疑难点拨
若一个圆的内接正六边形的边长为4,则该圆的内接正三角形的边长为.
点拨 根据圆的内接正六边形的边长得出圆的半径,再作圆的内接正三角形,由圆的半径、边心距和正三角形的边构成直角三角形,利用勾股定理进行求解.求出圆的半径是解题的关键.

$4\sqrt{3}$

【分析】
首先，圆的内接正六边形的边长等于该圆的半径，据此可先求出圆的半径；接着，针对圆的内接正三角形，通过作边的垂线构造直角三角形，利用圆的半径、三角函数关系即可求出正三角形的边长，核心是先确定圆的半径这一关键量。
【解析】
1. 求圆的半径：因为圆的内接正六边形的边长等于圆的半径，已知正六边形边长为4，所以该圆的半径$ r = 4 $。
2. 构造直角三角形求正三角形边长：设圆的内接正三角形为$△ ABC$，圆心为$ O $，连接$ OA $，过$ O $作$ OD ⊥ AB $于$ D $，则$ AD = \frac{1}{2}AB $，且圆心角$∠ AOB = \frac{360°}{3} = 120°$，故$∠ AOD = \frac{1}{2}∠ AOB = 60°$。
在$ Rt△ AOD $中，$ OA = r = 4 $，根据三角函数得$ AD = OA · \sin60° = 4 × \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3} $，因此正三角形的边长$ AB = 2AD = 4\sqrt{3} $。
【答案】
$ 4\sqrt{3} $
【知识点】
圆内接正多边形、三角函数、直角三角形性质
【点评】
本题考查圆内接正多边形的性质，解题关键是利用正六边形边长与圆半径的关系确定半径，再通过构造直角三角形结合三角函数求解正三角形边长，属于基础几何题，难度适中。
【难度系数】
0.6

1. 下列说法正确的是 ()

A.各边相等的多边形是正多边形
B.各角相等的多边形是正多边形
C.各边相等的圆内接多边形是正多边形
D.各角相等的圆内接多边形是正多边形

1. C

【分析】
本题考查正多边形的判定及圆内接多边形的性质，需结合正多边形的定义逐一分析选项：正多边形的定义是“各边相等且各角也相等的多边形”，需注意仅边相等或仅角相等的多边形不一定是正多边形；同时结合圆内接多边形中“弦、弧、圆心角”的关系分析圆内接的特殊情况。
【解析】
选项A：仅各边相等的多边形不一定是正多边形，例如菱形，各边相等但内角不都相等，不符合正多边形定义，故A错误；
选项B：仅各角相等的多边形不一定是正多边形，例如矩形，各角都是90°但邻边不都相等，不符合正多边形定义，故B错误；
选项C：圆内接多边形中，若各边相等，根据“同圆中相等的弦所对的弧相等”，可知各边对应的弧相等，进而各弧所对的圆心角相等，可推导出多边形的各内角也相等，满足正多边形“各边相等、各角相等”的定义，故C正确；
选项D：各角相等的圆内接多边形不一定是正多边形，例如圆内接矩形，各角都是90°但边不都相等，不符合正多边形定义，故D错误。
【答案】
C
【知识点】
正多边形的定义、圆内接多边形的性质
【点评】
本题易混淆正多边形的判定条件，需牢记“各边相等且各角相等”才是正多边形的核心，圆内接多边形中边与角的关系需结合弧的性质分析，通过反例（菱形、矩形）可快速排除错误选项。
【难度系数】
0.5

2. 一个蜘蛛网如图所示,若多边形ABCDEFGHI为正九边形,其中心为点O,点M、N分别在射线OA、OC上,则$∠ MON=$°.

2. 80

【分析】要计算∠MON的度数，需利用正多边形中心角的性质：正n边形的中心角（相邻顶点与中心连线的夹角）为$\frac{360°}{n}$。本题中∠MON是由OA、OC与中心O形成的角，只需确定它包含几个相邻中心角，再结合中心角公式计算即可。
【解析】正九边形的中心角为：$\frac{360°}{9}=40°$；观察图形，OA到OC之间包含2个相邻的中心角，因此$∠ MON=2×40°=80°$。
【答案】80
【知识点】正多边形中心角，角度计算
【点评】本题考查正多边形中心角的基础应用，核心是掌握正n边形中心角的计算公式，属于几何基础题，难度较低。
【难度系数】0.3

3. 如图,正六边形ABCDEF内接于$\odot O$,点P在$\overset{\frown}{AF}$上,Q是$\overset{\frown}{DE}$的中点,则$∠ CPQ$的度数为 ()

A.$30°$
B.$36°$
C.$45°$
D.$60°$

3. C

【分析】首先，正六边形内接于圆时，各边对应的弧度数相等，可先求出单段弧的度数；再根据Q是弧DE中点，确定相关弧的度数；最后利用圆周角定理，通过所求角所对弧的度数计算角度。
【解析】因为正六边形ABCDEF内接于$\odot O$，所以每条边对应的弧度数为$360°÷6=60°$，即$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{DE}=\overset{\frown}{EF}=\overset{\frown}{FA}=60°$。又Q是$\overset{\frown}{DE}$的中点，故$\overset{\frown}{DQ}=\overset{\frown}{QE}=60°÷2=30°$。$∠ CPQ$是圆周角，其顶点在$\odot O$上，两边交$\odot O$于C、Q两点，因此$∠ CPQ$所对的弧为$\overset{\frown}{CQ}$，$\overset{\frown}{CQ}$的度数为$\overset{\frown}{CD}+\overset{\frown}{DQ}=60°+30°=90°$。根据圆周角定理，圆周角的度数等于所对弧度数的一半，所以$∠ CPQ=\frac{1}{2}×90°=45°$。
【答案】C
【知识点】正多边形与圆，圆周角定理
【点评】本题结合正多边形内接圆的性质与圆周角定理，关键是确定所求圆周角对应的弧的度数，属于基础几何应用题型，需熟练掌握相关定理。
【难度系数】0.5

4. 如图1所示是我国古建筑墙上采用的八角形空窗,其轮廓是一个正八边形,窗外之境如同镶嵌于一个画框之中,如图2所示是八角形空窗的示意图,则它的一个外角$∠ 1=$°.

4. 45

【分析】
要计算正八边形的一个外角，需利用多边形外角和的性质：任意多边形的外角和固定为360°，且正多边形的所有外角度数相等，因此用外角和除以正八边形的外角个数（8个），就能求出一个外角的度数。
【解析】
因为任意多边形的外角和为360°，正八边形的8个外角都相等，所以它的一个外角∠1 = 360° ÷ 8 = 45°。
【答案】
45
【知识点】
正多边形外角和
【点评】
本题考查正多边形外角和的基本性质，属于基础题型，直接利用正多边形外角和为360°且各外角相等的特点计算即可，难度较低。
【难度系数】
0.8

5. 如图,$\odot O$与正五边形ABCDE的两边AE、CD相切于A、C两点,则$∠ AOC$的度数为.

5. $144°$

【分析】要计算∠AOC的度数，需先利用正五边形的内角性质求出正五边形的内角，再结合切线的性质得到直角，最后通过五边形的内角和公式计算∠AOC。
【解析】1. 计算正五边形的内角：正五边形内角和为$(5-2)×180°=540°$，因此每个内角为$540°÷5=108°$，即$∠AED=∠EDC=108°$。2. 利用切线性质：因为AE、CD是$\odot O$的切线，根据切线的性质，切线与过切点的半径垂直，所以$OA⊥AE$，$OC⊥CD$，即$∠OAE=∠OCD=90°$。3. 计算∠AOC：在五边形OAEDC中，内角和为$(5-2)×180°=540°$，因此$∠AOC=540° - ∠OAE - ∠AED - ∠EDC - ∠OCD=540° -90°-108°-108°-90°=144°$。
【答案】$144°$
【知识点】正多边形内角、切线性质、多边形内角和
【点评】本题结合正五边形与圆的切线性质，考查多边形内角和的应用，需熟练掌握正多边形内角计算、切线的垂直性质，属于基础综合题。
【难度系数】0.5

6. 如图,工人师傅用扳手拧形状为正六边形的螺帽,现测得扳手的开口宽度$b=3\ \mathrm{cm}$,则螺帽边$a=$cm.

6. $\sqrt{3}$

【分析】
要解决这个问题，需利用正六边形的性质：正六边形可分割为6个边长相等的等边三角形，其对边之间的距离（即扳手开口宽度$b$）与正六边形边长$a$存在固定关系。解题时先推导该关系，再代入已知的$b=3\ \mathrm{cm}$计算$a$。
【解析】
正六边形的每个内角为$120°$，连接正六边形中心与相邻顶点形成的三角形是边长为$a$的等边三角形，等边三角形的高为$\frac{\sqrt{3}}{2}a$。
正六边形对边之间的距离$b$等于2个等边三角形的高之和，即：
$b = 2×\frac{\sqrt{3}}{2}a = \sqrt{3}a$
已知$b=3\ \mathrm{cm}$，代入得：
$\sqrt{3}a = 3$
解得$a = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$\sqrt{3}$
【知识点】
正六边形的性质、等边三角形的性质
【点评】
本题考查正六边形性质的实际应用，核心是掌握正六边形对边距离与边长的关系，属于基础几何题，难度适中。
【难度系数】
0.5