5. (1) 计算$\frac{\sin 30°}{\cos 30°}$和$\tan 30°$,你发现了什么? 对于任意锐角$α$,是否有$\frac{\sinα}{\cosα}=\tanα$? 说明理由.
(2) 计算:① $\cos^{2}45°+\sin^{2}45°$;② $\cos^{2}60°+\sin^{2}60°$.你发现了什么? 对任意锐角$α$,是否都有$\cos^{2}α+\sin^{2}α=1$? 请说明理由.
(2) 计算:① $\cos^{2}45°+\sin^{2}45°$;② $\cos^{2}60°+\sin^{2}60°$.你发现了什么? 对任意锐角$α$,是否都有$\cos^{2}α+\sin^{2}α=1$? 请说明理由.
答案
解：(1)
$\because \sin30°=\frac{1}{2}$，$\cos30°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
$\therefore \frac{\sin30°}{\cos30°}=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，
$\tan30°=\frac{\sqrt{3}}{3}$，
发现：$\frac{\sin30°}{\cos30°}=\tan30°$。
对于任意锐角$α$，有$\frac{\sinα}{\cosα}=\tanα$，理由如下：
设直角三角形中，锐角$α$的对边为$a$，邻边为$b$，斜边为$c$，
则$\sinα=\frac{a}{c}$，$\cosα=\frac{b}{c}$，$\tanα=\frac{a}{b}$，
$\therefore \frac{\sinα}{\cosα}=\frac{\frac{a}{c}}{\frac{b}{c}}=\frac{a}{b}=\tanα$。
(2)
① $\cos^245°+\sin^245°=(\frac{\sqrt{2}}{2})^2+(\frac{\sqrt{2}}{2})^2=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1$；
② $\cos^260°+\sin^260°=(\frac{1}{2})^2+(\frac{\sqrt{3}}{2})^2=\frac{1}{4}+\frac{3}{4}=1$。
发现：$\cos^245°+\sin^245°=1$，$\cos^260°+\sin^260°=1$。
对任意锐角$α$，都有$\cos^2α+\sin^2α=1$，理由如下：
设直角三角形中，锐角$α$的对边为$a$，邻边为$b$，斜边为$c$，
则$\sinα=\frac{a}{c}$，$\cosα=\frac{b}{c}$，
由勾股定理得$a^2+b^2=c^2$，
$\therefore \cos^2α+\sin^2α=(\frac{b}{c})^2+(\frac{a}{c})^2=\frac{b^2+a^2}{c^2}=\frac{c^2}{c^2}=1$。
$\because \sin30°=\frac{1}{2}$，$\cos30°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
$\therefore \frac{\sin30°}{\cos30°}=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，
$\tan30°=\frac{\sqrt{3}}{3}$，
发现：$\frac{\sin30°}{\cos30°}=\tan30°$。
对于任意锐角$α$，有$\frac{\sinα}{\cosα}=\tanα$，理由如下：
设直角三角形中，锐角$α$的对边为$a$，邻边为$b$，斜边为$c$，
则$\sinα=\frac{a}{c}$，$\cosα=\frac{b}{c}$，$\tanα=\frac{a}{b}$，
$\therefore \frac{\sinα}{\cosα}=\frac{\frac{a}{c}}{\frac{b}{c}}=\frac{a}{b}=\tanα$。
(2)
① $\cos^245°+\sin^245°=(\frac{\sqrt{2}}{2})^2+(\frac{\sqrt{2}}{2})^2=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1$；
② $\cos^260°+\sin^260°=(\frac{1}{2})^2+(\frac{\sqrt{3}}{2})^2=\frac{1}{4}+\frac{3}{4}=1$。
发现：$\cos^245°+\sin^245°=1$，$\cos^260°+\sin^260°=1$。
对任意锐角$α$，都有$\cos^2α+\sin^2α=1$，理由如下：
设直角三角形中，锐角$α$的对边为$a$，邻边为$b$，斜边为$c$，
则$\sinα=\frac{a}{c}$，$\cosα=\frac{b}{c}$，
由勾股定理得$a^2+b^2=c^2$，
$\therefore \cos^2α+\sin^2α=(\frac{b}{c})^2+(\frac{a}{c})^2=\frac{b^2+a^2}{c^2}=\frac{c^2}{c^2}=1$。
6. 如图为某景区五个景点$A$、$B$、$C$、$D$、$E$的平面示意图,景点$B$、$A$在$C$的正东方向,$D$在$C$的正北方向,$D$、$E$在$B$的北偏西$30°$方向,$E$在$A$的西北方向;景点$C$与景点$D$相距$1\,000\sqrt{3}$ m,$E$在$BD$的中点处.
(1) 求景点$B$、$E$之间的距离(结果保留根号);
(2) 求景点$B$、$A$之间的距离(结果保留根号).
(1) 求景点$B$、$E$之间的距离(结果保留根号);
(2) 求景点$B$、$A$之间的距离(结果保留根号).
答案
解：(1) 在$\mathrm{Rt}△ BCD$中，$∠ C=90°$，
由题意得$∠ DBC=60°$，$CD=1000\sqrt{3}\ \mathrm{m}$，
$\because \sin∠ DBC = \frac{CD}{BD}$，
$\therefore BD = \frac{CD}{\sin60°} = \frac{1000\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 2000\ \mathrm{m}$，
$\because E$是$BD$的中点，
$\therefore BE = \frac{1}{2}BD = 1000\ \mathrm{m}$。
(2) 过点$E$作$EF⊥ AB$于点$F$，
在$\mathrm{Rt}△ BEF$中，$∠ EFB=90°$，$∠ EBF=60°$，$BE=1000\ \mathrm{m}$，
$EF = BE·\sin60° = 1000×\frac{\sqrt{3}}{2} = 500\sqrt{3}\ \mathrm{m}$，
$BF = BE·\cos60° = 1000×\frac{1}{2} = 500\ \mathrm{m}$，
$\because E$在$A$的西北方向，
$\therefore ∠ EAF=45°$，
在$\mathrm{Rt}△ AEF$中，$∠ EFA=90°$，$∠ EAF=45°$，
$\therefore AF=EF=500\sqrt{3}\ \mathrm{m}$，
$\therefore BA=AF + BF=500\sqrt{3} + 500=500(\sqrt{3}+1)\ \mathrm{m}$。
答：(1) 景点$B$、$E$之间的距离为$1000\ \mathrm{m}$；
(2) 景点$B$、$A$之间的距离为$500(\sqrt{3}+1)\ \mathrm{m}$。
由题意得$∠ DBC=60°$，$CD=1000\sqrt{3}\ \mathrm{m}$，
$\because \sin∠ DBC = \frac{CD}{BD}$，
$\therefore BD = \frac{CD}{\sin60°} = \frac{1000\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 2000\ \mathrm{m}$，
$\because E$是$BD$的中点，
$\therefore BE = \frac{1}{2}BD = 1000\ \mathrm{m}$。
(2) 过点$E$作$EF⊥ AB$于点$F$，
在$\mathrm{Rt}△ BEF$中，$∠ EFB=90°$，$∠ EBF=60°$，$BE=1000\ \mathrm{m}$，
$EF = BE·\sin60° = 1000×\frac{\sqrt{3}}{2} = 500\sqrt{3}\ \mathrm{m}$，
$BF = BE·\cos60° = 1000×\frac{1}{2} = 500\ \mathrm{m}$，
$\because E$在$A$的西北方向，
$\therefore ∠ EAF=45°$，
在$\mathrm{Rt}△ AEF$中，$∠ EFA=90°$，$∠ EAF=45°$，
$\therefore AF=EF=500\sqrt{3}\ \mathrm{m}$，
$\therefore BA=AF + BF=500\sqrt{3} + 500=500(\sqrt{3}+1)\ \mathrm{m}$。
答：(1) 景点$B$、$E$之间的距离为$1000\ \mathrm{m}$；
(2) 景点$B$、$A$之间的距离为$500(\sqrt{3}+1)\ \mathrm{m}$。
7. 如图,在$△ ABC$中,$∠ B=45°$,$∠ C=75°$,$BC=3\sqrt{2}$,求$AB$、$AC$的长.
答案
解：过点A作AD⊥BC于点D，设AD=x。
在Rt△ABD中，∠B=45°，∠ADB=90°，
∴BD=AD=x，AB=√2 x。
在Rt△ACD中，∠C=75°，∠ADC=90°，
tan75°=tan(45°+30°)= $\frac{tan45°+tan30°}{1-tan45°tan30°}$ = $\frac{1+\frac{\sqrt{3}}{3}}{1-\frac{\sqrt{3}}{3}}$ = 2+√3，
∵tanC=$\frac{AD}{DC}$，∴DC=$\frac{AD}{tan75°}$=$\frac{x}{2+\sqrt{3}}$=x(2-√3)。
∵BC=BD+DC=3√2，
∴x + x(2-√3)=3√2，
x(3-√3)=3√2，
x=$\frac{3√2}{3-\sqrt{3}}$=$\frac{3√2(3+\sqrt{3})}{(3-\sqrt{3})(3+\sqrt{3})}$=$\frac{3√2+√6}{2}$。
∴AB=√2 x=√2×$\frac{3√2+√6}{2}$=$\frac{6+2√3}{2}$=3+√3。
sin75°=sin(45°+30°)=sin45°cos30°+cos45°sin30°=$\frac{√2}{2}×\frac{√3}{2}+\frac{√2}{2}×\frac{1}{2}$=$\frac{√6+√2}{4}$，
∵sinC=$\frac{AD}{AC}$，∴AC=$\frac{AD}{sin75°}$=$\frac{3√2+√6}{2}÷\frac{√6+√2}{4}$=$\frac{2(3√2+√6)}{√6+√2}$=2√3。
答：AB的长为$3+\sqrt{3}$，AC的长为$2\sqrt{3}$。
在Rt△ABD中，∠B=45°，∠ADB=90°，
∴BD=AD=x，AB=√2 x。
在Rt△ACD中，∠C=75°，∠ADC=90°，
tan75°=tan(45°+30°)= $\frac{tan45°+tan30°}{1-tan45°tan30°}$ = $\frac{1+\frac{\sqrt{3}}{3}}{1-\frac{\sqrt{3}}{3}}$ = 2+√3，
∵tanC=$\frac{AD}{DC}$，∴DC=$\frac{AD}{tan75°}$=$\frac{x}{2+\sqrt{3}}$=x(2-√3)。
∵BC=BD+DC=3√2，
∴x + x(2-√3)=3√2，
x(3-√3)=3√2，
x=$\frac{3√2}{3-\sqrt{3}}$=$\frac{3√2(3+\sqrt{3})}{(3-\sqrt{3})(3+\sqrt{3})}$=$\frac{3√2+√6}{2}$。
∴AB=√2 x=√2×$\frac{3√2+√6}{2}$=$\frac{6+2√3}{2}$=3+√3。
sin75°=sin(45°+30°)=sin45°cos30°+cos45°sin30°=$\frac{√2}{2}×\frac{√3}{2}+\frac{√2}{2}×\frac{1}{2}$=$\frac{√6+√2}{4}$，
∵sinC=$\frac{AD}{AC}$，∴AC=$\frac{AD}{sin75°}$=$\frac{3√2+√6}{2}÷\frac{√6+√2}{4}$=$\frac{2(3√2+√6)}{√6+√2}$=2√3。
答：AB的长为$3+\sqrt{3}$，AC的长为$2\sqrt{3}$。
8. 如图,在$△ ABC$中,$∠ C=30°$,$∠ BAC=105°$,$AD⊥ BC$,垂足为$D$,$AC=2$.求$BC$的长(结果保留根号).
答案
解：
在$△ABC$中，
$∠ B = 180° - ∠ C - ∠ BAC = 180° - 30° - 105° = 45°$。
因为$AD ⊥ BC$，所以$∠ ADC = ∠ ADB = 90°$。
在$Rt△ ADC$中，
$AD = AC · \sin30° = 2 × \frac{1}{2} = 1$，
$CD = AC · \cos30° = 2 × \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$。
在$Rt△ ADB$中，$∠ B = 45°$，
所以$BD = AD = 1$。
因此，$BC = CD + BD = \sqrt{3} + 1$。
在$△ABC$中，
$∠ B = 180° - ∠ C - ∠ BAC = 180° - 30° - 105° = 45°$。
因为$AD ⊥ BC$，所以$∠ ADC = ∠ ADB = 90°$。
在$Rt△ ADC$中，
$AD = AC · \sin30° = 2 × \frac{1}{2} = 1$，
$CD = AC · \cos30° = 2 × \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$。
在$Rt△ ADB$中，$∠ B = 45°$，
所以$BD = AD = 1$。
因此，$BC = CD + BD = \sqrt{3} + 1$。
