1. 计算结果为$2^{3a}$的式子是 （）

A.$2^a + 2^a + 2^a$
B.$2^a × 2^a × 2^a$
C.$2^a × 2^a + 2^a$
D.$2^a × (2^a + 2^a)$

1. B

2. 经过几十年的发展，我国已建成目前世界上技术手段最为完备的国家授时系统，授时精度从开始的毫秒级（毫秒符号ms）到了如今的百皮秒级（皮秒符号ps），提高了7个数量级，处于世界领先水平. 已知 $1\ \mathrm{s}=1\ 000\ \mathrm{ms}$，$1\ \mathrm{ms}=10^{9}\ \mathrm{ps}$，则 $10\ \mathrm{s}$ 等于（）

A.$10^{12}\ \mathrm{ps}$
B.$10^{13}\ \mathrm{ps}$
C.$10^{14}\ \mathrm{ps}$
D.$10^{15}\ \mathrm{ps}$

2. B

3. 已知$ a^x = 3, a^{x+y} = 12 $，则$ a^x + a^y $的值是（）

A.4
B.7
C.9
D.12

3. B

4. 我们知道,同底数幂的乘法法则为$a^m · a^n = a^{m+n}$(其中$m,n$为正整数).类似地,我们规定关于任意正整数$m,n$的一种新运算:$h(m+n)=h(m) · h(n)$.比如$h(2)=3$,则$h(4)=h(2+2)=h(2) · h(2)=3 × 3=9$.若$h(2)=k$,则$h(2n) · h(2024)$的结果是（）

A.$2k+2020$
B.$2^{k+1010}$
C.$k^{n+1012}$
D.$1022k$

4. C

5. 已知 $2^{a+4} - 2^{a+1} = 112$，则 $a=\_\_\_\_\_\_$。

5. 3

6. 已知 $ x = 2^m + 1 $，$ y = 3 + 2^{m+1} $，若用含 $ x $ 的代数式表示 $ y $，则 $ y = \_\_\_\_\_\_ $.

6. $2x+1$

三、解答题
7.【阅读材料】通过学习幂的运算，我们发现：
当$m,n$都是正整数：
① 若$a＞1$，当$m=n$时，$a^m=a^n$；当$m＞n$时，$a^m＞a^n$；当$m＜n$时，$a^m＜a^n$。
② 若$a＞0,b＞0$，当$a=b$时，$a^m=b^m$；当$a＞b$时，$a^m＞b^m$；当$a＜b$时，$a^m＜b^m$。
【理解知识】例如：
① 若$4^x=2^{10}$，求$x$的值。
解：方法一：因为$4^x=(2^2)^x=2^{2x}$，所以$2^{2x}=2^{10}$，所以$2x=10$，所以$x=5$。
方法二：因为$2^{10}=(2^2)^5=4^5$，所以$4^x=4^5$，所以$x=5$。
② 比较$2^{30}$与$3^{20}$的大小。
解：$2^{30}=(2^3)^{10}=8^{10}$，$3^{20}=(3^2)^{10}=9^{10}$，因为$8＜9$，所以$2^{30}＜3^{20}$。
【运用知识】运用上面方法，解决下列问题。
（1）若$2×8^x=2^{10}$，求$x$的值。
（2）比较$3^{12}$与$9^6$的大小。
（3）定义两个正数$a,b$之间的一种运算，记作$[a,b]$，若$a^m=b$，则$[a,b]=m$。
例如：因为$2^3=8$，所以$[2,8]=3$。求$[2,6]+[4,\frac{64}{9}]$的值。

7. (1) 因为$2×8^x=2^{10}$,所以$2×(2^3)^x=2^{10}$,即$2^{3x+1}=2^{10}$. 所以$3x+1=10$,解得$x=3.$ (2) 因为$3^{12}=(3^2)^6=9^6$,所以$3^{12}=9^6.$ (3) 根据题意,设$[2,6]=m$,$[4,\dfrac{64}{9}]=n$,则$2^m=6$,$4^n=\dfrac{64}{9}$. 所以$2^m=2×3$,$2^{2n}=\dfrac{2^6}{3^2}$,所以$3=2^{m-1}$,$3^2=2^{6-2n}$. 所以$(2^{m-1})^2=2^{6-2n}$,所以$2^{2m-2}=2^{6-2n}$,所以$2m-2=6-2n$,所以$m+n=4$,所以$[2,6]+[4,\dfrac{64}{9}]=4.$