
【答案】
-1
【知识点】
非负数的性质，代数式求值，有理数运算
【点评】
本题属于基础题型，重点考查平方、绝对值的非负性应用，解题思路清晰，掌握非负数的性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
18. (1)若$|a|=8,|b|=2$,且$a+b＞0$,则$ab=$
(2)若$|x|=4,|y|=7$,且$x-y＞0$,则$xy=$
16或－16
;(2)若$|x|=4,|y|=7$,且$x-y＞0$,则$xy=$
28或－28
.答案
18. (1)16或－16 (2)28或－28
解析
【分析】
解题时先利用绝对值的性质求出对应字母所有可能的取值，再结合题干给出的不等式条件筛选出符合要求的取值组合，最后代入计算乘积即可。
（1）先求a、b的所有可能值，再根据a+b＞0排除不符合的取值，计算符合条件的ab值；
（2）先求x、y的所有可能值，再根据x-y＞0排除不符合的取值，计算符合条件的xy值。
【解析】
(1) 解：
∵$|a|=8$，$|b|=2$
∴$a=±8$，$b=±2$
∵$a+b＞0$
当$a=-8$时，无论$b$取2还是-2，$a+b$均小于0，不符合要求，故$a$只能取8
当$a=8$，$b=2$时，$ab=8×2=16$
当$a=8$，$b=-2$时，$ab=8×(-2)=-16$
∴$ab=16$或$-16$
(2) 解：
∵$|x|=4$，$|y|=7$
∴$x=±4$，$y=±7$
∵$x-y＞0$，即$x＞y$
当$y=7$时，无论$x$取4还是-4，均小于7，不符合要求，故$y$只能取$-7$
当$x=4$，$y=-7$时，$xy=4×(-7)=-28$
当$x=-4$，$y=-7$时，$xy=(-4)×(-7)=28$
∴$xy=28$或$-28$
【答案】
(1)16或－16；(2)28或－28
【知识点】
绝对值的性质；有理数的乘法运算；不等式的简单应用
【点评】
本题考查绝对值相关的运算，解题时需注意绝对值为正数的数有正负两个取值，需结合限制条件筛选有效取值，避免出现漏解或多取的错误。
【难度系数】
0.7
解题时先利用绝对值的性质求出对应字母所有可能的取值，再结合题干给出的不等式条件筛选出符合要求的取值组合，最后代入计算乘积即可。
（1）先求a、b的所有可能值，再根据a+b＞0排除不符合的取值，计算符合条件的ab值；
（2）先求x、y的所有可能值，再根据x-y＞0排除不符合的取值，计算符合条件的xy值。
【解析】
(1) 解：
∵$|a|=8$，$|b|=2$
∴$a=±8$，$b=±2$
∵$a+b＞0$
当$a=-8$时，无论$b$取2还是-2，$a+b$均小于0，不符合要求，故$a$只能取8
当$a=8$，$b=2$时，$ab=8×2=16$
当$a=8$，$b=-2$时，$ab=8×(-2)=-16$
∴$ab=16$或$-16$
(2) 解：
∵$|x|=4$，$|y|=7$
∴$x=±4$，$y=±7$
∵$x-y＞0$，即$x＞y$
当$y=7$时，无论$x$取4还是-4，均小于7，不符合要求，故$y$只能取$-7$
当$x=4$，$y=-7$时，$xy=4×(-7)=-28$
当$x=-4$，$y=-7$时，$xy=(-4)×(-7)=28$
∴$xy=28$或$-28$
【答案】
(1)16或－16；(2)28或－28
【知识点】
绝对值的性质；有理数的乘法运算；不等式的简单应用
【点评】
本题考查绝对值相关的运算，解题时需注意绝对值为正数的数有正负两个取值，需结合限制条件筛选有效取值，避免出现漏解或多取的错误。
【难度系数】
0.7
