如图7-13,在常用的两块三角尺中有几个不同的锐角,你能根据锐角三角函数定义求出这几个角的正弦值、余弦值和正切值吗?
答案
解：
常用的两块三角尺的锐角为$30°$、$60°$、$45°$，分别计算如下：
1. 含$30°$、$60°$的直角三角尺：
设$30°$所对的直角边长为$a$，则斜边长为$2a$，另一条直角边长为$\sqrt{(2a)^2 - a^2}=\sqrt{3}a$。
$\sin30°=\frac{\mathrm{对边}}{\mathrm{斜边}}=\frac{a}{2a}=\frac{1}{2}$，
$\cos30°=\frac{\mathrm{邻边}}{\mathrm{斜边}}=\frac{\sqrt{3}a}{2a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
$\tan30°=\frac{\mathrm{对边}}{\mathrm{邻边}}=\frac{a}{\sqrt{3}a}=\frac{\sqrt{3}}{3}$；
$\sin60°=\frac{\mathrm{对边}}{\mathrm{斜边}}=\frac{\sqrt{3}a}{2a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
$\cos60°=\frac{\mathrm{邻边}}{\mathrm{斜边}}=\frac{a}{2a}=\frac{1}{2}$，
$\tan60°=\frac{\mathrm{对边}}{\mathrm{邻边}}=\frac{\sqrt{3}a}{a}=\sqrt{3}$；
2. 含$45°$的等腰直角三角尺：
设直角边长为$b$，则斜边长为$\sqrt{b^2 + b^2}=\sqrt{2}b$。
$\sin45°=\frac{\mathrm{对边}}{\mathrm{斜边}}=\frac{b}{\sqrt{2}b}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
$\cos45°=\frac{\mathrm{邻边}}{\mathrm{斜边}}=\frac{b}{\sqrt{2}b}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
$\tan45°=\frac{\mathrm{对边}}{\mathrm{邻边}}=\frac{b}{b}=1$。
综上：
$\sin30°=\frac{1}{2}$，$\cos30°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\tan30°=\frac{\sqrt{3}}{3}$；
$\sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\cos60°=\frac{1}{2}$，$\tan60°=\sqrt{3}$；
$\sin45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\cos45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\tan45°=1$。
常用的两块三角尺的锐角为$30°$、$60°$、$45°$，分别计算如下：
1. 含$30°$、$60°$的直角三角尺：
设$30°$所对的直角边长为$a$，则斜边长为$2a$，另一条直角边长为$\sqrt{(2a)^2 - a^2}=\sqrt{3}a$。
$\sin30°=\frac{\mathrm{对边}}{\mathrm{斜边}}=\frac{a}{2a}=\frac{1}{2}$，
$\cos30°=\frac{\mathrm{邻边}}{\mathrm{斜边}}=\frac{\sqrt{3}a}{2a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
$\tan30°=\frac{\mathrm{对边}}{\mathrm{邻边}}=\frac{a}{\sqrt{3}a}=\frac{\sqrt{3}}{3}$；
$\sin60°=\frac{\mathrm{对边}}{\mathrm{斜边}}=\frac{\sqrt{3}a}{2a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
$\cos60°=\frac{\mathrm{邻边}}{\mathrm{斜边}}=\frac{a}{2a}=\frac{1}{2}$，
$\tan60°=\frac{\mathrm{对边}}{\mathrm{邻边}}=\frac{\sqrt{3}a}{a}=\sqrt{3}$；
2. 含$45°$的等腰直角三角尺：
设直角边长为$b$，则斜边长为$\sqrt{b^2 + b^2}=\sqrt{2}b$。
$\sin45°=\frac{\mathrm{对边}}{\mathrm{斜边}}=\frac{b}{\sqrt{2}b}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
$\cos45°=\frac{\mathrm{邻边}}{\mathrm{斜边}}=\frac{b}{\sqrt{2}b}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
$\tan45°=\frac{\mathrm{对边}}{\mathrm{邻边}}=\frac{b}{b}=1$。
综上：
$\sin30°=\frac{1}{2}$，$\cos30°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\tan30°=\frac{\sqrt{3}}{3}$；
$\sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\cos60°=\frac{1}{2}$，$\tan60°=\sqrt{3}$；
$\sin45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\cos45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\tan45°=1$。
例1 计算:(1) $\sin 30°+\sqrt{3}\cos 30°-1$; (2) $\tan^{2}30°-2\sin 30°\tan 45°+8\cos^{2}60°$.
解 (1) $\sin 30°+\sqrt{3}\cos 30°-1=\frac{1}{2}+\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}-1=1$;
(2) $\tan^{2}30°-2\sin 30°\tan 45°+8\cos^{2}60°=(\frac{\sqrt{3}}{3})^{2}-2×\frac{1}{2}×1+8×(\frac{1}{2})^{2}=\frac{4}{3}$.
解 (1) $\sin 30°+\sqrt{3}\cos 30°-1=\frac{1}{2}+\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}-1=1$;
(2) $\tan^{2}30°-2\sin 30°\tan 45°+8\cos^{2}60°=(\frac{\sqrt{3}}{3})^{2}-2×\frac{1}{2}×1+8×(\frac{1}{2})^{2}=\frac{4}{3}$.
答案
解：
(1) $\sin 30°+\sqrt{3}\cos 30°-1$
$=\frac{1}{2}+\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}-1$
$=\frac{1}{2}+\frac{3}{2}-1$
$=1$
(2) $\tan^{2}30°-2\sin 30°\tan 45°+8\cos^{2}60°$
$=(\frac{\sqrt{3}}{3})^{2}-2×\frac{1}{2}×1+8×(\frac{1}{2})^{2}$
$=\frac{1}{3}-1+8×\frac{1}{4}$
$=\frac{1}{3}-1+2$
$=\frac{4}{3}$
(1) $\sin 30°+\sqrt{3}\cos 30°-1$
$=\frac{1}{2}+\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}-1$
$=\frac{1}{2}+\frac{3}{2}-1$
$=1$
(2) $\tan^{2}30°-2\sin 30°\tan 45°+8\cos^{2}60°$
$=(\frac{\sqrt{3}}{3})^{2}-2×\frac{1}{2}×1+8×(\frac{1}{2})^{2}$
$=\frac{1}{3}-1+8×\frac{1}{4}$
$=\frac{1}{3}-1+2$
$=\frac{4}{3}$
例2 如图7-14,$∠ POQ=90°$,在正方形$ABCD$中,边长为2 cm,点$B$在$OP$上,点$C$在$OQ$上,且$∠ OBC=30°$,分别求点$A$、$D$到$OP$的距离.
解 过点$A$、$D$分别作$AE⊥ OP$,$DF⊥ OP$,$DG⊥ OQ$,垂足分别为$E$、$F$、$G$.
在正方形$ABCD$中,$∠ ABC=∠ BCD=90°$.
$\because ∠ OBC=30°$,
$\therefore ∠ ABE=60°$.
$\therefore$ 在$\mathrm{Rt}△ AEB$中,$AE=AB·\sin 60°=2×\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$.
$\because$ 四边形$DFOG$是矩形,
$\therefore DF=GO$.
$\because ∠ OBC=30°$,
$\therefore ∠ BCO=60°$.
$\therefore ∠ DCG=30°$.
$\therefore$ 在$\mathrm{Rt}△ DCG$中,$CG=CD·\cos 30°=2×\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$.
$\therefore$ 在$\mathrm{Rt}△ OBC$中,$OC=\frac{1}{2}BC=1$.
$\therefore DF=GO=OC+CG=(\sqrt{3}+1)\mathrm{cm}$.
解 过点$A$、$D$分别作$AE⊥ OP$,$DF⊥ OP$,$DG⊥ OQ$,垂足分别为$E$、$F$、$G$.
在正方形$ABCD$中,$∠ ABC=∠ BCD=90°$.
$\because ∠ OBC=30°$,
$\therefore ∠ ABE=60°$.
$\therefore$ 在$\mathrm{Rt}△ AEB$中,$AE=AB·\sin 60°=2×\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$.
$\because$ 四边形$DFOG$是矩形,
$\therefore DF=GO$.
$\because ∠ OBC=30°$,
$\therefore ∠ BCO=60°$.
$\therefore ∠ DCG=30°$.
$\therefore$ 在$\mathrm{Rt}△ DCG$中,$CG=CD·\cos 30°=2×\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$.
$\therefore$ 在$\mathrm{Rt}△ OBC$中,$OC=\frac{1}{2}BC=1$.
$\therefore DF=GO=OC+CG=(\sqrt{3}+1)\mathrm{cm}$.
答案
解：
过点$A$、$D$分别作$AE⊥ OP$，$DF⊥ OP$，$DG⊥ OQ$，垂足分别为$E$、$F$、$G$。
在正方形$ABCD$中，$∠ ABC=∠ BCD=90°$，$AB=BC=CD=2\ \mathrm{cm}$。
$\because ∠ OBC=30°$，
$\therefore ∠ ABE=180°-∠ ABC-∠ OBC=180°-90°-30°=60°$。
在$\mathrm{Rt}△ AEB$中，
$AE=AB·\sin 60°=2×\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$。
$\because ∠ POQ=90°$，$DF⊥ OP$，$DG⊥ OQ$，
$\therefore$ 四边形$DFOG$是矩形，$\therefore DF=GO$。
$\because ∠ OBC=30°$，$∠ BOC=90°$，
$\therefore ∠ BCO=60°$，
$\therefore ∠ DCG=180°-∠ BCD-∠ BCO=180°-90°-60°=30°$。
在$\mathrm{Rt}△ DCG$中，
$CG=CD·\cos 30°=2×\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$。
在$\mathrm{Rt}△ OBC$中，
$OC=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×2=1\ \mathrm{cm}$。
$\therefore DF=GO=OC+CG=1+\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$。
答：点$A$到$OP$的距离为$\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$，点$D$到$OP$的距离为$(1+\sqrt{3})\ \mathrm{cm}$。
过点$A$、$D$分别作$AE⊥ OP$，$DF⊥ OP$，$DG⊥ OQ$，垂足分别为$E$、$F$、$G$。
在正方形$ABCD$中，$∠ ABC=∠ BCD=90°$，$AB=BC=CD=2\ \mathrm{cm}$。
$\because ∠ OBC=30°$，
$\therefore ∠ ABE=180°-∠ ABC-∠ OBC=180°-90°-30°=60°$。
在$\mathrm{Rt}△ AEB$中，
$AE=AB·\sin 60°=2×\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$。
$\because ∠ POQ=90°$，$DF⊥ OP$，$DG⊥ OQ$，
$\therefore$ 四边形$DFOG$是矩形，$\therefore DF=GO$。
$\because ∠ OBC=30°$，$∠ BOC=90°$，
$\therefore ∠ BCO=60°$，
$\therefore ∠ DCG=180°-∠ BCD-∠ BCO=180°-90°-60°=30°$。
在$\mathrm{Rt}△ DCG$中，
$CG=CD·\cos 30°=2×\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$。
在$\mathrm{Rt}△ OBC$中，
$OC=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×2=1\ \mathrm{cm}$。
$\therefore DF=GO=OC+CG=1+\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$。
答：点$A$到$OP$的距离为$\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$，点$D$到$OP$的距离为$(1+\sqrt{3})\ \mathrm{cm}$。
(1) $\sin 30°=$,$\cos 45°=$,$\sin 60°=$.
答案
解：
$\sin 30°=\frac{1}{2}$
$\cos 45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$
$\sin 60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$
$\sin 30°=\frac{1}{2}$
$\cos 45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$
$\sin 60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$
