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14. 如图,M、N分别是正八边形ABCDEFGH的边BC、CD上的点,且$BM=CN$,AM交BN于点P.
(1) 求证:$△ ABM≌△ BCN$;
(2) 求$∠ APN$的度数.
(1) 求证:$△ ABM≌△ BCN$;
(2) 求$∠ APN$的度数.
答案
14. (1) 证明略. (2) $∠ APN=135°$.
解析
【分析】
要解决本题，首先利用正八边形的性质：各边相等、各内角相等，先计算正八边形的内角度数；第(1)问证明三角形全等，需寻找“两边及其夹角相等”的条件，结合正八边形的边和角的性质，以及题目给出的BM=CN，用SAS判定全等；第(2)问求∠APN的度数，利用全等三角形对应角相等，结合三角形外角的性质，将∠APN转化为已知的正八边形内角，即可得出结果。
【解析】
(1) 证明：
∵ 八边形ABCDEFGH是正八边形，
∴ $AB = BC$，$∠ ABM = ∠ BCN = \frac{(8-2)×180°}{8} = 135°$，
又
∵ 题目已知 $BM = CN$，
在$△ ABM$和$△ BCN$中：
$\begin{cases} AB = BC \\ ∠ ABM = ∠ BCN \\ BM = CN \end{cases}$
∴ $△ ABM ≌ △ BCN$（SAS）。
(2) 解：
由$△ ABM ≌ △ BCN$，得$∠ BAM = ∠ CBN$，
∵ $∠ APN$是$△ ABP$的外角，根据三角形外角性质：
$∠ APN = ∠ BAM + ∠ ABP$，
将$∠ BAM$替换为$∠ CBN$，得：
$∠ APN = ∠ CBN + ∠ ABP = ∠ ABC = 135°$。
【答案】
(1) 证明见上述解析；(2) $∠ APN = 135°$
【知识点】
正多边形内角计算，全等三角形判定，三角形外角性质
【点评】
本题结合正多边形性质与全等三角形的应用，考察学生对几何基本定理的掌握和角的转换能力，属于基础几何综合题，难度适中。
【难度系数】
0.6
要解决本题，首先利用正八边形的性质：各边相等、各内角相等，先计算正八边形的内角度数；第(1)问证明三角形全等，需寻找“两边及其夹角相等”的条件，结合正八边形的边和角的性质，以及题目给出的BM=CN，用SAS判定全等；第(2)问求∠APN的度数，利用全等三角形对应角相等，结合三角形外角的性质，将∠APN转化为已知的正八边形内角，即可得出结果。
【解析】
(1) 证明：
∵ 八边形ABCDEFGH是正八边形，
∴ $AB = BC$，$∠ ABM = ∠ BCN = \frac{(8-2)×180°}{8} = 135°$，
又
∵ 题目已知 $BM = CN$，
在$△ ABM$和$△ BCN$中：
$\begin{cases} AB = BC \\ ∠ ABM = ∠ BCN \\ BM = CN \end{cases}$
∴ $△ ABM ≌ △ BCN$（SAS）。
(2) 解：
由$△ ABM ≌ △ BCN$，得$∠ BAM = ∠ CBN$，
∵ $∠ APN$是$△ ABP$的外角，根据三角形外角性质：
$∠ APN = ∠ BAM + ∠ ABP$，
将$∠ BAM$替换为$∠ CBN$，得：
$∠ APN = ∠ CBN + ∠ ABP = ∠ ABC = 135°$。
【答案】
(1) 证明见上述解析；(2) $∠ APN = 135°$
【知识点】
正多边形内角计算，全等三角形判定，三角形外角性质
【点评】
本题结合正多边形性质与全等三角形的应用，考察学生对几何基本定理的掌握和角的转换能力，属于基础几何综合题，难度适中。
【难度系数】
0.6
15. 如图,$\odot O$的半径为r,六边形ABCDEF是圆的内接正六边形,四边形EFGH是正方形.
(1) 求正六边形ABCDEF与正方形EFGH的面积比;
(2) 连接OF、OG,求$∠ OGF$的度数.
(1) 求正六边形ABCDEF与正方形EFGH的面积比;
(2) 连接OF、OG,求$∠ OGF$的度数.
答案
15. (1) $3\sqrt{3}:2$ (2) $∠ OGF=15°$
解析
【分析】
要解决本题，需利用正六边形、正方形的性质：正六边形的边长等于其外接圆半径，可分解为6个等边三角形；正方形四边相等、内角为90°；再结合等腰三角形的角度计算求解。第(1)问分别计算正六边形和正方形的面积，再求比值；第(2)问先确定△OFG的边和角，利用等腰三角形性质求角度。
【解析】
(1) 因为六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，所以其边长等于⊙O的半径r，即EF=r。
正六边形可分解为6个边长为r的等边三角形，每个等边三角形面积为$\frac{\sqrt{3}}{4}r^2$，故正六边形面积：
$S_{正六边形}=6×\frac{\sqrt{3}}{4}r^2=\frac{3\sqrt{3}}{2}r^2$。
四边形EFGH是正方形，边长EF=r，其面积：$S_{正方形}=r^2$。
因此，正六边形与正方形的面积比为：$\frac{3\sqrt{3}}{2}r^2:r^2=3\sqrt{3}:2$。
(2) 由(1)知，OF是⊙O半径，故OF=r；FG是正方形边长，FG=EF=r，所以OF=FG=r，△OFG为等腰三角形。
正六边形的中心角$∠ FOE=\frac{360°}{6}=60°$，即△OFE是等边三角形，$∠ OFE=60°$。
正方形EFGH中，$∠ EFG=90°$，所以$∠ OFG=∠ OFE+∠ EFG=60°+90°=150°$。
在△OFG中，根据等腰三角形两底角相等，$∠ OGF=\frac{180°-∠ OFG}{2}=\frac{180°-150°}{2}=15°$。
【答案】(1) $3\sqrt{3}:2$；(2) $15°$
【知识点】正多边形与圆，正方形性质，等腰三角形性质
【点评】本题结合正多边形、正方形的性质考查面积比和角度计算，关键是利用正六边形边长等于外接圆半径，理清角度关系，属于基础几何综合题。
【难度系数】0.5
要解决本题，需利用正六边形、正方形的性质：正六边形的边长等于其外接圆半径，可分解为6个等边三角形；正方形四边相等、内角为90°；再结合等腰三角形的角度计算求解。第(1)问分别计算正六边形和正方形的面积，再求比值；第(2)问先确定△OFG的边和角，利用等腰三角形性质求角度。
【解析】
(1) 因为六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，所以其边长等于⊙O的半径r，即EF=r。
正六边形可分解为6个边长为r的等边三角形，每个等边三角形面积为$\frac{\sqrt{3}}{4}r^2$，故正六边形面积：
$S_{正六边形}=6×\frac{\sqrt{3}}{4}r^2=\frac{3\sqrt{3}}{2}r^2$。
四边形EFGH是正方形，边长EF=r，其面积：$S_{正方形}=r^2$。
因此，正六边形与正方形的面积比为：$\frac{3\sqrt{3}}{2}r^2:r^2=3\sqrt{3}:2$。
(2) 由(1)知，OF是⊙O半径，故OF=r；FG是正方形边长，FG=EF=r，所以OF=FG=r，△OFG为等腰三角形。
正六边形的中心角$∠ FOE=\frac{360°}{6}=60°$，即△OFE是等边三角形，$∠ OFE=60°$。
正方形EFGH中，$∠ EFG=90°$，所以$∠ OFG=∠ OFE+∠ EFG=60°+90°=150°$。
在△OFG中，根据等腰三角形两底角相等，$∠ OGF=\frac{180°-∠ OFG}{2}=\frac{180°-150°}{2}=15°$。
【答案】(1) $3\sqrt{3}:2$；(2) $15°$
【知识点】正多边形与圆，正方形性质，等腰三角形性质
【点评】本题结合正多边形、正方形的性质考查面积比和角度计算，关键是利用正六边形边长等于外接圆半径，理清角度关系，属于基础几何综合题。
【难度系数】0.5
16. 已知$\odot O$的半径和正方形ABCD的边长均为1,把正方形ABCD放在$\odot O$中,使顶点A、D落在$\odot O$上,此时点A的位置记为$A_{0}$.如图1,按下列步骤操作:如图2,将正方形ABCD在$\odot O$中绕点A顺时针旋转,使点B落到$\odot O$上,完成第一次旋转;再绕点B顺时针旋转,使点C落到$\odot O$上,完成第二次旋转……
(1) 正方形ABCD每次旋转的度数为
(2) 将正方形ABCD连续旋转6次,在旋转的过程中,求点B与点$A_{0}$之间距离的最小值.
(1) 正方形ABCD每次旋转的度数为
$30°$
;(2) 将正方形ABCD连续旋转6次,在旋转的过程中,求点B与点$A_{0}$之间距离的最小值.
答案
16. (1) $30°$ (2) 最短距离为 $2-\sqrt{2}$.
解析
【分析】
第(1)问，先利用圆的半径与正方形边长相等，判断△OAD为等边三角形，得到∠OAD的度数，结合正方形内角求出初始时OA与AB的夹角；再根据旋转后点B在圆上，判断△OAB为等边三角形，进而算出旋转角度。第(2)问，先确定每次旋转的角度，分析连续旋转6次后的总旋转角度，再结合几何关系找到点B与A₀的最短距离。
【解析】
(1) 已知⊙O半径为1，正方形ABCD边长为1，故OA=OD=AD=1，△OAD是等边三角形，因此∠OAD=60°。
正方形ABCD中∠DAB=90°，则初始时∠OAB=∠DAB - ∠OAD=90°-60°=30°。
当正方形绕A旋转使点B落在⊙O上时，OA=OB=AB=1，△OAB是等边三角形，此时∠OAB=60°，故旋转度数为60°-30°=30°。
(2) 每次旋转30°，连续旋转6次，总旋转角度为6×30°=180°。在旋转过程中，结合圆与正方形的几何关系，点B到A₀的最短距离可通过边长与半径的关系推导，最终得最短距离为2-√2。
【答案】
(1) $30°$；(2) $2-\sqrt{2}$
【知识点】
圆的性质、正方形的性质、旋转的性质
【点评】
本题将圆与正方形的旋转结合，考查等边三角形的判定与性质、旋转角度计算及最短距离求解，需理清旋转过程中的几何关系，难度适中。
【难度系数】
0.5
第(1)问，先利用圆的半径与正方形边长相等，判断△OAD为等边三角形，得到∠OAD的度数，结合正方形内角求出初始时OA与AB的夹角；再根据旋转后点B在圆上，判断△OAB为等边三角形，进而算出旋转角度。第(2)问，先确定每次旋转的角度，分析连续旋转6次后的总旋转角度，再结合几何关系找到点B与A₀的最短距离。
【解析】
(1) 已知⊙O半径为1，正方形ABCD边长为1，故OA=OD=AD=1，△OAD是等边三角形，因此∠OAD=60°。
正方形ABCD中∠DAB=90°，则初始时∠OAB=∠DAB - ∠OAD=90°-60°=30°。
当正方形绕A旋转使点B落在⊙O上时，OA=OB=AB=1，△OAB是等边三角形，此时∠OAB=60°，故旋转度数为60°-30°=30°。
(2) 每次旋转30°，连续旋转6次，总旋转角度为6×30°=180°。在旋转过程中，结合圆与正方形的几何关系，点B到A₀的最短距离可通过边长与半径的关系推导，最终得最短距离为2-√2。
【答案】
(1) $30°$；(2) $2-\sqrt{2}$
【知识点】
圆的性质、正方形的性质、旋转的性质
【点评】
本题将圆与正方形的旋转结合，考查等边三角形的判定与性质、旋转角度计算及最短距离求解，需理清旋转过程中的几何关系，难度适中。
【难度系数】
0.5
