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练习3
一、选择题
1. 计算$(-2)^{2\,008} × (\dfrac{1}{2})^{2\,007}$的结果是（
A.$-2$
B.$2$
C.$\dfrac{1}{2}$
D.$-\dfrac{1}{2}$
（2）若$2^x + 2^{x+1} = 48$，求$x$的值.
天气
一、选择题
1. 计算$(-2)^{2\,008} × (\dfrac{1}{2})^{2\,007}$的结果是（
B
）A.$-2$
B.$2$
C.$\dfrac{1}{2}$
D.$-\dfrac{1}{2}$
（2）若$2^x + 2^{x+1} = 48$，求$x$的值.
天气
答案
1. B
(2) 因为$2^x +2^{x+1}=48$,所以$2^x + 2 · 2^x=48$,$3 · 2^x=48$,$2^x=48 ÷ 3$,$2^x=16$,$2^x=2^4$,解得$x=4.$
(2) 因为$2^x +2^{x+1}=48$,所以$2^x + 2 · 2^x=48$,$3 · 2^x=48$,$2^x=48 ÷ 3$,$2^x=16$,$2^x=2^4$,解得$x=4.$
2. 已知$3^x=12,3^y=6,3^z=72$,则$x,y,z$之间的关系是（
A.$x+y=z$
B.$xy=z$
C.$x+2y=z$
D.$x-y=z$
A
）A.$x+y=z$
B.$xy=z$
C.$x+2y=z$
D.$x-y=z$
答案
2. A
3. 定义一种新的运算符号“*”，且规定$a*b=2^a × 2^b$.若$2*(x+1)=16$，则$x$的值是（
A.1
B.2
C.3
D.4
A
）A.1
B.2
C.3
D.4
答案
3. A
4. 已知$a,b,c$为自然数，且满足$2^{a}×3^{b}×4^{c}=96$，则$a + 2b - 3c$的取值不可能是（
A.$-3$
B.$2$
C.$1$
D.$7$
C
）A.$-3$
B.$2$
C.$1$
D.$7$
答案
4. C
5. 计算：$(-\dfrac{2}{3})^{2024} × 1.5^{2025} =$
1.5
.答案
5. 1.5
6. 已知$ m^x = 2026 $，$ n^y = 2026 $，且$ mn = 2026 $，则$\frac{x + y}{xy} = \_\_\_\_\_\_$.
答案
6. 1
7. 若$a^m = a^n(a＞0,\mathrm{且}a≠1,m,n\mathrm{是正有理数})$，则$m = n$。利用该结论解决下面的问题：
(1) 若$3^{2x}=3^{8}$，求$x$的值；
(1) 若$3^{2x}=3^{8}$，求$x$的值；
答案
7. (1) 因为$3^{2x}=3^8$,所以$2x=8$,解得$x=4.$
8.（1）我们规定$a,b$两数之间的一种运算，记作$[a,b]$，如果$a^c = b$，那么$[a,b] = c$.例如：$3^2 = 9$，记作$[3,9] = 2$.
（2）根据以上规定直接写出结果：
$[5,125] = \_\_\_\_\_\_$；$[-2,16] = \_\_\_\_\_\_$.
（3）对于同底数幂的乘除法运算，我们有$a^m · a^n = a^{m+n}$，$a^m ÷ a^n = a^{m-n}$.
例如：$3^2 × 3^5 = 3^{2+5} = 3^7$，$3^6 ÷ 3^2 = 3^{6-2} = 3^4$.
小颖发现$[4,2] + [4,3] = [4,6]$也成立，并证明如下：设$[4,2] = x$，$[4,3] = y$，则$4^x = 2$，$4^y = 3$.因为$4^x × 4^y = 4^{x+y} = 6$，所以$[4,6] = x + y$，所以$[4,2] + [4,3] = x + y = [4,6]$.
① 仿照以上证明，计算$[2025,4] + [2025,6] = [2025, \_\_\_\_\_\_]$，写出计算过程.
② 猜想$[5,18] - [5,3] = [5, \_\_\_\_\_\_]$，并说明理由.
（2）根据以上规定直接写出结果：
$[5,125] = \_\_\_\_\_\_$；$[-2,16] = \_\_\_\_\_\_$.
（3）对于同底数幂的乘除法运算，我们有$a^m · a^n = a^{m+n}$，$a^m ÷ a^n = a^{m-n}$.
例如：$3^2 × 3^5 = 3^{2+5} = 3^7$，$3^6 ÷ 3^2 = 3^{6-2} = 3^4$.
小颖发现$[4,2] + [4,3] = [4,6]$也成立，并证明如下：设$[4,2] = x$，$[4,3] = y$，则$4^x = 2$，$4^y = 3$.因为$4^x × 4^y = 4^{x+y} = 6$，所以$[4,6] = x + y$，所以$[4,2] + [4,3] = x + y = [4,6]$.
① 仿照以上证明，计算$[2025,4] + [2025,6] = [2025, \_\_\_\_\_\_]$，写出计算过程.
② 猜想$[5,18] - [5,3] = [5, \_\_\_\_\_\_]$，并说明理由.
答案
8. (2) 3 4
(3) ① 设$[2025,4]=x$,$[2025,6]=y$,则$2025^x=4$,$2025^y=6.$ 因为$2025^x × 2025^y=2025^{x+y}=4×6=24$,又因为如果$a^c=b$,那么$[a,b]=c$,所以$[2025,24]=x+y$,所以$[2025,4]+[2025,6]=x+y=[2025,24]$. 故答案为24.
② $[5,18]-[5,3]=[5,6]$,理由如下:设$[5,18]=x$,$[5,3]=y$,则$5^x=18$,$5^y=3.$ 因为$5^x ÷5^y=5^{x-y}=6$,又因为如果$a^c=b$,那么$[a,b]=c$,所以$[5,6]=x-y$,所以$[5,18]-[5,3]=x-y=[5,6]$. 故答案为6.
(3) ① 设$[2025,4]=x$,$[2025,6]=y$,则$2025^x=4$,$2025^y=6.$ 因为$2025^x × 2025^y=2025^{x+y}=4×6=24$,又因为如果$a^c=b$,那么$[a,b]=c$,所以$[2025,24]=x+y$,所以$[2025,4]+[2025,6]=x+y=[2025,24]$. 故答案为24.
② $[5,18]-[5,3]=[5,6]$,理由如下:设$[5,18]=x$,$[5,3]=y$,则$5^x=18$,$5^y=3.$ 因为$5^x ÷5^y=5^{x-y}=6$,又因为如果$a^c=b$,那么$[a,b]=c$,所以$[5,6]=x-y$,所以$[5,18]-[5,3]=x-y=[5,6]$. 故答案为6.
