(2) $\sin 45°+\cos 45°=$,$0.5-\cos 60°=$.
答案
解：
$\sin 45°+\cos 45°=\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}$
$0.5-\cos 60°=0.5-\frac{1}{2}=0$
$\sin 45°+\cos 45°=\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}$
$0.5-\cos 60°=0.5-\frac{1}{2}=0$
(3) $\tan 45°-\sin 60°=$,$\cos 60°+\tan 60°=$.
答案
解：
$\tan 45°-\sin 60°=1-\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{2-\sqrt{3}}{2}$
$\cos 60°+\tan 60°=\frac{1}{2}+\sqrt{3}=\frac{1+2\sqrt{3}}{2}$
$\tan 45°-\sin 60°=1-\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{2-\sqrt{3}}{2}$
$\cos 60°+\tan 60°=\frac{1}{2}+\sqrt{3}=\frac{1+2\sqrt{3}}{2}$
(4) 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ C=90°$,$AB=2BC$,给出下列结论:① $\sin A=\frac{\sqrt{3}}{2}$;② $\cos B=\frac{1}{2}$;③ $\tan A=\frac{\sqrt{3}}{3}$;④ $\tan B=\sqrt{3}$. 其中,正确的结论是(填序号).
答案
解：在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AB=2BC$，
$\therefore \sin A=\frac{BC}{AB}=\frac{BC}{2BC}=\frac{1}{2}$，
$\therefore ∠ A=30°$，则$∠ B=90°-30°=60°$。
① $\sin A=\frac{1}{2}≠\frac{\sqrt{3}}{2}$，故①错误；
② $\cos B=\cos60°=\frac{1}{2}$，故②正确；
③ $\tan A=\tan30°=\frac{\sqrt{3}}{3}$，故③正确；
④ $\tan B=\tan60°=\sqrt{3}$，故④正确。
综上，正确的结论是②③④。
$\therefore \sin A=\frac{BC}{AB}=\frac{BC}{2BC}=\frac{1}{2}$，
$\therefore ∠ A=30°$，则$∠ B=90°-30°=60°$。
① $\sin A=\frac{1}{2}≠\frac{\sqrt{3}}{2}$，故①错误；
② $\cos B=\cos60°=\frac{1}{2}$，故②正确；
③ $\tan A=\tan30°=\frac{\sqrt{3}}{3}$，故③正确；
④ $\tan B=\tan60°=\sqrt{3}$，故④正确。
综上，正确的结论是②③④。
2. (1) 地铁站一台入口双翼闸机如图所示,当它的双翼展开时,双翼边缘的端点$A$与$B$之间的距离为10 cm,双翼的边缘$AC=BD=61$ cm,且与闸机侧立面夹角$∠ PCA=∠ BDQ=30°$.当双翼收起时,可以通过闸机的物体最大宽度为.
(2) 如图,为测量某物体$AB$的高度,在点$D$测得点$A$的仰角为$30°$.朝物体$AB$方向前进20 m,到达点$C$,再次测得点$A$的仰角为$60°$,则物体$AB$的高度为().
A. $10\sqrt{3}$ m
B. 10 m
C. $20\sqrt{3}$ m
D. $\frac{20\sqrt{3}}{3}$ m
(2) 如图,为测量某物体$AB$的高度,在点$D$测得点$A$的仰角为$30°$.朝物体$AB$方向前进20 m,到达点$C$,再次测得点$A$的仰角为$60°$,则物体$AB$的高度为().
A. $10\sqrt{3}$ m
B. 10 m
C. $20\sqrt{3}$ m
D. $\frac{20\sqrt{3}}{3}$ m
答案
(1)
解：过点$A$作$AE⊥ PC$于点$E$，过点$B$作$BF⊥ QD$于点$F$。
在$\mathrm{Rt}△ ACE$中，$∠ PCA=30°$，$AC=61\ \mathrm{cm}$，
$\therefore AE = AC·\sin30° = 61×\frac{1}{2}=30.5\ \mathrm{cm}$。
同理，$BF = BD·\sin30° = 61×\frac{1}{2}=30.5\ \mathrm{cm}$。
可以通过闸机的物体最大宽度为：$AE + AB + BF = 30.5 + 10 + 30.5 = 71\ \mathrm{cm}$。
(2)
解：设物体$AB$的高度为$x\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，$∠ D=30°$，
$\therefore BD = \frac{AB}{\tan30°} = \frac{x}{\frac{\sqrt{3}}{3}}=\sqrt{3}x$。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=60°$，
$\therefore BC = \frac{AB}{\tan60°} = \frac{x}{\sqrt{3}}$。
$\because DC = BD - BC = 20\ \mathrm{m}$，
$\therefore \sqrt{3}x - \frac{x}{\sqrt{3}}=20$，
化简得：$\frac{2x}{\sqrt{3}}=20$，
解得：$x=10\sqrt{3}$。
故选$\mathrm{A}$。
解：过点$A$作$AE⊥ PC$于点$E$，过点$B$作$BF⊥ QD$于点$F$。
在$\mathrm{Rt}△ ACE$中，$∠ PCA=30°$，$AC=61\ \mathrm{cm}$，
$\therefore AE = AC·\sin30° = 61×\frac{1}{2}=30.5\ \mathrm{cm}$。
同理，$BF = BD·\sin30° = 61×\frac{1}{2}=30.5\ \mathrm{cm}$。
可以通过闸机的物体最大宽度为：$AE + AB + BF = 30.5 + 10 + 30.5 = 71\ \mathrm{cm}$。
(2)
解：设物体$AB$的高度为$x\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，$∠ D=30°$，
$\therefore BD = \frac{AB}{\tan30°} = \frac{x}{\frac{\sqrt{3}}{3}}=\sqrt{3}x$。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=60°$，
$\therefore BC = \frac{AB}{\tan60°} = \frac{x}{\sqrt{3}}$。
$\because DC = BD - BC = 20\ \mathrm{m}$，
$\therefore \sqrt{3}x - \frac{x}{\sqrt{3}}=20$，
化简得：$\frac{2x}{\sqrt{3}}=20$，
解得：$x=10\sqrt{3}$。
故选$\mathrm{A}$。
3. 计算:
(1) $2\sin 30°+3\cos 60°-4\tan 45°$;
(2) $\frac{\cos^{2}30°}{1+\sin 30°}+\tan^{2}60°$;
(3) $\cos^{2}30°+\sin^{2}30°-\tan 45°$.
(1) $2\sin 30°+3\cos 60°-4\tan 45°$;
(2) $\frac{\cos^{2}30°}{1+\sin 30°}+\tan^{2}60°$;
(3) $\cos^{2}30°+\sin^{2}30°-\tan 45°$.
答案
解：
(1) $2\sin 30°+3\cos 60°-4\tan 45°$
$=2×\frac{1}{2}+3×\frac{1}{2}-4×1$
$=1+\frac{3}{2}-4$
$=-\frac{3}{2}$
(2) $\frac{\cos^{2}30°}{1+\sin 30°}+\tan^{2}60°$
$=\frac{(\frac{\sqrt{3}}{2})^2}{1+\frac{1}{2}}+(\sqrt{3})^2$
$=\frac{\frac{3}{4}}{\frac{3}{2}}+3$
$=\frac{1}{2}+3$
$=\frac{7}{2}$
(3) $\cos^{2}30°+\sin^{2}30°-\tan 45°$
$=(\frac{\sqrt{3}}{2})^2+(\frac{1}{2})^2-1$
$=\frac{3}{4}+\frac{1}{4}-1$
$=1-1$
$=0$
(1) $2\sin 30°+3\cos 60°-4\tan 45°$
$=2×\frac{1}{2}+3×\frac{1}{2}-4×1$
$=1+\frac{3}{2}-4$
$=-\frac{3}{2}$
(2) $\frac{\cos^{2}30°}{1+\sin 30°}+\tan^{2}60°$
$=\frac{(\frac{\sqrt{3}}{2})^2}{1+\frac{1}{2}}+(\sqrt{3})^2$
$=\frac{\frac{3}{4}}{\frac{3}{2}}+3$
$=\frac{1}{2}+3$
$=\frac{7}{2}$
(3) $\cos^{2}30°+\sin^{2}30°-\tan 45°$
$=(\frac{\sqrt{3}}{2})^2+(\frac{1}{2})^2-1$
$=\frac{3}{4}+\frac{1}{4}-1$
$=1-1$
$=0$
4. 求满足下列条件的锐角$α$.
(1) $2\sinα-\sqrt{3}=0$;
(2) $3\tan(α+10°)=\sqrt{3}$.
(1) $2\sinα-\sqrt{3}=0$;
(2) $3\tan(α+10°)=\sqrt{3}$.
答案
解：
(1) $2\sinα-\sqrt{3}=0$
移项得：$2\sinα=\sqrt{3}$
两边同时除以2得：$\sinα=\frac{\sqrt{3}}{2}$
∵α为锐角，$\sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$
∴$α=60°$
(2) $3\tan(α+10°)=\sqrt{3}$
两边同时除以3得：$\tan(α+10°)=\frac{\sqrt{3}}{3}$
∵α为锐角，$\tan30°=\frac{\sqrt{3}}{3}$
∴$α+10°=30°$
解得：$α=20°$
(1) $2\sinα-\sqrt{3}=0$
移项得：$2\sinα=\sqrt{3}$
两边同时除以2得：$\sinα=\frac{\sqrt{3}}{2}$
∵α为锐角，$\sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$
∴$α=60°$
(2) $3\tan(α+10°)=\sqrt{3}$
两边同时除以3得：$\tan(α+10°)=\frac{\sqrt{3}}{3}$
∵α为锐角，$\tan30°=\frac{\sqrt{3}}{3}$
∴$α+10°=30°$
解得：$α=20°$
