27. (本题满分 14 分)以下为一个合作学习小组在一次数学试验中的过程记录,请阅读后完成下方的问题.
(1) 在 $Rt△ ABC$ 中, $∠ C = 90°$, $AB = 2\sqrt{2}$,在探究三边关系时,通过画图、度量和计算,收集到一组数据如下表:(单位:厘米)

(2) 根据学习函数的经验,选取上表中 $BC$ 和 $AC + BC$ 的数据进行分析:
① $BC = x$, $AC + BC = y$,以 $(x,y)$ 为坐标,在图 1 所示的坐标系中描出对应的点;
② 连线.

观察思考
(3) 结合表中的数据以及所画的图像,猜想:当 $x =$时, $y$ 最大;
(4) 进一步猜想:若 $Rt△ ABC$ 中, $∠ C = 90°$,斜边 $AB = 2a$($a$ 为常数,$a ＞ 0$),则 $BC =$时, $AC + BC$ 最大.
推理证明
(5) 对(4)中的猜想进行证明.
问题 1
在图 1 中完善(2)的描点过程,并依次连线;
问题 2
补全观察思考中的两个猜想:(3);(4);
问题 3
证明上述(5)中的猜想;
问题 4
图 2 中折线 $B - E - F - G - A$ 是一个感光元件的截面设计草图,其中点 $A$, $B$ 间的距离是 4 cm, $AG = BE = 1$ cm. $∠ E = ∠ F = ∠ G = 90°$.平行光线从 $AB$ 区域射入, $∠ BNE = 60°$,线段 $FM$, $FN$ 为感光区域,当 $EF$ 的长度为多少时,感光区域长度之和最大,并求出最大值.

27. 问题 1:函数图像如图 1 所示 问题 2:2 $\sqrt{2}a$ 问题 3:设$BC = x$,$AC + BC = y$,在$Rt△ ABC$中,$\because ∠ C = 90^{\circ}$,$\therefore AC = \sqrt{AB^2 - BC^2} = \sqrt{4a^2 - x^2}$,$\therefore y = x + \sqrt{4a^2 - x^2}$,$\therefore y - x = \sqrt{4a^2 - x^2}$,$\therefore y^2 - 2xy + x^2 = 4a^2 - x^2$,$\therefore 2x^2 - 2xy + y^2 - 4a^2 = 0$,$\because$关于$x$的一元二次方程有实数根,$\therefore b^2 - 4ac = 4y^2 - 4 × 2 × (y^2 - 4a^2) ≥ 0$,$\therefore y^2 ≤ 8a^2$,$\because y ＞ 0$,$a ＞ 0$,$\therefore y ≤ 2\sqrt{2}a$,当$y = 2\sqrt{2}a$时,$2x^2 - 4\sqrt{2}ax + 4a^2 = 0$,$\therefore (\sqrt{2}x - 2a)^2 = 0$,$\therefore x_1 = x_2 = \sqrt{2}a$,$\therefore$当$BC = \sqrt{2}a$时,$y$有最大值 问题 4:如图 2,延长$AM$交$EF$的延长线于$C$,过点$A$作$AH ⊥ EF$于$H$,过点$B$作$BK ⊥ GF$于$K$交$AH$于$Q$.在$Rt△ BNE$中,$∠ E = 90^{\circ}$,$∠ BNE = 60^{\circ}$,$BE = 1\mathrm{cm}$,$\therefore \tan ∠ BNE = \frac{BE}{EN}$,$\therefore NE = \frac{\sqrt{3}}{3}(\mathrm{cm})$,$\because AM // BN$,$\therefore ∠ C = 60^{\circ}$,$\because ∠ GFE = 90^{\circ}$,$\therefore ∠ CMF = 30^{\circ}$,$\therefore ∠ AMG = 30^{\circ}$,$\because ∠ G = 90^{\circ}$,$AG = 1\mathrm{cm}$,$∠ AMG = 30^{\circ}$,$\therefore$在$Rt△ AGM$中,$\tan ∠ AMG = \frac{AG}{GM}$,$\therefore GM = \sqrt{3}(\mathrm{cm})$,$\because ∠ G = ∠ GFH = 90^{\circ}$,$∠ AHF = 90^{\circ}$,$\therefore$四边形$AGFH$为矩形,$\therefore AH = FG$,$\because ∠ GFH = ∠ E = 90^{\circ}$,$∠ BKF = 90^{\circ}$,$\therefore$四边形$BKFE$是矩形,$\therefore BK = FE$,$\because FN + FM = EF + FG - EN - GM = BK + AH - \frac{\sqrt{3}}{3} - \sqrt{3} = BQ + AQ + KQ + QH - \frac{4\sqrt{3}}{3} = BQ + AQ + 2 - \frac{4\sqrt{3}}{3}$,在$Rt△ ABQ$中,$AB = 4\mathrm{cm}$,由问题 3 可知,当$BQ = AQ = 2\sqrt{2}\mathrm{cm}$时,$AQ + BQ$的值最大,此时$EF = (1 + 2\sqrt{2})\mathrm{cm}$.$\therefore BQ = AQ = 2\sqrt{2}\mathrm{cm}$时,$FN + FM$的最大值为$(4\sqrt{2} + 2 - \frac{4\sqrt{3}}{3})\mathrm{cm}$,此时$EF = (1 + 2\sqrt{2})\mathrm{cm}$.