14. (8分)已知 $ (x + 2m)(x^{2}-x+\frac{1}{2}n) $ 的乘积中不含 $ x $ 项与 $ x^{2} $ 项.
(1)求 $ m $、$ n $ 的值.
(2)求代数式 $ m^{2025}n^{2026} $ 的值.

14. (1)$(x + 2m)(x^{2}-x+\frac{1}{2}n)=x^{3}-x^{2}+\frac{1}{2}nx+2mx^{2}-2mx+nm=x^{3}+(2m - 1)x^{2}+(\frac{1}{2}n - 2m)x + nm$。$\because$乘积中不含$x$项与$x^{2}$项，$\therefore\begin{cases}2m - 1 = 0,\frac{1}{2}n - 2m = 0,\end{cases}$解得$\begin{cases}m=\frac{1}{2},\ = 2.\end{cases}$ (2)$m^{2025}n^{2026}=(\frac{1}{2})^{2025}·2^{2026}=(\frac{1}{2}×2)^{2025}×2=2$。

15. (10分)为了更好地开展劳动教育，某学校暑期对学校闲置的地块进行规划改造，已知该地块是长为 $ (a + 4b)\mathrm{ m} $、宽为 $ (a + 3b)\mathrm{ m} $ 的长方形地块(如图)，学校准备在该地块内修一条平行四边形小路，小路的底边宽为 $ a\mathrm{ m} $，并计划将阴影部分改造为种植区.
(1)用含有 $ a $、$ b $ 的式子分别表示出小路面积 $ S_{1} $ 和种植区的总面积 $ S_{2} $.(请将结果化为最简形式)
(2)若 $ a = 2 $，$ b = 4 $，求此时种植区的总面积 $ S_{2} $.

15. (1)$S_{1}=a(a + 4b)=(a^{2}+4ab)(\mathrm{m}^{2})$，$S_{2}=(a + 3b - a)(a + 4b)=(3ab + 12b^{2})(\mathrm{m}^{2})$。 (2) 当$a = 2$，$b = 4$时，$S_{2}=3×2×4 + 12×4^{2}=216(\mathrm{m}^{2})$。

16. (8分)在计算 $ (3x + a)(x + b) $ 时，甲错把 $ b $ 看成了 $ 6 $，得到的结果是 $ 3x^{2}+9x - 54 $；乙错把 $ +a $ 看成了 $ -a $，得到的结果是 $ 3x^{2}+21x + 36 $.求 $ a + b $ 的值.

16. $\because$甲错把$b$看成了$6$，$\therefore(3x + a)(x + 6)=3x^{2}+(a + 18)x + 6a=3x^{2}+9x - 54$，$\therefore a + 18 = 9$，$\therefore a=-9$；$\because$乙错把$a$看成了$-a$，$\therefore(3x - a)(x + b)=3x^{2}+(-a + 3b)x - ab=3x^{2}+21x + 36$，$\therefore -a + 3b = 21$，$\therefore b = 4$，$\therefore a + b=-9 + 4=-5$。

17. (10分)定义：$ L(A) $ 是多项式 $ A $ 化简后的项数，例如多项式 $ A = x^{2}+2x - 3 $，则 $ L(A)=3 $.一个多项式 $ A $ 乘多项式 $ B $ 化简得到多项式 $ C $（即 $ C = A× B $），若 $ L(A)≤ L(C)≤ L(A)+1 $，则称 $ B $ 是 $ A $ 的“好多项式”；若 $ L(A)=L(C) $，则称 $ B $ 是 $ A $ 的“极好多项式”.
(1)若 $ A = x - 2 $，$ B = x + 3 $ 均是关于 $ x $ 的多项式，则 $ B $ 是不是 $ A $ 的“好多项式”？请判断并说明理由.
(2)若 $ A = x - 2 $，$ B = x^{2}+ax + 4 $ 均是关于 $ x $ 的多项式，且 $ B $ 是 $ A $ 的“极好多项式”，求 $ a $ 的值.
(3)若 $ A = x^{2}-x + 3m $，$ B = x^{2}+x + m $ 均是关于 $ x $ 的多项式，且 $ B $ 是 $ A $ 的“极好多项式”，求 $ m $ 的值.

17. (1)$B$是$A$的“好多项式”。理由如下：$(x - 2)(x + 3)=x^{2}-2x + 3x - 6=x^{2}+x - 6$。$\because x^{2}+x - 6$的项数比$A$的项数多$1$项，$\therefore B$是$A$的“好多项式”。 (2)$(x - 2)(x^{2}+ax + 4)=x^{3}+ax^{2}+4x - 2x^{2}-2ax - 8=x^{3}+(a - 2)x^{2}+(4 - 2a)x - 8$。$\because B$是$A$的“极好多项式”，$\therefore a - 2 = 0$且$4 - 2a = 0$，解得$a = 2$。 (3)$(x^{2}-x + 3m)(x^{2}+x + m)=x^{4}+x^{3}+mx^{2}-x^{3}-x^{2}-mx + 3mx^{2}+3mx + 3m^{2}=x^{4}+(4m - 1)x^{2}+2mx + 3m^{2}$。$\because B$是$A$的“极好多项式”，$\therefore 4m - 1 = 0$或$m = 0$，解得$m=\frac{1}{4}$或$0$。