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19. 某种金属棒，当温度是$20\ °\mathrm{C}$时，长为5 cm，温度每降低$1\ °\mathrm{C}$，长度的变化量为$－0.0005$ cm，求温度降低$10\ °\mathrm{C}$时，这种金属棒的长度。
答案
19. 解:根据题意,得 $5+(-0.0005)×10=5-0.005=4.995(\mathrm{cm}).$
答:温度降低$10\ ℃$时,这种金属棒的长度为4.995 cm.
答:温度降低$10\ ℃$时,这种金属棒的长度为4.995 cm.
解析
【分析】
解题时先梳理已知条件：金属棒20℃时的初始长度为5cm，温度每降低1℃，长度变化量为-0.0005cm。我们可以先算出温度降低10℃时的总长度变化量，再将总变化量和初始长度相加，就能得到降温后的金属棒长度。思考步骤：第一步，用单位温度的长度变化量乘温度降低的度数，算出总变化量；第二步，用初始长度加总变化量，得到最终长度。
【解析】
根据题意列式计算：
$5+(-0.0005)×10$
$=5-0.005$
$=4.995(\mathrm{cm})$
【答案】
温度降低$10\ °\mathrm{C}$时，这种金属棒的长度为4.995 cm。
【知识点】
正负数的实际应用；有理数的乘法运算
【点评】
本题是有理数运算结合生活场景的基础应用题，解题关键是理解负号代表长度缩短的实际含义，准确列出算式完成计算即可。
【难度系数】
0.9
解题时先梳理已知条件：金属棒20℃时的初始长度为5cm，温度每降低1℃，长度变化量为-0.0005cm。我们可以先算出温度降低10℃时的总长度变化量，再将总变化量和初始长度相加，就能得到降温后的金属棒长度。思考步骤：第一步，用单位温度的长度变化量乘温度降低的度数，算出总变化量；第二步，用初始长度加总变化量，得到最终长度。
【解析】
根据题意列式计算：
$5+(-0.0005)×10$
$=5-0.005$
$=4.995(\mathrm{cm})$
【答案】
温度降低$10\ °\mathrm{C}$时，这种金属棒的长度为4.995 cm。
【知识点】
正负数的实际应用；有理数的乘法运算
【点评】
本题是有理数运算结合生活场景的基础应用题，解题关键是理解负号代表长度缩短的实际含义，准确列出算式完成计算即可。
【难度系数】
0.9
20. 核心素养 运算能力 阅读下面的材料：
因为$\frac{1}{1×2}=1-\frac{1}{2}$，
$\frac{1}{2×3}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$，
$\frac{1}{3×4}=\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$，
…，
$\frac{1}{19×20}=\frac{1}{19}-\frac{1}{20}$，
所以$\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}+…+\frac{1}{19×20}$
$=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+…+\frac{1}{19}-\frac{1}{20}$
$=1-\frac{1}{20}=\frac{19}{20}$。
请你用上面的方法计算：$\frac{1}{-2×3}+\frac{1}{-3×4}+\frac{1}{-4×5}+…+\frac{1}{2025×2026}$
因为$\frac{1}{1×2}=1-\frac{1}{2}$，
$\frac{1}{2×3}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$，
$\frac{1}{3×4}=\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$，
…，
$\frac{1}{19×20}=\frac{1}{19}-\frac{1}{20}$，
所以$\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}+…+\frac{1}{19×20}$
$=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+…+\frac{1}{19}-\frac{1}{20}$
$=1-\frac{1}{20}=\frac{19}{20}$。
请你用上面的方法计算：$\frac{1}{-2×3}+\frac{1}{-3×4}+\frac{1}{-4×5}+…+\frac{1}{2025×2026}$
答案
解:原式$=-\dfrac{1}{2×3}-\dfrac{1}{3×4}-\dfrac{1}{4×5}-…-\dfrac{1}{2025×2026}$
$=-(\dfrac{1}{2×3}+\dfrac{1}{3×4}+\dfrac{1}{4×5}+…+\dfrac{1}{2025×2026})$
$=-(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{5}+…+\dfrac{1}{2025}-\dfrac{1}{2026})$
$=-(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2026})$
$=-\dfrac{506}{1013}.$
$=-(\dfrac{1}{2×3}+\dfrac{1}{3×4}+\dfrac{1}{4×5}+…+\dfrac{1}{2025×2026})$
$=-(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{5}+…+\dfrac{1}{2025}-\dfrac{1}{2026})$
$=-(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2026})$
$=-\dfrac{506}{1013}.$
解析
【分析】
这是一道材料阅读型的简便运算题，解题思路如下：首先观察算式特征，所有项的分母均为两个连续正整数乘积的相反数，因此先将每一项的负号提取出来，把原式转化为负的若干个形如$\frac{1}{n(n+1)}$的式子之和的形式；其次套用材料给出的裂项规律$\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，将括号内的每一项拆分；最后利用拆分后中间项两两抵消的特点，仅保留首尾两项计算即可得到结果。
【解析】
解：原式$=-\dfrac{1}{2×3}-\dfrac{1}{3×4}-\dfrac{1}{4×5}-…-\dfrac{1}{2025×2026}$
$=-(\dfrac{1}{2×3}+\dfrac{1}{3×4}+\dfrac{1}{4×5}+…+\dfrac{1}{2025×2026})$
根据材料的裂项规律拆分得：
$=-(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{5}+…+\dfrac{1}{2025}-\dfrac{1}{2026})$
中间项两两抵消后仅剩首尾两项：
$=-(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2026})$
通分计算得：
$=-(\dfrac{1013}{2026}-\dfrac{1}{2026})=-\dfrac{1012}{2026}=-\dfrac{506}{1013}$
【答案】
$-\dfrac{506}{1013}$
【知识点】
裂项相消法、有理数简便运算、分数拆分
【点评】
本题是规律探究类运算题，要求考生先理解材料给出的裂项方法，再将方法迁移到带负号的同类算式计算中，通过裂项相消简化计算过程，重点考查运算能力和知识迁移应用能力。
【难度系数】
0.7
这是一道材料阅读型的简便运算题，解题思路如下：首先观察算式特征，所有项的分母均为两个连续正整数乘积的相反数，因此先将每一项的负号提取出来，把原式转化为负的若干个形如$\frac{1}{n(n+1)}$的式子之和的形式；其次套用材料给出的裂项规律$\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，将括号内的每一项拆分；最后利用拆分后中间项两两抵消的特点，仅保留首尾两项计算即可得到结果。
【解析】
解：原式$=-\dfrac{1}{2×3}-\dfrac{1}{3×4}-\dfrac{1}{4×5}-…-\dfrac{1}{2025×2026}$
$=-(\dfrac{1}{2×3}+\dfrac{1}{3×4}+\dfrac{1}{4×5}+…+\dfrac{1}{2025×2026})$
根据材料的裂项规律拆分得：
$=-(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{5}+…+\dfrac{1}{2025}-\dfrac{1}{2026})$
中间项两两抵消后仅剩首尾两项：
$=-(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2026})$
通分计算得：
$=-(\dfrac{1013}{2026}-\dfrac{1}{2026})=-\dfrac{1012}{2026}=-\dfrac{506}{1013}$
【答案】
$-\dfrac{506}{1013}$
【知识点】
裂项相消法、有理数简便运算、分数拆分
【点评】
本题是规律探究类运算题，要求考生先理解材料给出的裂项方法，再将方法迁移到带负号的同类算式计算中，通过裂项相消简化计算过程，重点考查运算能力和知识迁移应用能力。
【难度系数】
0.7
