23. (本题满分 10 分)生活在数字时代的我们,很多场合用二维码(如图 1)来表示不同的信息.类似地,可通过在矩形网格中,对每一个小方格涂色或不涂色所得的图形来表示不同的信息.例如:网格中只有一个小方格,如图 2,通过涂色或不涂色可表示两个不同的信息.

(1) 用树状图或列表格的方法,求图 3 可表示不同信息的总个数;(图中标号 1,2 表示两个不同位置的小方格,下同)
(2) 图 4 为 $2 × 2$ 的网格图,它可表示不同信息的总个数为;
(3) 某校需要给每位师生制作一张“校园出入证”,准备在证件的右下角采用 $n × n$ 的网格图来表示个人身份信息,若该校师生共 492 人,则 $n$ 的最小值为.

23. (1) 画树状图如下:

共有 4 种等可能结果,$\therefore$图 3 可表示不同信息的总个数为 4; (2) 画树状图如下:

共有 16 种等可能结果,故答案为 16; (3) 3

24. (本题满分 10 分)如图, $\odot O$ 是 $△ ABC$ 的外接圆, $AB$ 是 $\odot O$ 的直径, $∠ DCA = ∠ B$.
(1) 求证:$CD$ 是 $\odot O$ 的切线;
(2) 若 $DE ⊥ AB$,垂足为 $E$, $DE$ 交 $AC$ 于点 $F$,求证:$△ DCF$ 是等腰三角形.

24. (1) 连接$OC$,$\because OC = OA$,$\therefore ∠ OCA = ∠ A$.$\because AB$是$\odot O$的直径,$\therefore ∠ BCA = 90^{\circ}$,$\therefore ∠ A + ∠ B = 90^{\circ}$,$\because ∠ DCA = ∠ B$,$\therefore ∠ OCA + ∠ DCA = ∠ OCD = 90^{\circ}$,$\therefore OC ⊥ CD$,$\therefore CD$是$\odot O$的切线; (2)$\because ∠ OCA + ∠ DCA = 90^{\circ}$,$∠ OCA = ∠ A$,$\therefore ∠ A + ∠ DCA = 90^{\circ}$,$\because DE ⊥ AB$,$\therefore ∠ A + ∠ EFA = 90^{\circ}$,$\therefore ∠ DCA = ∠ EFA$,$\because ∠ EFA = ∠ DFC$,$\therefore ∠ DCA = ∠ DFC$,$\therefore △ DCF$是等腰三角形.