练习5
天气

答案略

1. 已知$a,b$满足方程$2^a + 2^b = p, 2^a - 2^b = q$，则$2^{a+b}$的值可表示为（）

A.$\dfrac{p^2 - q^2}{4}$
B.$\dfrac{pq}{2}$
C.$\dfrac{(p - q)^2}{4}$
D.$\dfrac{p + q}{p - q}$

1.A

2. 设$2^a=3,2^b=6,2^c=12$.现给出实数$a,b,c$三者之间的四个关系式:① $a+c=2b$;② $a+b=2c-3$;③ $b+c=2a+1$;④ $b^2-ac=1$.其中,正确的关系式有 （）

A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

2.C

3. 如果$10^{b}=n$，那么称$b$为$n$的“拉格数”，记为$d(n)$，由定义可知：$d(n)=b$。例如：$10^{2}=100$，则$d(100)=d(10^{2})=2$。给出下列关于“拉格数”$d(n)$的结论：
① $d(10)=10$；② $d(10^{-2})=-2$；
③ $\frac{d(10^{3})}{d(10)}=3$；④ $d(mn)=d(m)+d(n)$；⑤ $d(\frac{m}{n})=d(m)÷ d(n)$。其中正确的结论有（）

A.①③④
B.②③④
C.②③⑤
D.②④⑤

3.B

4. 若$a + b + c = 1$，则$(-2)^{a - 1} · (-2)^{2b + 2} · (-2)^{a + 2c}$的值是________。

4.-8

5. 探索规律：$1×2×3×4+1=5^2$，$2×3×4×5+1=11^2$，$3×4×5×6+1=19^2$，…. 请运用你发现的规律解决问题：
若$200×202×204×206+16=a^2$，则$a=$.

5.±41 204

三、解答题
6. 规定两个正数$a,b$之间的一种运算记作$L(a,b)$，如果$a^c = b$，那么$L(a,b)=c$。
例如：因为$3^2 = 9$，所以$L(3,9)=2$。
小明在研究这种运算时发现一个结论：
$L(a,\dfrac{m}{n})=L(a,m)-L(a,n)$。
小明给出了如下的证明：
设$L(a,m)=x,L(a,n)=y$。
由规定得$a^x = m,a^y = n$，
所以$\dfrac{m}{n}=a^x÷ a^y=a^{x - y}$，
所以$L(a,\dfrac{m}{n})=x - y$，
所以$L(a,\dfrac{m}{n})=L(a,m)-L(a,n)$。
请解决下列问题：
（1）填空：$L（2，16）=\_\_\_\_\_\_$，
$L(\_\_\_\_\_\_,36)=-2$；
（2）证明：$L(3,5)+L(3,8)=L(3,40)$；
（3）如果正数$a,m,n$满足$L(a,m)=x - 2,L(a,n)=3x - 6,L(a,mn)=2x + 2$，求$x$。

6.（1）4 $\pm \dfrac{1}{6}$
（2）设$L(3,40)=x$，$L(3,8)=y$，由题意得$3^x=40,3^y=8$，所以$\dfrac{40}{8}=5=3^x ÷ 3^y=3^{x-y}$，所以$L(3,5)=x-y$，所以$L(3,5)=L(3,40)-L(3,8)$，即$L(3,5)+L(3,8)=L(3,40)$。
（3）由题意可得$a^{x-2}=m,a^{3x-6}=n,a^{2x+2}=mn$，所以$a^{2x+2}=mn=a^{x-2} · a^{3x-6}=a^{4x-8}$，所以$2x+2=4x-8$，解得$x=5$。