25. (本题满分 10 分)若二次函数 $y = ax^2 + bx + c$ 的图像与 $x$ 轴有两个交点 $M(x_1,0)$, $N(x_2,0)(0 ＜ x_1 ＜ x_2)$,且经过点 $A(0,2)$.过点 $A$ 的直线 $l$ 与 $x$ 轴交于点 $C$,与该函数的图像交于点 $B$(异于点 $A$).满足 $△ ACN$ 是等腰直角三角形,记 $△ AMN$ 的面积为 $S_1$, $△ BMN$ 的面积为 $S_2$,且 $S_2 = \frac{5}{2}S_1$.
(1) 抛物线的开口方向向(填“上”或“下”);
(2) 求直线 $l$ 相应的函数表达式;
(3) 求该二次函数的表达式.

25. (1) 上 (2) ①若$∠ ACN = 90^{\circ}$,则点$C$与$O$重合,直线$l$与抛物线交于$A$点,因为直线$l$与该函数的图像交于点$B$(异于点$A$),所以不合题意,舍去;②若$∠ ANC = 90^{\circ}$,则$C$在$x$轴的下方,与题意不符,舍去;③若$∠ CAN = 90^{\circ}$,则$∠ ACN = ∠ ANC = 45^{\circ}$,$AO = CO = NO = 2$,$\therefore C(-2,0)$,$N(2,0)$,设直线$l$为$y = kx + b$,将$A(0,2)$,$C(-2,0)$代入得$\begin{cases}b = 2,\\-2k + b = 0,\end{cases}$解得$\begin{cases}k = 1,\\b = 2.\end{cases}$$\therefore$直线$l$相应的函数表达式为$y = x + 2$; (3) 过$B$点作$BH ⊥ x$轴于点$H$,$S_1 = \frac{1}{2}MN · OA$,$S_2 = \frac{1}{2}MN · BH$,$\because S_2 = \frac{5}{2}S_1$,$\therefore BH = \frac{5}{2}OA$,$\because OA = 2$,$\therefore BH = 5$,即$B$点的纵坐标为 5,代入$y = x + 2$中,得$x = 3$,$\therefore B(3,5)$.将$A$,$B$,$N$三点的坐标代入$y = ax^2 + bx + c$得$\begin{cases}c = 2,\\4a + 2b + c = 0,\\9a + 3b + c = 5,\end{cases}$解得$\begin{cases}a = 2,\\b = -5,\\c = 2.\end{cases}$$\therefore$抛物线的解析式为$y = 2x^2 - 5x + 2$.

26. (本题满分 12 分)木门常常需要雕刻美丽的图案.
(1) 图 1 为某矩形木门示意图,其中 $AB$ 长为 200 cm, $AD$ 长为 100 cm,阴影部分是边长为 30 cm 的正方形雕刻模具,刻刀的位置在模具的中心点 $P$ 处,在雕刻时始终保持模具的一边紧贴木门的一边,所刻图案如虚线所示,求图案的周长;
(2) 如图 2,对于(1)中的木门,当模具换成边长为 $30\sqrt{3}$ cm 的等边三角形时,刻刀的位置仍在模具的中心点 $P$ 处,雕刻时也始终保持模具的一边紧贴木门的一边,使模具进行滑动雕刻.但当模具的一个顶点与木门的一个顶点重合时,需将模具绕着重合点进行旋转雕刻,直到模具的另一边与木门的另一边重合.再滑动模具进行雕刻,如此雕刻一周,请在图 2 中画出雕刻所得图案的草图,并求其周长.

26. (1) 如图 1,过点$P$作$PE ⊥ CD$于点$E$,$\because$点$P$是边长为$30\mathrm{cm}$的正方形雕刻模具的中心,$\therefore PE = 15\mathrm{cm}$,同理:$A'B'$与$AB$之间的距离为$15\mathrm{cm}$,$A'D'$与$AD$之间的距离为$15\mathrm{cm}$,$B'C'$与$BC$之间的距离为$15\mathrm{cm}$,$\therefore A'B' = C'D' = 200 - 15 - 15 = 170(\mathrm{cm})$,$B'C' = A'D' = 100 - 15 - 15 = 70(\mathrm{cm})$,$\therefore C_{\mathrm{四边形}A'B'C'D'} = (170 + 70) × 2 = 480(\mathrm{cm})$.答:图案的周长为$480\mathrm{cm}$. (2) 连接$PE$,$PF$,$PG$,过点$P$作$PQ ⊥ CD$于点$Q$,如图 2,$\because P$点是边长为$30\sqrt{3}\mathrm{cm}$的等边三角形模具的中心,$\therefore PE = PG = PF$,$∠ PGF = 30^{\circ}$,$\because PQ ⊥ GF$,$\therefore GQ = FQ = 15\sqrt{3}\mathrm{cm}$,$\therefore PQ = GQ · \tan 30^{\circ} = 15(\mathrm{cm})$,$PG = \frac{GQ}{\cos 30^{\circ}} = 30(\mathrm{cm})$,当$△ EFG$向上平移至点$G$与点$D$重合时,由题意可得,$△ E'F'G'$绕点$D$顺时针旋转$30^{\circ}$,使得$E'G'$与$AD$边重合,$\therefore DP'$绕点$D$顺时针旋转$30^{\circ}$到$DP''$,$\therefore l_{\widehat{F'P'}} = \frac{30π × 30}{180} = 5π \mathrm{cm}$,同理可得其余三个角均为弧长为$5π \mathrm{cm}$的圆弧,$\therefore$周长$=(200 - 30\sqrt{3} + 100 - 30\sqrt{3}) × 2 + 5π × 4 = (600 - 120\sqrt{3} + 20π)\mathrm{cm}$.答:雕刻所得图案的周长为$(600 - 120\sqrt{3} + 20π)\mathrm{cm}$.