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12.某班有45人,一次体能测试后,老师对测试成绩进行了统计.由于小亮未参加本次集体测试,因此计算出其他44人的平均分为90分,方差$s^2=41$.之后小亮进行了补测,成绩为90分.对比该班44人的体能测试成绩,关于该班45人的体能测试成绩,下列说法正确的是（
A.平均分不变,方差变小
B.平均分不变,方差变大
C.平均分变小,方差变小
D.平均分变小,方差变大
A
）A.平均分不变,方差变小
B.平均分不变,方差变大
C.平均分变小,方差变小
D.平均分变小,方差变大
答案
12.A
解析
【分析】
解题时需分别计算补测后45人的平均分和方差，再与原44人的统计量对比：①先根据平均分=总分÷总人数，算出44人的总分，加上小亮的成绩后除以总人数45，得到新的平均分；②再根据方差的定义，方差是各数据与平均数差的平方的平均数，先由原方差算出44人成绩与平均分差的平方和，加入小亮的成绩后，他的成绩与新平均分相等，差的平方为0，因此平方和不变，总人数变为45，据此算出新方差后与原方差比较即可。
【解析】
1. 计算45人的平均分：
原44人的总分为$44×90=3960$分，加上小亮的补测成绩90分后，总分为$3960+90=4050$分。
则45人的平均分为$4050÷45=90$分，和原44人的平均分一致，即平均分不变。
2. 计算45人的方差：
根据方差公式，原44人的方差$s^2=41$，因此原44人的成绩与平均分90的差的平方和为$44×41$。
小亮的成绩为90分，与平均分的差为$90-90=0$，因此45人的成绩与平均分差的平方和仍为$44×41$。
新方差为$\frac{44×41}{45}$，显然$\frac{44×41}{45}＜41$，因此方差变小。
综上，平均分不变，方差变小，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
平均数的计算，方差的计算
【点评】
本题考查平均数和方差的变化规律，当新增的数据等于原有数据的平均数时，整体的平均数保持不变，而新增数据与平均数的偏差为0，会使整体方差变小，掌握这一规律可快速判断这类统计量变化问题。
【难度系数】
0.7
解题时需分别计算补测后45人的平均分和方差，再与原44人的统计量对比：①先根据平均分=总分÷总人数，算出44人的总分，加上小亮的成绩后除以总人数45，得到新的平均分；②再根据方差的定义，方差是各数据与平均数差的平方的平均数，先由原方差算出44人成绩与平均分差的平方和，加入小亮的成绩后，他的成绩与新平均分相等，差的平方为0，因此平方和不变，总人数变为45，据此算出新方差后与原方差比较即可。
【解析】
1. 计算45人的平均分：
原44人的总分为$44×90=3960$分，加上小亮的补测成绩90分后，总分为$3960+90=4050$分。
则45人的平均分为$4050÷45=90$分，和原44人的平均分一致，即平均分不变。
2. 计算45人的方差：
根据方差公式，原44人的方差$s^2=41$，因此原44人的成绩与平均分90的差的平方和为$44×41$。
小亮的成绩为90分，与平均分的差为$90-90=0$，因此45人的成绩与平均分差的平方和仍为$44×41$。
新方差为$\frac{44×41}{45}$，显然$\frac{44×41}{45}＜41$，因此方差变小。
综上，平均分不变，方差变小，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
平均数的计算，方差的计算
【点评】
本题考查平均数和方差的变化规律，当新增的数据等于原有数据的平均数时，整体的平均数保持不变，而新增数据与平均数的偏差为0，会使整体方差变小，掌握这一规律可快速判断这类统计量变化问题。
【难度系数】
0.7
13.现有一组数据:1,1,5,10,20,17,4,12,1,3,9,13,2,14,1,16.若用一个统计量直观反映这组数据的平均水准,则最合适的是
中位数
(选填“平均数”“中位数”或“众数”).答案
13.中位数
解析
【分析】
解题时需先明确平均数、中位数、众数三个统计量的特点，再结合这组数据的特征判断：平均数易受极端值影响，众数是数据中出现次数最多的数，中位数不受极端大、极端小值的影响。观察本题数据，存在多个极小值1和较大值20这类极端值，先排除不符合要求的众数、平均数，即可确定最合适的统计量。
【解析】
1. 分析众数：这组数据中1一共出现4次，是出现次数最多的数，即众数为1。但1是数据中的极小值，远低于大部分数据的水平，无法反映整体平均水准，因此众数不合适。
2. 分析平均数：平均数计算需要用到所有数据，容易受极端值（本题中的多个1、20等）的干扰，得到的结果不能准确代表多数数据的平均水平，因此平均数不合适。
3. 分析中位数：将数据从小到大排序为：1,1,1,1,2,3,4,5,9,10,12,13,14,16,17,20，共16个数据，中位数为第8个和第9个数据的平均数，即$\frac{5+9}{2}=7$。中位数不受极端值影响，能直观反映这组数据的平均水准，因此最合适。
【答案】
中位数
【知识点】
统计量的选择；平均数、中位数、众数的特征
【点评】
本题考查不同统计量的适用场景，解题的关键是结合数据的分布特征，判断各统计量是否能准确反映数据的整体水平。
【难度系数】
0.7
解题时需先明确平均数、中位数、众数三个统计量的特点，再结合这组数据的特征判断：平均数易受极端值影响，众数是数据中出现次数最多的数，中位数不受极端大、极端小值的影响。观察本题数据，存在多个极小值1和较大值20这类极端值，先排除不符合要求的众数、平均数，即可确定最合适的统计量。
【解析】
1. 分析众数：这组数据中1一共出现4次，是出现次数最多的数，即众数为1。但1是数据中的极小值，远低于大部分数据的水平，无法反映整体平均水准，因此众数不合适。
2. 分析平均数：平均数计算需要用到所有数据，容易受极端值（本题中的多个1、20等）的干扰，得到的结果不能准确代表多数数据的平均水平，因此平均数不合适。
3. 分析中位数：将数据从小到大排序为：1,1,1,1,2,3,4,5,9,10,12,13,14,16,17,20，共16个数据，中位数为第8个和第9个数据的平均数，即$\frac{5+9}{2}=7$。中位数不受极端值影响，能直观反映这组数据的平均水准，因此最合适。
【答案】
中位数
【知识点】
统计量的选择；平均数、中位数、众数的特征
【点评】
本题考查不同统计量的适用场景，解题的关键是结合数据的分布特征，判断各统计量是否能准确反映数据的整体水平。
【难度系数】
0.7
14.小华参加了3门功课的测试，平均成绩是83分.若他计划在数学(满分120分)测试后，使4门功课的平均成绩达到90分，则数学测试至少要得
111
分.答案
14.111
解析
【分析】
要解决这道题，核心是利用“总成绩=平均成绩×科目数量”的关系推导。首先先算出前3门功课的总得分，再算出4门功课平均成绩达到90分时的总得分，两个总得分的差值就是数学测试至少要拿到的分数，最后验证该分数是否不超过数学满分120，确保结果符合实际要求。也可以通过设未知数列一元一次不等式的方式直接求解最低分数。
【解析】
方法1（算术法）：
1. 计算前3门功课总得分：$3×83=249$分
2. 计算4门功课平均90分时的总得分：$4×90=360$分
3. 数学至少需要得分：$360-249=111$分
4. 验证：111分＜120分（满分），符合要求。
方法2（不等式法）：
设数学测试得$x$分，根据题意列不等式：
$\frac{3×83+x}{4}≥90$
解不等式：
$249+x≥360$
$x≥111$
111分小于满分120，结果有效。
【答案】
111
【知识点】
1. 平均数计算
2. 一元一次不等式应用
3. 实际问题最值求解
【点评】
这道题是平均数的基础应用题目，解题关键是熟练掌握总成绩、平均成绩、科目数三者的换算关系，算术法和不等式法都可以快速解题，解题时要注意结合题干给出的满分条件验证结果是否符合实际要求。
【难度系数】
0.85
要解决这道题，核心是利用“总成绩=平均成绩×科目数量”的关系推导。首先先算出前3门功课的总得分，再算出4门功课平均成绩达到90分时的总得分，两个总得分的差值就是数学测试至少要拿到的分数，最后验证该分数是否不超过数学满分120，确保结果符合实际要求。也可以通过设未知数列一元一次不等式的方式直接求解最低分数。
【解析】
方法1（算术法）：
1. 计算前3门功课总得分：$3×83=249$分
2. 计算4门功课平均90分时的总得分：$4×90=360$分
3. 数学至少需要得分：$360-249=111$分
4. 验证：111分＜120分（满分），符合要求。
方法2（不等式法）：
设数学测试得$x$分，根据题意列不等式：
$\frac{3×83+x}{4}≥90$
解不等式：
$249+x≥360$
$x≥111$
111分小于满分120，结果有效。
【答案】
111
【知识点】
1. 平均数计算
2. 一元一次不等式应用
3. 实际问题最值求解
【点评】
这道题是平均数的基础应用题目，解题关键是熟练掌握总成绩、平均成绩、科目数三者的换算关系，算术法和不等式法都可以快速解题，解题时要注意结合题干给出的满分条件验证结果是否符合实际要求。
【难度系数】
0.85
