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1.若$n-1＜\sqrt{26}＜n$,则整数$n=$ （
A.4
B.5
C.6
D.7
C
）A.4
B.5
C.6
D.7
答案
1.C
解析
【分析】
本题考查无理数的大小估算，解题思路如下：首先找到与被开方数26相邻的两个正整数的完全平方数，再根据算术平方根的性质，对三个数同时开算术平方根得到√26的取值范围，最后对照题目给出的不等式$n-1＜\sqrt{26}＜n$，即可确定整数n的值。
【解析】
解：先计算与26相邻的完全平方数：
∵ $5^2=25$，$6^2=36$，且$25＜26＜36$
根据算术平方根的性质，对不等号两边同时开算术平方根，不等号方向不变，可得：
$\sqrt{25}＜\sqrt{26}＜\sqrt{36}$，即$5＜\sqrt{26}＜6$
已知$n-1＜\sqrt{26}＜n$，对比两个不等式可得：$n=6$
故选：C
【答案】
C
【知识点】
无理数的估算；算术平方根的性质
【点评】
本题属于基础题型，核心考查无理数大小估算的方法，解题的关键是准确找到被开方数相邻的两个完全平方数，是实数章节中较为常见的考点。
【难度系数】
0.8
本题考查无理数的大小估算，解题思路如下：首先找到与被开方数26相邻的两个正整数的完全平方数，再根据算术平方根的性质，对三个数同时开算术平方根得到√26的取值范围，最后对照题目给出的不等式$n-1＜\sqrt{26}＜n$，即可确定整数n的值。
【解析】
解：先计算与26相邻的完全平方数：
∵ $5^2=25$，$6^2=36$，且$25＜26＜36$
根据算术平方根的性质，对不等号两边同时开算术平方根，不等号方向不变，可得：
$\sqrt{25}＜\sqrt{26}＜\sqrt{36}$，即$5＜\sqrt{26}＜6$
已知$n-1＜\sqrt{26}＜n$，对比两个不等式可得：$n=6$
故选：C
【答案】
C
【知识点】
无理数的估算；算术平方根的性质
【点评】
本题属于基础题型，核心考查无理数大小估算的方法，解题的关键是准确找到被开方数相邻的两个完全平方数，是实数章节中较为常见的考点。
【难度系数】
0.8
2. 下列因式分解不正确的是 （
A.$xy^2 - 10xy = xy(y - 10)$
B.$x^2 - 12x + 36 = (x - 6)^2$
C.$ab^2 - a = a(b^2 - 1)$
D.$2a(m - n) - b(m - n) = (2a - b)(m - n)$
C
）A.$xy^2 - 10xy = xy(y - 10)$
B.$x^2 - 12x + 36 = (x - 6)^2$
C.$ab^2 - a = a(b^2 - 1)$
D.$2a(m - n) - b(m - n) = (2a - b)(m - n)$
答案
2.C
解析
【分析】
本题要求选出因式分解不正确的选项，解题时我们首先要明确因式分解的判定标准：变形后的结果必须是几个整式的乘积，且每个因式要分解到有理数范围内不能再分解为止。我们可以逐个验证四个选项：先检查提取公因式是否正确，再看是否可用公式法继续分解，最后验证展开后是否和原式相等即可判断正误。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：对$xy^2 - 10xy$提取公因式$xy$，可得$xy(y-10)$，展开后和原式一致，分解正确，不符合题意。
B选项：$x^2 -12x +36$符合完全平方公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$的结构，其中$a=x$，$b=6$，因此分解为$(x-6)^2$是正确的，不符合题意。
C选项：对$ab^2 -a$先提取公因式$a$得到$a(b^2-1)$，但$b^2-1$还可以用平方差公式继续分解为$(b+1)(b-1)$，最终正确结果应为$a(b+1)(b-1)$，该选项没有分解彻底，分解错误，符合题意。
D选项：对$2a(m-n) -b(m-n)$提取公因式$(m-n)$，可得$(2a-b)(m-n)$，展开后和原式一致，分解正确，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
提公因式法因式分解；公式法因式分解；因式分解的原则
【点评】
本题属于因式分解的基础考查题，重点考察因式分解的常用方法和分解要彻底的核心原则，需要熟练掌握提公因式法、完全平方公式、平方差公式的应用，做题时要注意检查最终结果是否已经分解到不能再分解的程度。
【难度系数】
0.8
本题要求选出因式分解不正确的选项，解题时我们首先要明确因式分解的判定标准：变形后的结果必须是几个整式的乘积，且每个因式要分解到有理数范围内不能再分解为止。我们可以逐个验证四个选项：先检查提取公因式是否正确，再看是否可用公式法继续分解，最后验证展开后是否和原式相等即可判断正误。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：对$xy^2 - 10xy$提取公因式$xy$，可得$xy(y-10)$，展开后和原式一致，分解正确，不符合题意。
B选项：$x^2 -12x +36$符合完全平方公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$的结构，其中$a=x$，$b=6$，因此分解为$(x-6)^2$是正确的，不符合题意。
C选项：对$ab^2 -a$先提取公因式$a$得到$a(b^2-1)$，但$b^2-1$还可以用平方差公式继续分解为$(b+1)(b-1)$，最终正确结果应为$a(b+1)(b-1)$，该选项没有分解彻底，分解错误，符合题意。
D选项：对$2a(m-n) -b(m-n)$提取公因式$(m-n)$，可得$(2a-b)(m-n)$，展开后和原式一致，分解正确，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
提公因式法因式分解；公式法因式分解；因式分解的原则
【点评】
本题属于因式分解的基础考查题，重点考察因式分解的常用方法和分解要彻底的核心原则，需要熟练掌握提公因式法、完全平方公式、平方差公式的应用，做题时要注意检查最终结果是否已经分解到不能再分解的程度。
【难度系数】
0.8
3. 下列分式变形正确的是
（
A.$\dfrac{x}{y}=\dfrac{x^2}{y^2}$
B.$\dfrac{x}{y}=\dfrac{xc}{yc}(c≠0)$
C.$\dfrac{x}{y}=\dfrac{x+a}{y+a}$
D.$\dfrac{x}{y}=\dfrac{x^2}{xy}$
（
B
）A.$\dfrac{x}{y}=\dfrac{x^2}{y^2}$
B.$\dfrac{x}{y}=\dfrac{xc}{yc}(c≠0)$
C.$\dfrac{x}{y}=\dfrac{x+a}{y+a}$
D.$\dfrac{x}{y}=\dfrac{x^2}{xy}$
答案
3.B
解析
【分析】
本题考查分式的基本性质的应用，解题思路为：先回忆分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变。再逐一将选项和性质对照判断，注意两点：一是只有同乘除同一个非零整式的变形才符合要求，加减的变形不符合；二是变形过程中必须保证乘除的整式不为0，且变形后的分式有意义。
【解析】
我们根据分式的基本性质逐一判断选项：
A. 变形是分子乘x、分母乘y，x和y不一定是相等的非零整式，比如取x=1，y=2，左边$\dfrac{1}{2}$，右边$\dfrac{1}{4}$，二者不相等，变形错误。
B. 分子分母同时乘不为0的c，完全符合分式的基本性质，变形正确。
C. 变形是分子分母同时加a，分式基本性质仅适合同乘除的变形，不适用于加减，比如取x=1，y=2，a=1，左边$\dfrac{1}{2}$，右边$\dfrac{2}{3}$，二者不相等，变形错误。
D. 变形看似是分子分母同乘x，但未给出x≠0的前提条件，当x=0时，右边的分母xy=0，分式无意义，变形不成立，错误。
【答案】
B
【知识点】
分式的基本性质、分式有意义的条件
【点评】
本题属于分式性质的基础考查题，易错点是容易忽略变形时乘除的整式必须不为0的要求，或是误将分子分母同加同减的变形当作符合分式性质的变形，解题时要注意验证变形的前提条件是否成立。
【难度系数】
0.7
本题考查分式的基本性质的应用，解题思路为：先回忆分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变。再逐一将选项和性质对照判断，注意两点：一是只有同乘除同一个非零整式的变形才符合要求，加减的变形不符合；二是变形过程中必须保证乘除的整式不为0，且变形后的分式有意义。
【解析】
我们根据分式的基本性质逐一判断选项：
A. 变形是分子乘x、分母乘y，x和y不一定是相等的非零整式，比如取x=1，y=2，左边$\dfrac{1}{2}$，右边$\dfrac{1}{4}$，二者不相等，变形错误。
B. 分子分母同时乘不为0的c，完全符合分式的基本性质，变形正确。
C. 变形是分子分母同时加a，分式基本性质仅适合同乘除的变形，不适用于加减，比如取x=1，y=2，a=1，左边$\dfrac{1}{2}$，右边$\dfrac{2}{3}$，二者不相等，变形错误。
D. 变形看似是分子分母同乘x，但未给出x≠0的前提条件，当x=0时，右边的分母xy=0，分式无意义，变形不成立，错误。
【答案】
B
【知识点】
分式的基本性质、分式有意义的条件
【点评】
本题属于分式性质的基础考查题，易错点是容易忽略变形时乘除的整式必须不为0的要求，或是误将分子分母同加同减的变形当作符合分式性质的变形，解题时要注意验证变形的前提条件是否成立。
【难度系数】
0.7
4. 计算：$(\dfrac{1}{2})^{0}+(-\dfrac{1}{3})^{-3}=$
-26
.答案
4.$-26$
解析
【分析】
本题考查零指数幂与负整数指数幂的混合运算，解题思路如下：第一步，回忆指数幂相关运算规则：①任何非零数的0次幂等于1；②非零数的负整数次幂等于这个数正整数次幂的倒数。第二步，分别计算两个幂的值，再将结果相加即可，计算负指数幂时要注意符号的处理。
【解析】
根据指数幂运算规则计算：
1. 计算$(\dfrac{1}{2})^{0}$：$\dfrac{1}{2}≠0$，因此$(\dfrac{1}{2})^{0}=1$；
2. 计算$(-\dfrac{1}{3})^{-3}$：根据负整数指数幂规则，$(-\dfrac{1}{3})^{-3}=\dfrac{1}{(-\dfrac{1}{3})^{3}}$，先算分母$(-\dfrac{1}{3})^{3}=-\dfrac{1}{27}$，因此$(-\dfrac{1}{3})^{-3}=\dfrac{1}{-\dfrac{1}{27}}=-27$；
3. 求和：$1+(-27)=-26$。
【答案】
$-26$
【知识点】
零指数幂运算；负整数指数幂运算
【点评】
本题属于指数运算的基础题型，解题关键是牢记零指数幂、负整数指数幂的运算规则，计算负指数幂时要注意底数的符号，避免符号运算错误。
【难度系数】
0.75
本题考查零指数幂与负整数指数幂的混合运算，解题思路如下：第一步，回忆指数幂相关运算规则：①任何非零数的0次幂等于1；②非零数的负整数次幂等于这个数正整数次幂的倒数。第二步，分别计算两个幂的值，再将结果相加即可，计算负指数幂时要注意符号的处理。
【解析】
根据指数幂运算规则计算：
1. 计算$(\dfrac{1}{2})^{0}$：$\dfrac{1}{2}≠0$，因此$(\dfrac{1}{2})^{0}=1$；
2. 计算$(-\dfrac{1}{3})^{-3}$：根据负整数指数幂规则，$(-\dfrac{1}{3})^{-3}=\dfrac{1}{(-\dfrac{1}{3})^{3}}$，先算分母$(-\dfrac{1}{3})^{3}=-\dfrac{1}{27}$，因此$(-\dfrac{1}{3})^{-3}=\dfrac{1}{-\dfrac{1}{27}}=-27$；
3. 求和：$1+(-27)=-26$。
【答案】
$-26$
【知识点】
零指数幂运算；负整数指数幂运算
【点评】
本题属于指数运算的基础题型，解题关键是牢记零指数幂、负整数指数幂的运算规则，计算负指数幂时要注意底数的符号，避免符号运算错误。
【难度系数】
0.75
5. 如图,体育场 C 既在教学楼 A 的南偏东 $30°$ 方向上,又在礼堂 B 的南偏西 $50°$ 方向上,则$∠ ACB$的度数是________.
答案
5.$80°$
解析
【分析】
解题时先明确图中两条标注“北”的虚线是互相平行的南北方向直线，我们可以通过作辅助线构造平行线，利用平行线的性质转化角度求解：首先过点C作平行于南北方向直线的辅助线，再根据方向角的定义确定已知角的度数，最后结合“两直线平行，内错角相等”计算出∠ACB的度数。
【解析】
过点C作CD//A点的南北方向虚线，
∵A、B两点的南北方向虚线互相平行，
∴CD//B点的南北方向虚线。
根据方向角的定义：
∵C在A的南偏东30°方向，结合两直线平行，内错角相等，可得∠ACD=30°；
∵C在B的南偏西50°方向，结合两直线平行，内错角相等，可得∠BCD=50°；
∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=30°+50°=80°。
【答案】
$80°$
【知识点】
方向角的定义；平行线的性质；角度计算
【点评】
本题结合实际生活中的方向场景考查平行线性质的应用，解题核心是通过作辅助线完成角度的转化，能很好地考查学生对基础几何知识的应用能力。
【难度系数】
0.7
解题时先明确图中两条标注“北”的虚线是互相平行的南北方向直线，我们可以通过作辅助线构造平行线，利用平行线的性质转化角度求解：首先过点C作平行于南北方向直线的辅助线，再根据方向角的定义确定已知角的度数，最后结合“两直线平行，内错角相等”计算出∠ACB的度数。
【解析】
过点C作CD//A点的南北方向虚线，
∵A、B两点的南北方向虚线互相平行，
∴CD//B点的南北方向虚线。
根据方向角的定义：
∵C在A的南偏东30°方向，结合两直线平行，内错角相等，可得∠ACD=30°；
∵C在B的南偏西50°方向，结合两直线平行，内错角相等，可得∠BCD=50°；
∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=30°+50°=80°。
【答案】
$80°$
【知识点】
方向角的定义；平行线的性质；角度计算
【点评】
本题结合实际生活中的方向场景考查平行线性质的应用，解题核心是通过作辅助线完成角度的转化，能很好地考查学生对基础几何知识的应用能力。
【难度系数】
0.7
6. 如图,若长方形的长为$a$,宽为$b$,周长为18,面积为17,则$(2a+3)(2b+3)$的值是________.
答案
6.131
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手，根据长方形周长公式可推出长与宽的和a+b的值，根据面积公式直接得到ab的值；再将待求的代数式(2a+3)(2b+3)利用多项式乘多项式的法则展开，整理为含有ab和a+b的式子，最后把ab和a+b的值整体代入计算即可，不需要单独求解a、b的具体数值，能简化计算。
【解析】
已知长方形周长为18，面积为17，根据长方形周长公式：周长=2×(长+宽)，可得：
$2(a+b)=18$，解得$a+b=9$；
根据长方形面积公式：面积=长×宽，可得：$ab=17$。
先将待求式展开化简：
$\begin{aligned}(2a+3)(2b+3)&=4ab +6a +6b +9\\&=4ab +6(a+b) +9\end{aligned}$
将$a+b=9$，$ab=17$代入上式：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=4×17 +6×9 +9\\&=68 +54 +9\\&=131\end{aligned}$
【答案】
131
【知识点】
长方形周长与面积计算，多项式乘多项式，整体代入求值
【点评】
本题结合长方形的性质考查整式的运算，解题关键是熟练掌握多项式乘多项式的运算法则，运用整体代入思想避免单独求解a、b的数值，降低计算难度。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知条件入手，根据长方形周长公式可推出长与宽的和a+b的值，根据面积公式直接得到ab的值；再将待求的代数式(2a+3)(2b+3)利用多项式乘多项式的法则展开，整理为含有ab和a+b的式子，最后把ab和a+b的值整体代入计算即可，不需要单独求解a、b的具体数值，能简化计算。
【解析】
已知长方形周长为18，面积为17，根据长方形周长公式：周长=2×(长+宽)，可得：
$2(a+b)=18$，解得$a+b=9$；
根据长方形面积公式：面积=长×宽，可得：$ab=17$。
先将待求式展开化简：
$\begin{aligned}(2a+3)(2b+3)&=4ab +6a +6b +9\\&=4ab +6(a+b) +9\end{aligned}$
将$a+b=9$，$ab=17$代入上式：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=4×17 +6×9 +9\\&=68 +54 +9\\&=131\end{aligned}$
【答案】
131
【知识点】
长方形周长与面积计算，多项式乘多项式，整体代入求值
【点评】
本题结合长方形的性质考查整式的运算，解题关键是熟练掌握多项式乘多项式的运算法则，运用整体代入思想避免单独求解a、b的数值，降低计算难度。
【难度系数】
0.7
7. 先化简,再求值:$(1-\dfrac{1}{a})÷\dfrac{a^2 - 1}{a^2 + 2a + 1}$,其中$a$是不等式组$\begin{cases}a - 2≥2 - a,\\2a - 1 ＜ a + 3\end{cases}$的最小整数解.
答案
7.解:原式=$\dfrac{a+1}{a}$,不等式组的解集为$2≤ a＜4$,所以$a=2$,所以原式=$\dfrac{3}{2}$.
解析
【分析】
这是分式化简求值与一元一次不等式组结合的综合题，解题分三步开展：第一步化简分式，先计算括号内的减法，通分后将除法转化为乘法，再对分子分母因式分解约分得到最简结果；第二步解不等式组，分别求解两个不等式的解集，取公共部分得到不等式组的解集，从中找到最小整数解a；第三步验证a是否满足原分式分母不为0的要求，再代入最简式计算最终值。
【解析】
1. 化简分式：
先计算括号内的运算：$1-\dfrac{1}{a}=\dfrac{a-1}{a}$
将除法转化为乘法，同时对分子分母因式分解：
$\dfrac{a-1}{a}÷\dfrac{a^2-1}{a^2+2a+1}=\dfrac{a-1}{a}×\dfrac{(a+1)^2}{(a+1)(a-1)}$
约分后得最简式：$\dfrac{a+1}{a}$
2. 解不等式组：
解不等式$a-2≥2-a$，移项合并得$2a≥4$，解得$a≥2$；
解不等式$2a-1＜a+3$，移项合并得$a＜4$；
因此不等式组的解集为$2≤ a＜4$，其中最小整数解为$a=2$。
3. 代入求值：
$a=2$满足原分式分母均不为0，代入最简式得：$\dfrac{2+1}{2}=\dfrac{3}{2}$。
【答案】
$\dfrac{3}{2}$
【知识点】
分式化简求值；解一元一次不等式组；因式分解
【点评】
本题考察代数基础运算能力，解题时要注意先化简再代值，同时代入的数值必须保证原分式所有分母不为0，避免出现无意义的运算。
【难度系数】
0.7
这是分式化简求值与一元一次不等式组结合的综合题，解题分三步开展：第一步化简分式，先计算括号内的减法，通分后将除法转化为乘法，再对分子分母因式分解约分得到最简结果；第二步解不等式组，分别求解两个不等式的解集，取公共部分得到不等式组的解集，从中找到最小整数解a；第三步验证a是否满足原分式分母不为0的要求，再代入最简式计算最终值。
【解析】
1. 化简分式：
先计算括号内的运算：$1-\dfrac{1}{a}=\dfrac{a-1}{a}$
将除法转化为乘法，同时对分子分母因式分解：
$\dfrac{a-1}{a}÷\dfrac{a^2-1}{a^2+2a+1}=\dfrac{a-1}{a}×\dfrac{(a+1)^2}{(a+1)(a-1)}$
约分后得最简式：$\dfrac{a+1}{a}$
2. 解不等式组：
解不等式$a-2≥2-a$，移项合并得$2a≥4$，解得$a≥2$；
解不等式$2a-1＜a+3$，移项合并得$a＜4$；
因此不等式组的解集为$2≤ a＜4$，其中最小整数解为$a=2$。
3. 代入求值：
$a=2$满足原分式分母均不为0，代入最简式得：$\dfrac{2+1}{2}=\dfrac{3}{2}$。
【答案】
$\dfrac{3}{2}$
【知识点】
分式化简求值；解一元一次不等式组；因式分解
【点评】
本题考察代数基础运算能力，解题时要注意先化简再代值，同时代入的数值必须保证原分式所有分母不为0，避免出现无意义的运算。
【难度系数】
0.7
