7. 如图,将$\odot O$八等分,得到$\overset{\frown}{AB}$,将$\odot O$十二等分,得到$\overset{\frown}{AC}$,连接BC.若线段BC是$\odot O$的内接正n边形的一条边,试探究n的值.

7. $n=24$

【分析】要解决本题，需先利用圆等分的性质求出弧BC对应的圆心角，再结合圆内接正n边形的中心角公式计算n。具体步骤：1. 计算⊙O八等分后每段弧的圆心角，得到弧AB对应的圆心角∠AOB；2. 计算⊙O十二等分后每段弧的圆心角，得到弧AC对应的圆心角∠AOC；3. 求出弧BC对应的圆心角∠BOC=∠AOB - ∠AOC；4. 根据圆内接正n边形的中心角为$\frac{360°}{n}$，结合∠BOC的度数，求解n的值。
【解析】
1. 计算八等分圆的圆心角：将$\odot O$八等分，每一份弧对应的圆心角为$\frac{360°}{8}=45°$，因此弧$\overset{\frown}{AB}$对应的圆心角$∠ AOB=45°$。
2. 计算十二等分圆的圆心角：将$\odot O$十二等分，每一份弧对应的圆心角为$\frac{360°}{12}=30°$，因此弧$\overset{\frown}{AC}$对应的圆心角$∠ AOC=30°$。
3. 求弧$\overset{\frown}{BC}$对应的圆心角：$∠ BOC=∠ AOB - ∠ AOC=45° - 30°=15°$。
4. 求解n：因为BC是$\odot O$内接正n边形的一条边，正n边形的中心角为$\frac{360°}{n}$，所以$\frac{360°}{n}=15°$，解得$n=\frac{360°}{15°}=24$。
【答案】24
【知识点】圆的等分、圆心角、正多边形中心角
【点评】本题结合圆的等分与正多边形的性质，核心是利用圆心角的差求出目标弧对应的圆心角，进而计算正多边形的边数，属于基础几何计算题，思路清晰，步骤明确。
【难度系数】0.5

8. 如图,在$\odot O$中,点C为$\overset{\frown}{AB}$上的点,$\overset{\frown}{BC}=2\overset{\frown}{AC}$,若$∠ ACB=120°$,且AC是$\odot O$的内接正n边形的一边,则n的值为.

8. 9

【分析】
要解决本题，需分步骤推导：首先利用圆周角定理，结合∠ACB的度数求出劣弧AB的度数；再根据弧BC与弧AC的倍数关系算出弧AC的度数；最后利用正n边形的中心角与边数的关系求出n的值。关键是明确圆周角对应的弧（优弧AB），避免混淆弧的类型。
【解析】
1. 根据圆周角定理：圆周角的度数等于其所对弧度数的一半。已知∠ACB=120°，点C在劣弧AB上，因此∠ACB所对的弧是优弧AB，故优弧AB的度数为 $2×120°=240°$。
2. 整个圆周为360°，因此劣弧AB的度数为 $360° - 240°=120°$。
3. 设弧AC的度数为$x$，由题意弧BC=2弧AC，故弧BC的度数为$2x$。因为点C在劣弧AB上，所以弧AC + 弧BC = 劣弧AB，即 $x + 2x=120°$，解得$x=40°$，即弧AC的度数为40°。
4. AC是⊙O内接正n边形的一边，正n边形的中心角等于其对应的弧度数，且正n边形的中心角总和为360°，因此 $\frac{360°}{n}=40°$，解得$n=9$。
【答案】
9
【知识点】
圆周角定理、正多边形与圆
【点评】
本题综合考查圆周角定理和正多边形的性质，核心是准确判断圆周角所对的弧，进而求出对应弧的度数，再结合正多边形中心角与边数的关系求解，是圆与正多边形结合的典型基础题。
【难度系数】
0.5

9. 如图,$\odot O$是正六边形ABCDEF的内切圆,分别切BC、CD于点M、N,P是优弧$\overset{\frown}{MN}$上的一点,则$∠ MPN$的度数为°.

9. 30

【分析】要计算∠MPN的度数，需先求出圆心角∠MON的度数，再根据圆周角定理求解。首先利用正六边形的内角性质和切线的垂直性质，结合四边形内角和算出圆心角∠MON，最后通过圆周角定理得到圆周角∠MPN。
【解析】因为$\odot O$是正六边形ABCDEF的内切圆，所以OM⊥BC，ON⊥CD，即∠OMC=∠ONC=90°。正六边形的每个内角∠C=120°，在四边形OMCN中，内角和为360°，因此∠MON=360°−∠OMC−∠ONC−∠C=360°−90°−90°−120°=60°。根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，P在优弧$\overset{\frown}{MN}$上，所以∠MPN=$\frac{1}{2}$∠MON=$\frac{1}{2}$×60°=30°。
【答案】30
【知识点】正多边形与圆，圆周角定理
【点评】本题结合正六边形性质、切线性质与圆周角定理，核心是求出圆心角∠MON，再利用圆周角定理计算，考察基础几何知识的综合应用，难度适中。
【难度系数】0.5

10. [教材改编]分别求半径为2的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边长、边心距(正多边形的外接圆圆心到正多边形某一边的距离)、中心角和面积.将结果填写在表中:

10.
圆的内接正多边形 边长 边心距 中心角 面积
正三角形 $2\sqrt{3}$ 1 $120°$ $3\sqrt{3}$
正方形 $2\sqrt{2}$ $\sqrt{2}$ $90°$ 8
正六边形 2 $\sqrt{3}$ $60°$ $6\sqrt{3}$

【分析】
要解决本题，需掌握圆的内接正多边形的相关性质：①中心角计算公式为$\frac{360°}{边数}$；②正多边形可分解为若干个以外接圆半径为斜边、边心距和边长一半为直角边的直角三角形，利用三角函数或勾股定理计算边长、边心距；③面积可通过“$\frac{1}{2}×周长×边心距$”计算。本题中圆的半径为2，分别对正三角形（边数3）、正方形（边数4）、正六边形（边数6）代入公式计算即可。
【解析】
已知圆的半径$R=2$，分别计算三种正多边形的量：
1. 正三角形（边数$n=3$）
中心角：$\frac{360°}{3}=120°$；
边心距：设边心距为$r_3$，在直角三角形中，$r_3=R\cos60°=2×\frac{1}{2}=1$；
边长：设边长为$a_3$，$\frac{a_3}{2}=R\sin60°=2×\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$，故$a_3=2\sqrt{3}$；
面积：$S_3=\frac{1}{2}×3×2\sqrt{3}×1=3\sqrt{3}$。
2. 正方形（边数$n=4$）
中心角：$\frac{360°}{4}=90°$；
边心距：设边心距为$r_4$，$r_4=R\cos45°=2×\frac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}$；
边长：设边长为$a_4$，$\frac{a_4}{2}=R\sin45°=2×\frac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}$，故$a_4=2\sqrt{2}$；
面积：$S_4=(2\sqrt{2})^2=8$。
3. 正六边形（边数$n=6$）
中心角：$\frac{360°}{6}=60°$；
边心距：设边心距为$r_6$，$r_6=R\cos30°=2×\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$；
边长：设边长为$a_6$，$\frac{a_6}{2}=R\sin30°=2×\frac{1}{2}=1$，故$a_6=2$；
面积：$S_6=6×\frac{1}{2}×2×\sqrt{3}=6\sqrt{3}$。
【答案】
圆的内接正多边形 边长 边心距 中心角 面积
正三角形 $2\sqrt{3}$ 1 $120°$ $3\sqrt{3}$
正方形 $2\sqrt{2}$ $\sqrt{2}$ $90°$ 8
正六边形 2 $\sqrt{3}$ $60°$ $6\sqrt{3}$
【知识点】
圆的内接正多边形、正多边形的面积计算
【点评】
本题考查圆的内接正多边形的基础计算，需掌握中心角、边长、边心距的推导方法，面积计算可通过周长与边心距的关系快速求解，属于教材基础题型，巩固核心知识点即可完成解答。
【难度系数】
0.6

11. 10个大小相同的正六边形按如图所示方式紧密排列在同一平面内,A、B、C、D、E、O均是正六边形的顶点,则下列三角形的外心是点O的是 ()
A. $△ AED$ B. $△ ABD$ C. $△ BCD$ D. $△ ACD$

11. D

【分析】要判断哪个三角形的外心是点O，需明确外心的定义：三角形的外心是到三角形三个顶点距离相等的点。因此只需结合正六边形的结构特点，逐一判断各选项中三角形的三个顶点是否到点O的距离相等即可。
【解析】根据外心的定义，若点O是某三角形的外心，则该三角形的三个顶点到O的距离相等。设正六边形的边长为a，结合正六边形紧密排列的结构特征：
选项A：△AED的三个顶点A、E、D到O的距离不相等，故O不是其外心；
选项B：△ABD的三个顶点A、B、D到O的距离不相等，故O不是其外心；
选项C：△BCD的三个顶点B、C、D到O的距离不相等，故O不是其外心；
选项D：△ACD的三个顶点A、C、D，结合正六边形网格的对称性，OA=OC=OD，满足外心的条件，故O是△ACD的外心。
【答案】D
【知识点】三角形外心、正六边形性质
【点评】本题考查三角形外心的定义，需结合正六边形的结构特征判断点与顶点的距离关系，核心是理解外心“到三顶点距离相等”的本质。
【难度系数】0.4

12. 如图,正n边形$A_{1}A_{2}A_{3}··· A_{n}$的两条对角线$A_{1}A_{7}$、$A_{4}A_{6}$的延长线交于点P.若$∠ P=24°$,则n的值为.

12. 15

【分析】
要解决这个问题，需利用正n边形的内接圆性质，结合圆外一点两条割线的夹角公式解题。首先明确正n边形的顶点都在同一个圆上，相邻顶点间的弧度数为$\frac{360°}{n}$；再确定两条割线所截的弧的度数，代入夹角公式即可求解n。
【解析】
正n边形内接于圆，因此所有顶点在圆周上，相邻两个顶点对应的弧度数为$\frac{360°}{n}$。
对于圆外一点P，两条割线$PA_1A_7$和$PA_4A_6$，根据圆外割线夹角公式：圆外一点的两条割线所成的角，等于该角所对两段弧度数差的一半，即：
$∠ P = \frac{1}{2}(\mathrm{弧}A_1A_6\mathrm{的度数} - \mathrm{弧}A_4A_7\mathrm{的度数})$
其中，弧$A_1A_6$包含5个相邻顶点间隔，度数为$5×\frac{360°}{n}$；弧$A_4A_7$包含3个相邻顶点间隔，度数为$3×\frac{360°}{n}$。
代入$∠ P=24°$，得：
$24° = \frac{1}{2}(5×\frac{360°}{n} - 3×\frac{360°}{n})$
化简右边：
$24° = \frac{1}{2}×2×\frac{360°}{n} = \frac{360°}{n}$
解得：$n=\frac{360°}{24°}=15$。
【答案】
15
【知识点】
正多边形性质，圆内接多边形，圆外割线夹角
【点评】
本题将正多边形与圆的性质结合，核心是利用圆外割线夹角公式，关键在于准确计算对应弧的度数，属于几何综合题，需要学生掌握正多边形和圆的相关性质。
【难度系数】
0.5

13. 如图,用若干个全等的正五边形排成圆环状,图中所示的是其中3个正五边形的位置.要完成这一圆环排列,共需要正五边形的个数是.

13. 10

【分析】
要解决正五边形排成圆环的问题，需先计算正五边形的内角度数，再结合圆环的周角特性推导所需正五边形的总个数。步骤为：1. 利用多边形内角和公式求正五边形的内角；2. 分析相邻正五边形拼接处的角度关系，结合周角360°建立等式求解总个数。
【解析】
1. 计算正五边形的内角：根据多边形内角和公式，正五边形每个内角为 $\frac{(5-2) × 180°}{5} = 108°$。
2. 推导正五边形的总个数：设完成圆环共需要$n$个正五边形，相邻正五边形在圆心处的夹角为$\frac{360°}{n}$。在相邻两个正五边形的公共顶点处，两个正五边形的内角与圆心夹角的补角之和为周角360°，因此有：
$108° × 2 + (180° - \frac{360°}{n}) = 360°$
化简得：$216° + 180° - \frac{360°}{n} = 360°$，即$\frac{360°}{n} = 36°$，解得$n = \frac{360°}{36°} = 10$。
【答案】
10
【知识点】
正多边形内角和、圆的周角
【点评】
本题结合正多边形内角与圆环的角度特性，考查几何拼接规律，需掌握内角公式和角度关系推导，难度适中。
【难度系数】
0.4